计算方法的稳定性

在实际数值计算过程中，由于不可避免地存在和不断产生各种误差，因此计算结果不是绝对精确的。如果误差使得计算结果和实际情况有较大差别或者出现错误的结果，则数值计算便失去了价值和意义。因此，分析数值计算过程中误差的来源和传递规律，设法控制和减小误差。

1.误差的来源

来源：固有误差（模型误差、观测误差）和计算误差（截断误差、舍入误差）

舍入误差：

设s是r进制数，p是r进制正负整数或零，则形如
x=s×rpx=s\times r^p x=s×rp
并满足
−1<s<1-1<s<1 −1<s<1
的数x，称为r进制浮点数，且s和p分别称为浮点数的尾数和阶数。

任何一种计算机只能用有限的位数来表示浮点数的尾数和阶数。设
−m≤p≤M-m\leq p\leq M −m≤p≤M
其中m,Mm,Mm,M为正整数，它们主要由计算机用多少位数来表示阶数而决定。如果尾数的小数尾数为t（t一般比m，M的位数大若干倍），则计算机的数系由一切阶数满足−1<s<1-1<s<1−1<s<1的t位r进制浮点数的集合F组成。可见，在计算机数系中，数的个数有限，数系中的每一个数都是有理数，且阶数相等的数以相等的距离分布在数轴的某一段上。

由于计算机数系是有限集，不仅无理数e,πe,\pie,π等不属于计算机数系，而且一些有理数（如1/31/31/3）也属于计算机数系，因此常常用计算机数系中和它们接近的数来表示它们。同时，在利用计算机进行计算时，由于字长限制，参与计算的数的长度也是有限的，而由此产生的误差，称为舍入误差。

例1：

浮点数F的集合可以用以下4个参数来描述：
{F}≡{β,t,L,U}\{F\}\equiv \{\beta,t,L,U\} {F}≡{β,t,L,U}
其中，β\betaβ为基数，t是精度参数，整数L与U是阶码E（范围）的下限和上限[L,U][L,U][L,U]。

这样，F中的每一个浮点数x的值可表示为：
x=±(d1β+d2β2+⋯+dtβt)⋅βEx=\pm(\frac{d_1}{\beta}+\frac{d_2}{\beta^2}+\cdots+\frac{d_t}{\beta^t})·\beta^E x=±(βd1+β2d2+⋯+βtdt)⋅βE
式中的整数d1，⋯,dtd_1，\cdots,d_td1，⋯,dt满足0≤dt≤β−1,(i=1,⋯,t)0\leq d_t\leq \beta-1,(i=1,\cdots,t)0≤dt≤β−1,(i=1,⋯,t)，同时又L≤E≤UL\leq E\leq UL≤E≤U（E是整数）。

如果对F中每个非零的x，有d1≠0d_1\neq 0d1=0，则称浮点数系F为规格化浮点数系。括号中的部分f=(d1/β+d2/β2+⋯+dt/βt)f=(d_1/\beta+d_2/\beta^2+\cdots +d_t/\beta^t)f=(d1/β+d2/β2+⋯+dt/βt)称为尾数。我们知道，一个实数常用【整数+小数点+尾数】的形式表示，它们在计算机中对应的浮点数[βt⋅f][\beta^t·f][βt⋅f]则常用某种整数表示方式（例如以原码、反码或补码的形式）存储。

例2：求十进制数系与计算机采用的二进制数系之间的差别

解：以在许多算法中常被选作步长的十进制0.1为例。在β=2\beta=2β=2或者为2的幂的浮点数系中，10个0.1的步长并不刚好等于一个1.0的步长。事实上，当把110\frac{1}{10}101转换成为以12\frac{1}{2}21为底的幂的有限项展开式时，有：
110=021+022+023+124+125+026+027+⋯\frac{1}{10}=\frac{0}{2^1}+\frac{0}{2^2}+\frac{0}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\frac{0}{2^6}+\frac{0}{2^7}+\cdots 101=210+220+230+241+251+260+270+⋯
用下标表示数基，如果β=2\beta=2β=2，则有：
(0.1)=(0.000110011001100⋯)z(0.1)=(0.000110011001100\cdots)_z (0.1)=(0.000110011001100⋯)z
如果β=8\beta=8β=8，则
(0.1)=(0.063146314⋯)s(0.1)=(0.063146314\cdots)_s (0.1)=(0.063146314⋯)s
由于字长限制，等号右边的值只能取7位。很明显，当把10个这样的数相加时，其结果并不正好是1.0。这就是舍入误差造成的。所以，在计算机上进行的浮点运算（四则运算）只能是近似计算。

观测误差和数据的舍入误差虽然来源不同，但对计算结果的影响完全一样。在数值计算中涉及的误差一般指舍入误差（包含初始数据误差）和截断误差。

2 计算方法的稳定性

计算方法的稳定性是指数值计算中是否稳定的问题。在数值计算过程中，数值解是逐步计算出来的。由于计算机的字长有限，每一步计算都有误差存在，且前一步的舍入误差必然要影响下一步的近似解。如果运算序列的舍入误差不增长。误差的积累或传递对计算结果的影响是可控的，则该算法是数值稳定的，否则是数值不稳定的。

3. 数值计算的基本原则

评价一个数值计算方法优劣的标准：

计算时间复杂度（运算次数或计算时间），包括收敛性问题
计算空间复杂度（占用计算机存储空间）
计算结果精确度（包括稳定性问题）

构造和选择一个好的计算方法：

避免两个相近的数相减

在数值计算过程中，两个相近的数相减，会严重损失有效数字，从而使相对误差变大。

如果两个相近的数相减，常采用变换的公式进行计算。如果计算公式不能改变，则采用增加有效数字位数的方法。

避免使用绝对值很小的数作分母
两个相差很大的数进行运算时，防止大数“吃掉”小数
简化计算步骤，减少运算次数