0504反常积分-定积分

文章目录

1 无穷限的反常积分
- 1.1 定义
- 1.2 计算公式
- 1.3 例题
2 无界函数的反常积分
- 2.1 定义
- 2.2 计算公式
- 2.3 例题
结语

1 无穷限的反常积分

1.1 定义

设函数 f ( x ) 在区间 [ a , + ∞ ) 上连续，人去 t > a , 做定积分 ∫ a t f ( x ) d x f(x)在区间[a,+\infty)上连续，人去t\gt a,做定积分\int_a^tf(x)dx f(x)在区间[a,+∞)上连续，人去t>a,做定积分∫atf(x)dx,在求极限：

lim ⁡ t → + ∞ ∫ 0 t f ( x ) d x \lim\limits_{t\to+\infty}\int_0^tf(x)dx t→+∞lim∫0tf(x)dx, (4-1)

这个变上限定积分的算式（4-1）成为函数 f ( x ) 在无限区间 [ a , + ∞ ) f(x)在无限区间[a,+\infty) f(x)在无限区间[a,+∞)上的反常积分，记为 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_a^{+\infty}f(x)dx ∫a+∞f(x)dx,即

∫ a + ∞ f ( x ) d x = lim ⁡ t → + ∞ ∫ a t f ( x ) d x \int_a^{+\infty}f(x)dx=\lim\limits_{t\to+\infty}\int_a^tf(x)dx ∫a+∞f(x)dx=t→+∞lim∫atf(x)dx, (4- 1 ′ 1^{'} 1′)

定义(1) 设函数 f ( x ) 在区间 [ a , + ∞ ) f(x)在区间[a,+\infty) f(x)在区间[a,+∞)上连续，任取 t > a t\gt a t>a,如果极限 lim ⁡ t → + ∞ ∫ a t f ( x ) d x \lim\limits_{t\to+\infty}\int_a^tf(x)dx t→+∞lim∫atf(x)dx 存在，则称此极限为函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 [ a , + ∞ ) [a,+\infty) [a,+∞)上的反常积分，记做 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_a^{+\infty}f(x)dx ∫a+∞f(x)dx。此时也称反常积分 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_a^{+\infty}f(x)dx ∫a+∞f(x)dx收敛；否则就称反常积分 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_a^{+\infty}f(x)dx ∫a+∞f(x)dx发散。

定义(2) 设函数 f ( x ) 在区间 ( − ∞ , b ] f(x)在区间(-\infty,b] f(x)在区间(−∞,b]上连续，任取 t < b t\lt b t<b,如果极限 lim ⁡ t → − ∞ ∫ t b f ( x ) d x \lim\limits_{t\to-\infty}\int_t^bf(x)dx t→−∞lim∫tbf(x)dx 存在，则称此极限为函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 ( − ∞ , b ] (-\infty,b] (−∞,b]上的反常积分，记做 ∫ − ∞ b f ( x ) d x \int_{-\infty}^bf(x)dx ∫−∞bf(x)dx。此时也称反常积分 ∫ − ∞ b f ( x ) d x \int_{-\infty}^bf(x)dx ∫−∞bf(x)dx收敛；否则就称反常积分 ∫ − ∞ b f ( x ) d x \int_{-\infty}^bf(x)dx ∫−∞bf(x)dx发散。

定义(3) 设函数 f ( x ) 在区间 ( − ∞ , + ∞ ) f(x)在区间(-\infty,+\infty) f(x)在区间(−∞,+∞)上连续，反常积分 ∫ − ∞ 0 f ( x ) d x \int_{-\infty}^0f(x)dx ∫−∞0f(x)dx与反常积分 ∫ 0 + ∞ f ( x ) d x \int_0^{+\infty}f(x)dx ∫0+∞f(x)dx 之和称为函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (−∞,+∞)上的反常积分，记做 ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx ∫−∞+∞f(x)dx。如果反常积分 ∫ − ∞ 0 f ( x ) d x \int_{-\infty}^0f(x)dx ∫−∞0f(x)dx与反常积分 ∫ 0 + ∞ f ( x ) d x \int_0^{+\infty}f(x)dx ∫0+∞f(x)dx均收敛，那么称反常积分 ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx ∫−∞+∞f(x)dx收敛；否则就称反常积分 ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx ∫−∞+∞f(x)dx发散。

1.2 计算公式

由上述公式及微积分基本公式，可得：

设 F ( x ) 为 f ( x ) F(x)为f(x) F(x)为f(x)的一个原函数，记

F ( + ∞ ) = lim ⁡ x → + ∞ F ( x ) , F ( − ∞ ) = lim ⁡ x → − ∞ F ( x ) F(+\infty)=\lim\limits_{x\to+\infty}F(x),F(-\infty)=\lim\limits_{x\to-\infty}F(x) F(+∞)=x→+∞limF(x),F(−∞)=x→−∞limF(x)

则反常积分可表示为：

（1） ∫ a + ∞ f ( x ) d x = F ( x ) ∣ a + ∞ = lim ⁡ x → + ∞ F ( x ) − F ( a ) = F ( + ∞ ) − F ( a ) \int_a^{+\infty}f(x)dx=F(x)|_a^{+\infty}=\lim\limits_{x\to+\infty}F(x)-F(a)=F(+\infty)-F(a) ∫a+∞f(x)dx=F(x)∣a+∞=x→+∞limF(x)−F(a)=F(+∞)−F(a)

若 lim ⁡ x → + ∞ F ( x ) \lim\limits_{x\to+\infty}F(x) x→+∞limF(x)不存在，则 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_a^{+\infty}f(x)dx ∫a+∞f(x)dx发散。

（2） ∫ − ∞ b f ( x ) d x = F ( x ) ∣ − ∞ b = F ( b ) − lim ⁡ x → − ∞ F ( x ) = F ( b ) − F ( − ∞ ) \int_{-\infty}^bf(x)dx=F(x)|_{-\infty}^b=F(b)-\lim\limits_{x\to-\infty}F(x)=F(b)-F(-\infty) ∫−∞bf(x)dx=F(x)∣−∞b=F(b)−x→−∞limF(x)=F(b)−F(−∞)

若 lim ⁡ x → − ∞ F ( x ) \lim\limits_{x\to-\infty}F(x) x→−∞limF(x)不存在，则 ∫ − ∞ b f ( x ) d x \int_{-\infty}^bf(x)dx ∫−∞bf(x)dx发散。

（3） ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = F ( x ) ∣ − ∞ + ∞ = lim ⁡ x → + ∞ F ( x ) − lim ⁡ x → − ∞ F ( x ) = F ( + ∞ ) − F ( − ∞ ) \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=F(x)|_{-\infty}^{+\infty}=\lim\limits_{x\to+\infty}F(x)-\lim\limits_{x\to-\infty}F(x)=F(+\infty)-F(-\infty) ∫−∞+∞f(x)dx=F(x)∣−∞+∞=x→+∞limF(x)−x→−∞limF(x)=F(+∞)−F(−∞)

若 lim ⁡ x → + ∞ F ( x ) 与 lim ⁡ x → − ∞ F ( x ) \lim\limits_{x\to+\infty}F(x)与\lim\limits_{x\to-\infty}F(x) x→+∞limF(x)与x→−∞limF(x)有一个不存在，则 ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx ∫−∞+∞f(x)dx发散。

1.3 例题

例1 求 ∫ 0 + ∞ e − x d x \int_0^{+\infty}e^{-x}dx ∫0+∞e−xdx
解： ∫ 0 + ∞ e − x d x = ( − e − x ) ∣ 0 + ∞ = lim ⁡ x → + ∞ − e − x + 1 = 1 解：\int_0^{+\infty}e^{-x}dx=(-e^{-x})|_0^{+\infty}=\lim\limits_{x\to+\infty}{-e^{-x}}+1 =1 解：∫0+∞e−xdx=(−e−x)∣0+∞=x→+∞lim−e−x+1=1
例2 求 ∫ − ∞ + ∞ 1 1 + x 2 \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2} ∫−∞+∞1+x21
解： ∫ − ∞ + ∞ d x 1 + x 2 = ( arctan ⁡ x ) ∣ − ∞ + ∞ = lim ⁡ x → + ∞ arctan ⁡ x − lim ⁡ x → − ∞ arctan ⁡ x = π 2 + π 2 = π 解：\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}=(\arctan x)|_{-\infty}^{+\infty}\\ =\lim\limits_{x\to+\infty}\arctan x-\lim\limits_{x\to-\infty}\arctan x=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\pi 解：∫−∞+∞1+x2dx=(arctanx)∣−∞+∞=x→+∞limarctanx−x→−∞limarctanx=2π+2π=π
例3 计算反常积分 ∫ 0 + ∞ t e − p t d t \int_0^{+\infty}te^{-pt}dt ∫0+∞te−ptdt,其中 p p p是常数，且 p > 0 p\gt0 p>0
解： ∫ 0 + ∞ t e − p t d t = ( ∫ t e − p t d t ) ∣ 0 + ∞ = ( − t e − p t p ) ∣ 0 + ∞ + ( 1 p ∫ e − p t d t ) ∣ 0 + ∞ = ( − 1 p 2 e − p t ) ∣ 0 + ∞ = 1 p 2 解：\int_0^{+\infty}te^{-pt}dt=(\int te^{-pt}dt)|_0^{+\infty}\\ =(-\frac{te^{-pt}}{p})|_0^{+\infty}+(\frac{1}{p}\int e^{-pt}dt)|_0^{+\infty}\\ =(-\frac{1}{p^2}e^{-pt})|_0^{+\infty}=\frac{1}{p^2} 解：∫0+∞te−ptdt=(∫te−ptdt)∣0+∞=(−pte−pt)∣0+∞+(p1∫e−ptdt)∣0+∞=(−p21e−pt)∣0+∞=p21
例4 证明反常积分 ∫ a + ∞ d x x p ( a > 0 ) 当 p > 1 \int_a^{+\infty}\frac{dx}{x^p}(a\gt0)当p\gt1 ∫a+∞xpdx(a>0)当p>1时收敛，当 p ≤ 1 p\le1 p≤1时发散。
当 p = 1 时， ∫ a + ∞ d x x p = ∫ a + ∞ d x x = ln ⁡ x ∣ a + ∞ = + ∞ , 当 p ≠ 1 时 , ∫ a + ∞ d x x p = ( x 1 − p 1 − p ) ∣ a + ∞ = { + ∞ , x < 1 a 1 − p p − 1 , x > 1 因此当 p > 1 时，该反常积分收敛，当 p ≤ 1 时，该反常积分发散。当p=1时，\int_a^{+\infty}\frac{dx}{x^p}=\int_a^{+\infty}\frac{dx}{x}=\ln x|_a^{+\infty}=+\infty,\\ 当p\not=1时, \int_a^{+\infty}\frac{dx}{x^p}=(\frac{x^{1-p}}{1-p})|_a^{+\infty}= \begin{cases} +\infty,x\lt1\\ \frac{a^{1-p}}{p-1},x\gt1\\ \end{cases}\\ 因此当p\gt1时，该反常积分收敛，当p\le1时，该反常积分发散。当p=1时，∫a+∞xpdx=∫a+∞xdx=lnx∣a+∞=+∞,当p=1时,∫a+∞xpdx=(1−px1−p)∣a+∞={+∞,x<1p−1a1−p,x>1因此当p>1时，该反常积分收敛，当p≤1时，该反常积分发散。

2 无界函数的反常积分

2.1 定义

现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形。

瑕点：如果函数 f ( x ) 在点 a f(x)在点a f(x)在点a的任一邻域内都无界，那么点 a a a称为函数 f ( x ) f(x) f(x)的瑕点。（也称无界间断点）

瑕积分：无界函数的反常积分又称瑕积分。

设函数 f ( x ) 在区间 ( a , b ] f(x)在区间(a,b] f(x)在区间(a,b]上连续，点 a 为 f ( x ) a为f(x) a为f(x)的瑕点，任取 t > a t\gt a t>a,做定积分 ∫ t b f ( x ) d x \int_t^bf(x)dx ∫tbf(x)dx,在求极限

lim ⁡ t → a + ∫ t b f ( x ) d x \lim\limits_{t\to a^+}\int_t^bf(x)dx t→a+lim∫tbf(x)dx (4-4)

这个对变下限的定积分求极限的算式（4-4）称为函数 f ( x ) 在区间 ( a , b ] f(x)在区间(a,b] f(x)在区间(a,b]上的反常积分，仍然记做 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx ∫abf(x)dx,即

∫ a b f ( x ) d x = lim ⁡ x → a + ∫ t b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx=\lim\limits_{x\to a^+}\int_t^bf(x)dx ∫abf(x)dx=x→a+lim∫tbf(x)dx

定义(1) 设函数 f ( x ) 在区间 ( a , b ] f(x)在区间(a,b] f(x)在区间(a,b]上连续，点 a 为 f ( x ) a为f(x) a为f(x)的瑕点，如果极限（4-4）存在，那么称反常积分 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx ∫abf(x)dx收敛，并称次极限为该反常积分的值；如果极限（4-4）不存在，那么称反常积分 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx ∫abf(x)dx发散。

类似地，设函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ) f(x)在区间[a,b) f(x)在区间[a,b)上连续，点 b 为 f ( x ) b为f(x) b为f(x)的瑕点，任取 t < a t\lt a t<a,算式

lim ⁡ x → b − ∫ a t f ( x ) d x \lim\limits_{x\to b^-}\int_a^tf(x)dx x→b−lim∫atf(x)dx (4-5)

称为函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ) f(x)在区间[a,b) f(x)在区间[a,b)上的反常积分，仍然记做 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx ∫abf(x)dx,即

∫ a b f ( x ) d x = lim ⁡ x → b − ∫ a t f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx=\lim\limits_{x\to b^-}\int_a^tf(x)dx ∫abf(x)dx=x→b−lim∫atf(x)dx

定义(2) 设函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ) f(x)在区间[a,b) f(x)在区间[a,b)上连续，点 b 为 f ( x ) b为f(x) b为f(x)的瑕点，如果极限（4-5）存在，那么称反常积分 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx ∫abf(x)dx收敛，并称次极限为该反常积分的值；如果极限（4-5）不能存在，就称反常积分 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx ∫abf(x)dx发散。

设函数 f ( x ) 在区间 [ a , c ) 及区间 ( c , b ] f(x)在区间[a,c)及区间(c,b] f(x)在区间[a,c)及区间(c,b]上连续，点 c 为 f ( x ) c为f(x) c为f(x)的瑕点。反常积分 ∫ a c f ( x ) d x \int_a^cf(x)dx ∫acf(x)dx与反常积分 ∫ c b f ( x ) d x \int_c^bf(x)dx ∫cbf(x)dx之和称为函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] f(x)在区间[a,b] f(x)在区间[a,b]上的反常积分，仍然记做 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx ∫abf(x)dx,即

∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx

定义(3) 设函数 f ( x ) 在区间 [ a , c ) 及区间 ( c , b ] f(x)在区间[a,c)及区间(c,b] f(x)在区间[a,c)及区间(c,b]上连续，点 c 为 f ( x ) c为f(x) c为f(x)的瑕点。如果反常积分 ∫ a c f ( x ) d x \int_a^cf(x)dx ∫acf(x)dx与反常积分 ∫ c b f ( x ) d x \int_c^bf(x)dx ∫cbf(x)dx均收敛，那么称反常积分 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx ∫abf(x)dx收敛，并称反常积分 ∫ a c f ( x ) d x \int_a^cf(x)dx ∫acf(x)dx的值与反常积分 ∫ c b f ( x ) d x \int_c^bf(x)dx ∫cbf(x)dx的值的和为反常积分 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx ∫abf(x)dx的值；否则，称反常积分 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx ∫abf(x)dx发散。

2.2 计算公式

（1）设 x = a 为 f ( x ) 的瑕点，在 ( a , b ] 上 , F ′ ( x ) = f ( x ) , 若 lim ⁡ x → a + ∫ t b f ( x ) d x x=a为f(x)的瑕点，在(a,b]上,F^{'}(x)=f(x),若\lim\limits_{x\to a^+}\int_t^bf(x)dx x=a为f(x)的瑕点，在(a,b]上,F′(x)=f(x),若x→a+lim∫tbf(x)dx存在，那么反常积分

∫ a b f ( x ) d x = F ( x ) ∣ a b = F ( b ) − lim ⁡ t → a + ∫ t b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a + ) \int_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-\lim\limits_{t\to a^+}\int_t^bf(x)dx=F(b)-F(a^+) ∫abf(x)dx=F(x)∣ab=F(b)−t→a+lim∫tbf(x)dx=F(b)−F(a+)

（2）设 x = b 为 f ( x ) x=b为f(x) x=b为f(x)的瑕点，在 [ a , b ) 上， F ′ ( x ) = f ( x ) , 若 lim ⁡ t → b − ∫ a t f ( x ) d x [a,b)上，F^{'}(x)=f(x),若\lim\limits_{t\to b^-}\int_a^tf(x)dx [a,b)上，F′(x)=f(x),若t→b−lim∫atf(x)dx存在，那么反常积分

∫ a b f ( x ) d x = F ( x ) ∣ a b = lim ⁡ t → b − ∫ a t f ( x ) d x − F ( a ) = F ( b − ) − F ( a ) \int_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=\lim\limits_{t\to b^-}\int_a^tf(x)dx-F(a)=F(b^-)-F(a) ∫abf(x)dx=F(x)∣ab=t→b−lim∫atf(x)dx−F(a)=F(b−)−F(a)

（3）设 x = c 为 f ( x ) 的瑕点，在 [ a , c ) 即 ( c , b ] 上， F ′ ( x ) = f ( x ) , 若 lim ⁡ t → c − ∫ a t f ( x ) d x 及 lim ⁡ t → c + ∫ t b f ( x ) d x x=c为f(x)的瑕点，在[a,c)即(c,b]上，F^{'}(x)=f(x),若\lim\limits_{t\to c^-}\int_a^tf(x)dx及\lim\limits_{t\to c^+}\int_t^bf(x)dx x=c为f(x)的瑕点，在[a,c)即(c,b]上，F′(x)=f(x),若t→c−lim∫atf(x)dx及t→c+lim∫tbf(x)dx存在，则反常积分

∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x = F ( c − ) − F ( a ) + F ( b ) − F ( c + ) \int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx=F(c^-)-F(a)+F(b)-F(c^+) ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx=F(c−)−F(a)+F(b)−F(c+)

2.3 例题

例5 计算 I = ∫ 0 a d x a 2 − x 2 ( a > 0 ) I=\int_0^a\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}(a\gt0) I=∫0aa2−x2 dx(a>0)
解： x = a 为 I 的瑕点则 I = ∫ 0 a d x a 2 − x 2 = arcsin ⁡ x a ∣ 0 a = lim ⁡ x → a − arcsin ⁡ x a − arcsin ⁡ 0 = π 2 解：x=a为I的瑕点则\\ I=\int_0^a\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{a}|_0^a=\lim\limits_{x\to a^-}{\arcsin\frac{x}{a}}-\arcsin0=\frac{\pi}{2} 解：x=a为I的瑕点则I=∫0aa2−x2 dx=arcsinax∣0a=x→a−limarcsinax−arcsin0=2π

例6 计算 ∫ 1 2 d x x ln ⁡ x \int_1^2\frac{dx}{x\ln x} ∫12xlnxdx
解： ∫ 1 2 d x x ln ⁡ x = ∫ 1 2 d ( ln ⁡ x ) ln ⁡ x = ( ln ⁡ ∣ ln ⁡ x ∣ ) ∣ 1 2 = ln ⁡ ln ⁡ 2 − lim ⁡ x → 1 + ( ln ⁡ ∣ ln ⁡ x ∣ ) = + ∞ 解：\int_1^2\frac{dx}{x\ln x}=\int_1^2\frac{d(\ln x)}{\ln x}=(\ln|\ln x|)|_1^2=\ln\ln2-\lim\limits_{x\to1^+}(\ln|\ln x|)=+\infty 解：∫12xlnxdx=∫12lnxd(lnx)=(ln∣lnx∣)∣12=lnln2−x→1+lim(ln∣lnx∣)=+∞
例7 讨论 ∫ − 1 1 1 x 2 d x \int_{-1}^1\frac{1}{x^2}dx ∫−11x21dx的收敛性
解： ∫ − 1 1 1 x 2 d x = ∫ − 1 0 d x x 2 + ∫ 0 1 d x x 2 = ( − 1 x ) ∣ − 1 0 + ( − 1 x ) ∣ 0 1 ( − 1 x ) ∣ − 1 0 = lim ⁡ x → 0 − ( − 1 x ) − 1 = + ∞ ∴ ∫ − 1 0 1 x 2 d x 是发散的 ∴ ∫ − 1 1 1 x 2 d x 是发散的解：\int_{-1}^1\frac{1}{x^2}dx=\int_{-1}^0\frac{dx}{x^2}+\int_0^1\frac{dx}{x^2}\\ =(-\frac{1}{x})|_{-1}^0+(-\frac{1}{x})|_0^1\\ (-\frac{1}{x})|_{-1}^0=\lim\limits_{x\to0^-}(-\frac{1}{x})-1=+\infty\\ ∴\int_{-1}^0\frac{1}{x^2}dx是发散的\\ ∴\int_{-1}^1\frac{1}{x^2}dx是发散的解：∫−11x21dx=∫−10x2dx+∫01x2dx=(−x1)∣−10+(−x1)∣01(−x1)∣−10=x→0−lim(−x1)−1=+∞∴∫−10x21dx是发散的∴∫−11x21dx是发散的
例8 证明反常积分 ∫ a b d x ( x − a ) q , 当 0 < q < 1 \int_a^b\frac{dx}{(x-a)^q},当0\lt q\lt1 ∫ab(x−a)qdx,当0<q<1时收敛，当 q ≥ 1 q\ge1 q≥1时发散。
证明：当 q = 1 时 , ∫ a b d x ( x − a ) q = ∫ a b d x x − a = ( ln ⁡ ∣ x − a ∣ ) ∣ a b = + ∞ 当去 q ≠ 1 时， ∫ a b d x ( x − a ) q = [ ( x − a ) 1 − q ( 1 − q ) ] a b = { + ∞ , q > 1 ( b − a ) 1 − q 1 − q , 0 < q < 1 ∴ 当 0 < q < 1 时， ∫ a b d x ( x − a ) q 收敛；当 q ≥ 1 时， ∫ a b d x ( x − a ) q 发散。证明：当q=1时,\int_a^b\frac{dx}{(x-a)^q}=\int_a^b\frac{dx}{x-a}=(\ln|x-a|)|_a^b=+\infty\\ 当去q\not=1时，\int_a^b\frac{dx}{(x-a)^q}=[\frac{(x-a)^{1-q}}{(1-q)}]_a^b= \begin{cases} +\infty,\quad q\gt1\\ \frac{(b-a)^{1-q}}{1-q},\quad 0\lt q\lt1 \end{cases}\\ ∴当0\lt q\lt1时，\int_a^b\frac{dx}{(x-a)^q}收敛；当q\ge1时，\int_a^b\frac{dx}{(x-a)^q}发散。证明：当q=1时,∫ab(x−a)qdx=∫abx−adx=(ln∣x−a∣)∣ab=+∞当去q=1时，∫ab(x−a)qdx=[(1−q)(x−a)1−q]ab={+∞,q>11−q(b−a)1−q,0<q<1∴当0<q<1时，∫ab(x−a)qdx收敛；当q≥1时，∫ab(x−a)qdx发散。
例9 求反常积分 ∫ 0 + ∞ d x x ( x + 1 ) 3 \int_0^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x(x+1)^3}} ∫0+∞x(x+1)3 dx
解：令 x = 1 t , 则 d x = − 1 t 2 ∫ 0 + ∞ d x x ( x + 1 ) 3 = ∫ + ∞ 0 ( − d t t 2 1 t ( 1 t + 1 ) 3 ) = ∫ 0 + ∞ ( t + 1 ) − 3 2 d t = [ − 2 1 t + 1 ] ∣ 0 + ∞ = 2 解：令x=\frac{1}{t},则dx=-\frac{1}{t^2}\\ \int_0^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x(x+1)^3}}=\int_{+\infty}^0(-\frac{dt}{t^2\sqrt{\frac{1}{t}(\frac{1}{t}+1)^3}})\\ =\int_0^{+\infty}(t+1)^{-\frac{3}{2}}dt=[-2\frac{1}{\sqrt{t+1}}]|_0^{+\infty}\\ =2 解：令x=t1,则dx=−t21∫0+∞x(x+1)3 dx=∫+∞0(−t2t1(t1+1)3 dt)=∫0+∞(t+1)−23dt=[−2t+1 1]∣0+∞=2

结语

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参考：

[1]同济大学数学系.高等数学第七版上册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.p256-262.

[2]同济七版《高等数学》全程教学视频[CP/OL].2020-04-16.p35.