输出所有的最长公共子序列

请先通过维基百科或其他搜索引擎了解如下知识点，如果已经掌握可直接跳过：

【参考网址：

http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_Template_Library

http://www.geeksforgeeks.org/dynamic-programming-set-4-longest-common-subsequence/

】

1. 最长公共子序列；

2. 最长公共子序列与最长公共子串的区别；

Longest Common Subsequence / Longest Common Substring

3. 求解最长公共子序列的动态规划的算法；

可用动态规划算法求解的问题一般具有两个特点：

1）重叠子问题；

2）最优子结构；

4. 通常用动态规划算法先求最长公共子序列的长度，并将所有子问题的解都保存在一个二维数组中。

例如：

字符串X: abcabcaa

字符串Y: acbacba

m = |X| = 8

n = |Y| = 7

递推表达式：

保存子问题的解（Tabulation）

		a	c	b	a	c	b	a
	0	0	0	0	0	0	0	0
a	0	1	1	1	1	1	1	1
b	0	1	1	2	2	2	2	2
c	0	1	2	2	2	3	3	3
a	0	1	2	2	3	3	3	4
b	0	1	2	3	3	3	4	4
c	0	1	2	3	3	4	4	4
a	0	1	2	3	4	4	4	5
a	0	1	2	3	4	4	4	5

LCS(X,Y) = 5

输出所有的最长公共子序列：

例子：

字串 X = “abcabcaa"

字串 Y = "acbacba"，

它们的所有最长公共子序列：

ababa
abaca
abcba
acaba
acaca
acbaa
acbca

1）按照O(mn)动态规划的算法求出最长公共子序列的长度

子问题的解保存在二维数组dp里
dp[i][j] = { 字串 X 的 1~i 部分与字串 Y 的 1~j 部分的最长公共子序列的长度 }

2)构造字母表

S = { i | i in X or i in Y }

字母表S由出现在字串X和字串Y的所有字符构成的集合。

前面例子中 X 与 Y 构成的字母表S = "abc"。

3）字母表中的字符在两个字串中最后出现的下标

概念可参考Java中String类的lastIndexOf()方法

last1[i][j] = { 到字串 X 下标 i 为止，字母表第 j 个字符在字串 X 中最后一次出现的下标 }
last2[i][j] = { 到字串 Y 下标 i 为止，字母表第 j 个字符在字串 Y 中最后一次出现的下标 }

4）枚举最长公共字串的每一个字符

从两个字串的长度 len1 和 len2 开始枚举字母表 S 中的每一个字符

例如，

t1 = last1[len1][0]

t2 = last2[len2][0]

表示字母表第0个字符在 X 字符串1---len1的最大下标为t1,

在Y 字符串1--len2的最大下标为t2。

若dp[t1][t2] 的值为s1和s2的最大公共子序列长度 cnt ，则表示这个字符即字母表的第0个字符是最长公共子序列的最后一个字符，

并且继续在 t1 - 1 和 t2 - 1 的子问题中寻找符合最大公共子序列长度为为cnt - 1的字符串，依此类推，直到达最长公共子序列为0时结束。

把保存的字符串放入set集合里面，让它按字典序排序；否则继续枚举字母表中的下一个字符。

为什么从最长公共子序列的最后一个字符开始寻找呢？

例如：

”CDCD"

"FUCKC"

它们构成的字母表S = ”UDFCK"
现在枚举字符'C'，它在字母表S中的下标 = 3

last1[0][3] = 0 //下标从0开始

last1[3[3] = 2

last2[2][3] = 2

last2[4][3] = 4

根据’C'在两个字串出现的位置，共有(0, 2)、(0, 4)、 (2, 2) 、(2, 4) 四种可能。

我们舍弃前三个，可以为后续的枚举提供更大的空间。

5)Java语言实现

import java.util.*;/*** The string "abcabcaa" and "acbacba" have longest common subsequences:* ababa* abaca* abcba* acaba* acaca* acbaa* acbca* @author York**/public class LongestCommonSubsequence {String source;String target;int[][] c;int[][] last1;int[][] last2;int lcsLength;char[] tmp;String alphabet;HashSet<String> set = new HashSet<String>();public LongestCommonSubsequence() {}public LongestCommonSubsequence(String s, String t) {this.source = s;this.target = t;}public int LCSLength() {int m = source.length();int n = target.length();c = new int[m+1][n+1];c[0][0] = 0;for(int i = 1; i <= m; ++i) {c[i][0] = 0;}for(int j = 1; j <= n; ++j) {c[0][j] = 0;}for(int i = 1; i <= m; i++) {for(int j = 1; j <= n; j++) {if(source.charAt(i-1) == target.charAt(j-1)) {c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;} else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1]){c[i][j] = c[i-1][j];} else {c[i][j] = c[i][j-1];}}}return lcsLength = c[m][n];}private void lastIndexOf(String s, int[][] last) {for (int j = 0; j < alphabet.length(); ++j) {char c = alphabet.charAt(j);for (int i = 1; i <= s.length(); ++i) {int lastIndex;for (lastIndex = i; lastIndex >= 1; --lastIndex) {if(c == s.charAt(lastIndex-1)) {last[i][j] = lastIndex;break;}}if(lastIndex <= 0) {last[i][j] = 0;}}}}private void backTraceAll(int index1, int index2, int len) {if(len <= 0) {String str = new String(tmp);System.out.println("lcs: " + str);set.add(str);return;}if(index1 > 0 && index2 > 0) {for(int j = 0; j < alphabet.length(); ++j) {//字母表中第j个字符最后一次出现在子串source(0, index1)的下标int t1 = last1[index1][j];int t2 = last2[index2][j];//数学证明是？或者给出递归表达式吧if(c[t1][t2] == len) {tmp[len-1] = alphabet.charAt(j);backTraceAll(t1-1, t2-1, len-1);}}}}public void printAll() {int m = source.length();int n = target.length();//由两个字符串构成的字母表，包含它们中出现过的所有字符的集合//alphabet = {i| i in source or target};HashSet<Character> alpha = new HashSet<Character>();for(int i = 0; i < m; ++i) {alpha.add(source.charAt(i));}for(int j = 0; j < n; ++j) {alpha.add(target.charAt(j));}int length = alpha.size();Character[] characters = new Character[length];alpha.toArray(characters);char[] chars = new char[length];for(int i = 0; i < length; ++i) {chars[i] = characters[i];}alphabet = new String(chars);System.out.println("alphabet = " + alphabet);last1 = new int[m+1][alphabet.length()];last2 = new int[n+1][alphabet.length()];System.out.println("c[][]: ");for(int i = 0; i <= m; ++i) {for(int j = 0; j <= n; ++j) {System.out.print(c[i][j] + "\t");}System.out.println();}lastIndexOf(source, last1);lastIndexOf(target, last2);System.out.println("last1[][]: ");for(int i = 0; i <= m; ++i) {for(int j = 0; j < alphabet.length(); ++j) {System.out.print(last1[i][j] + " ");}System.out.println();}System.out.println("last2[][]: ");for(int i = 0; i <= n; ++i) {for(int j = 0; j < alphabet.length(); ++j) {System.out.print(last2[i][j] + " ");}System.out.println();}System.out.println("lcs length = " + lcsLength);tmp = new char[lcsLength];backTraceAll(m, n, lcsLength);System.out.println("All longest common sequences: ");for(String s: set) {System.out.println(s);}}public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);System.out.println("Enter two strings:");String str1 = sc.nextLine();String str2 = sc.nextLine();LongestCommonSubsequence lcs = new LongestCommonSubsequence(str1, str2);int max = lcs.LCSLength();System.out.println("longest length = " + max);lcs.printAll();}
}

参考网址：

http://blog.csdn.net/tsaid/article/details/6726698

http://blog.csdn.net/xiaoxiaoluo/article/details/8169533

http://www.cppblog.com/varg-vikernes/archive/2010/09/27/127866.html

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