Ch4.不定积分

2 + 3 + 3：
①2个概念：原函数、不定积分
②3种主要的求积分的方法：凑微分、换元、分部积分
③3种可积函数：有理函数、三角有理函数、简单无理函数

(一) 不定积分的概念与性质

1.原函数 F ( x ) F(x) F(x)

原函数F(x)定义：若有F’(x)=f(x)，则称f(x)的原函数为F(x)。

原函数存在定理

1.f(x)连续，则必有原函数F(x)
2.有第一类间断点，则没有原函数

2.不定积分 ∫ f ( x ) d x \int f(x)dx ∫f(x)dx

∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C \int f(x)dx=F(x)+C ∫f(x)dx=F(x)+C

所以说不定积分要加C，不带C的那叫求 原函数F(x)。题目要的是不定积分，∫f(x)dx=F(x)+C

(二) 不定积分基本公式

不定积分公式

1. ∫ s e c x d x = ln ⁡ ∣ s e c x + t a n x ∣ + C \int {\rm sec}x{\rm d}x=\ln|{\rm sec}x+{\rm tan}x|+C ∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C (19)

2. ∫ 1 1 − x 2 d x = 1 2 ln ⁡ ∣ 1 + x 1 − x ∣ + C \int\dfrac{1}{1-x²}dx=\dfrac{1}{2}\ln|\dfrac{1+x}{1-x}|+C ∫1−x21​dx=21​ln∣1−x1+x​∣+C (16)

3. ∫ tan ⁡ x d x = − ln ⁡ ∣ cos ⁡ x ∣ + C \int\tan xdx=-\ln|\cos x|+C ∫tanxdx=−ln∣cosx∣+C

4. ∫ cot ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ sin ⁡ x ∣ + C \int\cot xdx=\ln|\sin x|+C ∫cotxdx=ln∣sinx∣+C （凑微分）

推导：

1.凑微分凑到巅峰造极
∫ sec ⁡ x d x = ∫ s e c x ( s e c x + t a n x ) s e c x + t a n x d x = ∫ s e c x t a n x + s e c 2 x s e c x + t a n x d x = ( s e c x ) ′ = s e c x t a n x ( t a n x ) ′ = s e c 2 x ln ⁡ ∣ s e c x + t a n x ∣ + C \int \sec xdx=\int \dfrac{secx(secx+tanx)}{secx+tanx}dx=\int \dfrac{secxtanx+sec^2x}{secx+tanx}dx\xlongequal[(secx)'=secxtanx]{(tanx)'=sec^2x}\ln|secx+tanx|+C ∫secxdx=∫secx+tanxsecx(secx+tanx)​dx=∫secx+tanxsecxtanx+sec2x​dx(tanx)′=sec2x (secx)′=secxtanx​ln∣secx+tanx∣+C

2.拆两项
∫ 1 1 − x 2 d x = 1 2 ∫ 1 1 + x + 1 1 − x d x = 1 2 [ ln ⁡ ∣ 1 + x ∣ − ln ⁡ ∣ 1 − x ∣ + C ] = 1 2 ln ⁡ ∣ 1 + x 1 − x ∣ + C \int\dfrac{1}{1-x²}dx=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1-x}dx=\dfrac{1}{2}[\ln|1+x|-\ln|1-x|+C]=\dfrac{1}{2}\ln|\dfrac{1+x}{1-x}|+C ∫1−x21​dx=21​∫1+x1​+1−x1​dx=21​[ln∣1+x∣−ln∣1−x∣+C]=21​ln∣1−x1+x​∣+C

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例题1：11年9.

答案： ln ⁡ ( 1 + 2 ) \ln(1+\sqrt{2}) ln(1+2 ​)

例题2：22年18.

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(三) 三种主要积分法

求导：①+ - × ÷ ②复合求导
积分：①+ - → 分项积分法 ②× →分部积分 ③复合→换元法 (第一类换元法：凑微分 ＋ 第二类换元法)

求不定积分，方法不同，积分出来的形式可能不同，但是可能都是对的。
验证方法是求导数，看能不能得到被积函数。

0.积分公式、分项积分法(拆两项)、 -1 +1 、上下同乘

①积分公式
②拆两项
③-1 +1
④上下同乘

1.凑微分

2.换元法

不定积分换元法，换元后要再换回来。
定积分换元法，换元要换上下限

①三角代换

t a n 2 x + 1 = s e c 2 x tan^2x+1=sec^2x tan2x+1=sec2x
c o t 2 x + 1 = c s c 2 x cot^2x+1=csc^2x cot2x+1=csc2x

②根式代换

t = 1 − e x t=\sqrt{1-e^x} t=1−ex ​

③倒代换

分母幂次比分子高，可考虑倒代换 x = 1 t x = \dfrac{1}{t} x=t1​

3.分部积分

适用两类不同函数相乘：①幂×指数 ②幂×三角 ③指数×三角

1.多项式×指数/三角：指数/三角凑进去
2.多项式×对数/反三角：多项式凑进去
3.指数×三角：凑谁都行，要2次

(四) 三类常见可积函数的积分

“积不出”

三类积得出：

1.有理分式积分

考虑拆项：
1.部分分式法 (分解因式)
2.通过加项减项 或 凑微分降幂

①部分分式法

2.三角有理式积分

①上下同乘
②拆项凑微分

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例1：880 P18 上下同乘
∫ 1 1 + s i n x d x \int\dfrac{1}{1+sinx}dx ∫1+sinx1​dx

例2：880 P18 拆项凑微分
∫ s i n x 1 + s i n x d x \int\dfrac{sinx}{1+sinx}dx ∫1+sinxsinx​dx

例3：880 P18 拆项凑微分
∫ 3 s i n x + c o s x s i n x + 2 c o s x d x \int\dfrac{3sinx+cosx}{sinx+2cosx}dx ∫sinx+2cosx3sinx+cosx​dx

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3.简单无理函数积分

(五) 其他 做题积累

不定积分 ⇦⇨ 变上限积分： ∫ f ( x ) d x = ∫ 0 x f ( t ) d t \int f(x){\rm d}x=\int_0^xf(t){\rm d}t ∫f(x)dx=∫0x​f(t)dt

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例题1：18年18.(2)   微分方程、周期函数的定义

分析：为了凑周期函数的定义，将不定积分转化为变上限积分

答案：

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Ch5. 定积分 与 反常积分

定积分

1.定积分概念

1.定积分的定义

∫ a b f ( x ) d x = lim ⁡ λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i \int_a^bf(x)dx=\lim\limits_{λ→0}\sum\limits_{i=1}^nf(ξ_i)Δx_i ∫ab​f(x)dx=λ→0lim​i=1∑n​f(ξi​)Δxi​
与分法无关，则 将[0,1]n等分，得： ∫ 0 1 f ( x ) d x = lim ⁡ n → ∞ 1 n ∑ i = 1 n f ( i n ) \int_0^1f(x)dx=\lim\limits_{n→∞}\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nf(\dfrac{i}{n}) ∫01​f(x)dx=n→∞lim​n1​i=1∑n​f(ni​)

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例题1：10年4.   二重积分的定义

分析：
定积分、二重积分的定义都是0到1上的积分，排除AB
下面提出n×n²，与上面n约分得1/n²，应该选D

答案：D

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2.定积分性质

1.不等式
(1)保号性
(2)估值定理
(3)保号性推论

①定积分的保号性

如果在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上 f ( x ) ≥ 0 f(x)≥0 f(x)≥0，那么
∫ a b f ( x ) d x ≥ 0 ( a < b ) \int_a^bf(x){\rm d}x≥0 \quad (a<b) ∫ab​f(x)dx≥0(a<b)
推论1：如果在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上 f ( x ) ≤ g ( x ) f(x)≤g(x) f(x)≤g(x)，那么
∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ a b g ( x ) d x \int_a^bf(x){\rm d}x≤\int_a^bg(x){\rm d}x ∫ab​f(x)dx≤∫ab​g(x)dx
即若积分区间相同，只需要比较在此区间内被积函数的大小，即为该区间上定积分的大小关系。

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例题1：11年4.   定积分的保号性

分析：

答案：B

例题2：18年4.

分析：积分区间都是 [ − π 2 , π 2 ] [-\frac{π}{2},\frac{π}{2}] [−2π​,2π​]，只需比较该区间上被积函数的大小即可。

f M ( x ) = 1 , f N ( x ) = 1 + x e x ， f K ( x ) = 1 + c o s x f_M(x)=1,f_N(x)=\dfrac{1+x}{e^x}，f_K(x)=1+\sqrt{cosx} fM​(x)=1,fN​(x)=ex1+x​，fK​(x)=1+cosx ​

显然，当 − π 2 ≤ x ≤ π 2 -\frac{π}{2}≤x≤\frac{π}{2} −2π​≤x≤2π​时， 1 + c o s x > 1 > 1 + x e x 1+\sqrt{cosx}>1>\dfrac{1+x}{e^x} 1+cosx ​>1>ex1+x​

答案：C

例题3：19年18.

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②定积分中值定理

(1)积分中值定理
(2)推广

定积分中值定理：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么在[a,b]上至少存在一个点ξ使下式成立：
∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) ( a ≤ ξ ≤ b ) f ( ξ ) = ∫ a b f ( x ) d x b − a ( a ≤ ξ ≤ b ) \int_a^bf(x)dx=f(ξ)(b-a) \qquad (a≤ξ≤b)\\[3mm] f(ξ)=\dfrac{\int_a^bf(x)dx}{b-a} \qquad \qquad (a≤ξ≤b) ∫ab​f(x)dx=f(ξ)(b−a)(a≤ξ≤b)f(ξ)=b−a∫ab​f(x)dx​(a≤ξ≤b)
②式称为函数f(x)在区间[a,b]上的平均值

定积分中值定理与拉格朗日中值定理的关系：
设f(x)为F(x)的导函数，F(x)在[a,b]上连续，f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，则在区间(a,b)内至少有一点ξ (a<ξ<b)，使等式
f ( ξ ) = 中值定理 定积分 ∫ a b f ( x ) d x b − a = 公式 牛莱 F ( b ) − F ( a ) b − a = 中值定理 拉格朗日 F ′ ( ξ ) f(ξ)\xlongequal[中值定理]{定积分}\dfrac{\int_a^bf(x)dx}{b-a}\xlongequal[公式]{牛莱}\dfrac{F(b)-F(a)}{b-a}\xlongequal[中值定理]{拉格朗日}F'(ξ) f(ξ)定积分 中值定理​b−a∫ab​f(x)dx​牛莱 公式​b−aF(b)−F(a)​拉格朗日 中值定理​F′(ξ)

积分中值定理的推广：
在(a,b)上 若f(x)连续，g(x)不变号，则
∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = f ( ξ ) ∫ a b g ( x ) d x ( a ≤ ξ ≤ b ) \int_a^bf(x)g(x)dx=f(ξ)\int_a^bg(x)dx \quad (a≤ξ≤b) ∫ab​f(x)g(x)dx=f(ξ)∫ab​g(x)dx(a≤ξ≤b)

3.定积分的几何意义

① ∫ 0 a a 2 − x 2 d x = π a 2 4 \int_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx=\dfrac{πa^2}{4} ∫0a​a2−x2 ​dx=4πa2​

② ∫ 0 a 2 a x − x 2 d x = π a 2 4 \int_0^a\sqrt{2ax-x^2}dx=\dfrac{πa^2}{4} ∫0a​2ax−x2 ​dx=4πa2​   1 4 \frac{1}{4} 41​偏心圆

③ ∫ 0 2 a 2 a x − x 2 d x = π a 2 2 \int_0^{2a}\sqrt{2ax-x^2}dx=\dfrac{πa^2}{2} ∫02a​2ax−x2 ​dx=2πa2​

2.定积分的计算

1.凑微分

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例题1：09年11.   定积分的计算：凑微分

分析：

答案： 13 6 \dfrac{13}{6} 613​

2.换元法

1.换元要换上下限
2.整体代换

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例题1：23李林四(一)11.   换元法求定积分：整体代换

分析：

答案： 2 π 3 + 3 2 \dfrac{2π}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2} 32π​+23 ​​

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①三角代换

有根式（如 1 − x 2 \sqrt{1-x²} 1−x2 ​），一般考虑三角换元：令 x = s i n t x=sint x=sint，则 1 − x 2 = 1 − sin ⁡ 2 t = cos ⁡ t \sqrt{1-x²}=\sqrt{1-\sin²t}=\cos t 1−x2 ​=1−sin2t ​=cost

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例题1：19年18.

例题2：12年10.   ①换元法 ②奇偶性 ③三角代换/定积分几何意义

分析：
∫ 0 2 x 2 x − x 2 d x = ∫ 0 2 x 1 − ( x − 1 ) 2 d x \int_0^2x\sqrt{2x-x^2}{\rm d}x=\int_0^2x\sqrt{1-(x-1)^2}{\rm d}x ∫02​x2x−x2 ​dx=∫02​x1−(x−1)2 ​dx
令t=x-1 = ∫ − 1 1 ( t + 1 ) 1 − t 2 d t = ∫ − 1 1 t 1 − t 2 d t + ∫ − 1 1 1 − t 2 d t = =\int_{-1}^1(t+1)\sqrt{1-t^2}{\rm d}t=\int_{-1}^1t\sqrt{1-t^2}{\rm d}t+\int_{-1}^1\sqrt{1-t^2}{\rm d}t= =∫−11​(t+1)1−t2 ​dt=∫−11​t1−t2 ​dt+∫−11​1−t2 ​dt=(奇偶性) 2 ∫ 0 1 1 − t 2 d t 2\int_0^1\sqrt{1-t^2}{\rm d}t 2∫01​1−t2 ​dt

①定积分几何意义： 2 ∫ 0 1 1 − t 2 d t = 2 × π × 1 2 4 = π 2 2\int_0^1\sqrt{1-t^2}{\rm d}t=2×\dfrac{π×1^2}{4}=\dfrac{π}{2} 2∫01​1−t2 ​dt=2×4π×12​=2π​

②三角代换：令t=sinθ， 2 ∫ 0 1 1 − t 2 d t = 2 ∫ 0 π 2 c o s θ ⋅ c o s θ d θ = 2 ∫ 0 π 2 c o s 2 θ d θ = 2\int_0^1\sqrt{1-t^2}{\rm d}t=2\int_0^{\frac{π}{2}}cosθ·cosθ{\rm d}θ=2\int_0^{\frac{π}{2}}cos^2θ{\rm d}θ= 2∫01​1−t2 ​dt=2∫02π​​cosθ⋅cosθdθ=2∫02π​​cos2θdθ=(点火公式) = 2 × 1 2 × π 2 = π 2 =2×\dfrac{1}{2}×\dfrac{π}{2}=\dfrac{π}{2} =2×21​×2π​=2π​

答案： π 2 \dfrac{π}{2} 2π​

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②区间再现

1.区间再现是什么：令 x = a + b − t x=a+b-t x=a+b−t，则 f ( x ) = f ( a + b − t ) f(x)=f(a+b-t) f(x)=f(a+b−t)，则 ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a b f ( a + b − t ) d t \int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-t)dt ∫ab​f(x)dx=∫ab​f(a+b−t)dt

2.应用场景：区间再现通常用的情况：①积分区间不变的变量代换 ②被积函数的原函数不易求出

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例题1：

区间再现，令t=1-u (令u=1-t)

例题2：

答案：

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3.分部积分

分部积分公式、原则

1.分布积分公式： ∫ u v ′ d x = ∫ u d v = u v − ∫ v d u = u v − ∫ v u ′ d x \int uv'dx=\int udv=uv-\int vdu=uv-\int vu'dx ∫uv′dx=∫udv=uv−∫vdu=uv−∫vu′dx

2.分部积分原则：提到后面的v的顺序：三指幂对反 （反对幂指三是指u的优先级）

表格法

表格法适用于求3种不定积分：幂×对、幂×三角、三角×对
1. ∫ x n ⋅ e α x d x \int x^n·e^{αx}dx ∫xn⋅eαxdx
2. ∫ x n ⋅ s i n a x \int x^n·sinax ∫xn⋅sinax
3. ∫ s i n x ⋅ e α x \int sinx·e^{αx} ∫sinx⋅eαx

2.求法：
上面u微分，下面v积分

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例题1:求 ∫ e x c o s x d x \int e^xcosxdx ∫excosxdx

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含变限积分f(x)的定积分：用分部积分凑f(x)的导数

分部积分的一个重要特点：能凑出导数

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例题1：13年15.   求含变限积分的定积分：用分部积分凑导数

答案： − 4 l n 2 + 8 − 2 π -4ln2+8-2π −4ln2+8−2π

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4.利用 奇偶性、周期性

5.求定积分的公式

1.牛顿-莱布尼茨公式

∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) = F ( x ) ∣ a b \int_a^bf(x){\rm d}x=F(b)-F(a)=F(x)|_a^b ∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a)=F(x)∣ab​

2.点火公式/华里士公式/Wallis公式：

n为奇数时，最后两项是 2 3 ⋅ 1 \frac{2}{3}·1 32​⋅1
n为偶数时，最后两项是 1 2 ⋅ π 2 \frac{1}{2}·\frac{π}{2} 21​⋅2π​

3. ∫ 0 π x ⋅ f ( s i n x ) d x = π 2 ∫ 0 π f ( s i n x ) d x \int_0^πx·f(sinx)dx=\dfrac{π}{2}\int_0^πf(sinx)dx ∫0π​x⋅f(sinx)dx=2π​∫0π​f(sinx)dx

4. ∫ 0 π 2 f ( s i n x ) d x = π 2 ∫ 0 π 2 f ( c o s x ) d x \int_0^{\frac{π}{2}}f(sinx)dx=\dfrac{π}{2}\int_0^{\frac{π}{2}}f(cosx)dx ∫02π​​f(sinx)dx=2π​∫02π​​f(cosx)dx

函数图像生成网站
可以发现， s i n n x sin^nx sinnx 的一个蘑菇的宽度(一股的跨度)一直是π。n为偶数时是偶函数，n为奇数时是奇函数。

3.变上限积分

积分上限函数，又称 变上限积分

1.变限积分求导

三大类：
①直接用公式： 变限积分求导公式： d d x ∫ a φ ( x ) f ( t ) d t = f [ φ ( x ) ] φ ′ ( x ) \dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\int_a^{φ(x)}f(t)dt=f[φ(x)]φ'(x) dxd​∫aφ(x)​f(t)dt=f[φ(x)]φ′(x)

②拆两项： (x可以提出来)

③换元： (x不能提出来，整体换元)

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例题1：23李林六套卷(五)11.   括号内自变量不干净：换元

分析：①换元(换元要换上下限) ②区间变换

答案：0

例题2：20年12.   积分上限函数、二元混合偏导

分析：
∂ f ∂ y = e x ( x y ) 2 ⋅ x = x e x 3 y 2 \dfrac{∂f}{∂y}=e^{x(xy)^2}·x=xe^{x^3y^2} ∂y∂f​=ex(xy)2⋅x=xex3y2

∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ( ∂ f ∂ y ) ∂ x = e x 3 y 2 + x e x 3 y 2 ⋅ y 2 3 x 2 = ( 1 + 3 x 3 y 2 ) e x 3 y 2 \dfrac{∂^2f}{∂y∂x}=\dfrac{∂(\dfrac{∂f}{∂y})}{∂x}=e^{x^3y^2}+xe^{x^3y^2}·y^23x^2=(1+3x^3y^2)e^{x^3y^2} ∂y∂x∂2f​=∂x∂(∂y∂f​)​=ex3y2+xex3y2⋅y23x2=(1+3x3y2)ex3y2

∂ 2 f ∂ y ∂ x ∣ ( 1 , 1 ) = ( 1 + 3 x 3 y 2 ) e x 3 y 2 ∣ ( 1 , 1 ) = ( 1 + 3 ) e = 4 e \dfrac{∂^2f}{∂y∂x}|_{(1,1)}=(1+3x^3y^2)e^{x^3y^2}|_{(1,1)}=(1+3)e=4e ∂y∂x∂2f​∣(1,1)​=(1+3x3y2)ex3y2∣(1,1)​=(1+3)e=4e

答案：4e

例题3：10年16.

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2.变限积分的连续性与可导性

若f(x)连续，则其变上限积分 ∫ a x f ( t ) d t \int_a^xf(t)dt ∫ax​f(t)dt 可导，且其导数为f(x)

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例题1：23李林六套卷(一)2.

分析：
(法一)变限积分的可导性

f在除x₀点处均连续，则
若x₀点连续、可去间断点，则f的变限积分可导
若x₀点跳跃间断点，则f的变限积分连续不可导

f是分段函数，a决定了f是连续的还是跳跃间断点，因此f的变限积分的可导性取决于a

(法二)导数定义

答案：D

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反常积分 (广义积分)

定积分要求：①积分区间有限 ②被积函数有界
由此区分两种反常积分：①无穷区间的反常积分 ②无界函数的反常积分

1.无穷区间上的反常积分

1.定义

① ∫ a + ∞ f ( x ) d x = lim ⁡ t → + ∞ ∫ a t f ( x ) d x \int_a^{+∞}f(x)dx=\lim\limits_{t→+∞}\int_a^tf(x)dx ∫a+∞​f(x)dx=t→+∞lim​∫at​f(x)dx

② ∫ − ∞ b f ( x ) d x = lim ⁡ t → − ∞ ∫ t b f ( x ) d x \int_{-∞}^bf(x)dx=\lim\limits_{t→-∞}\int_t^bf(x)dx ∫−∞b​f(x)dx=t→−∞lim​∫tb​f(x)dx

③ ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = ∫ − ∞ 0 f ( x ) d x + ∫ 0 + ∞ f ( x ) d x \int_{-∞}^{+∞}f(x)dx=\int_{-∞}^0f(x)dx+\int_0^{+∞}f(x)dx ∫−∞+∞​f(x)dx=∫−∞0​f(x)dx+∫0+∞​f(x)dx （后面两个都收敛，才算在(-∞,+∞)上收敛）

2.判敛散性

①定义：原函数好找，直接求出积分

②判审敛
(1)比较判别法
大的收敛，小的收敛。小的发散，大的发散。
【判收敛，要放大。判发散，要缩小】

(2)比较判别法的极限形式

③比较对象：
无穷区间上的P积分： ∫ a + ∞ 1 x P d x { P > 1 收敛 P ≤ 1 发散 ( a > 0 ) \int_a^{+∞}\dfrac{1}{x^P}dx\,\left\{\begin{aligned} P>1 & \quad 收敛 \\ P≤1 & \quad 发散 \end{aligned}\right. \quad (a>0) ∫a+∞​xP1​dx{P>1P≤1​收敛发散​(a>0)

3.计算

①凑微分
②换元
③分部积分

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例题1：13年12.

分析：

答案： ln ⁡ 2 \ln2 ln2

例题2：广义积分的计算

答案：

例题3：23李林四(二)12.

分析：

答案：π-2ln2

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2.无界函数的反常积分 / 瑕积分

1.定义

① 设点a为函数f(x)的瑕点， ∫ a b f ( x ) d x = lim ⁡ t → a + ∫ t b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx=\lim\limits_{t→a^+}\int_t^bf(x)dx ∫ab​f(x)dx=t→a+lim​∫tb​f(x)dx

② 设点b为函数f(x)的瑕点， ∫ a b f ( x ) d x = lim ⁡ t → b − ∫ a t f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx=\lim\limits_{t→b^-}\int_a^tf(x)dx ∫ab​f(x)dx=t→b−lim​∫at​f(x)dx

③ 设点c为函数f(x)的瑕点 (a<c<b)， ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx ∫ab​f(x)dx=∫ac​f(x)dx+∫cb​f(x)dx （后面两个都收敛，才算收敛）

2.判收敛性

①定义：直接求出积分

②判审敛
(1)比较审敛法
(2)比较审敛法的极限形式

③比较对象：
无界函数的P积分： ∫ a b 1 ( x − a ) P d x , ∫ a b 1 ( b − x ) P d x { P < 1 收敛 P ≥ 1 发散 \displaystyle\int_a^b\dfrac{1}{(x-a)^P}dx\,,\int_a^b\dfrac{1}{(b-x)^P}dx\,\left\{\begin{aligned} P<1 & \quad 收敛 \\ P≥1 & \quad 发散 \end{aligned}\right. ∫ab​(x−a)P1​dx,∫ab​(b−x)P1​dx{P<1P≥1​收敛发散​

---

例题1：

例题2：

答案：C

---

3.计算

瑕点：被积函数在邻域内无界的点

瑕积分的计算不难，要仔细地分离出有限部分和带瑕点的部分，后者用极限求出，常用洛必达。注意不要抄错。

---

例题1：23李林六套卷(三)12.

答案：

---

3.反常积分的审敛法

1.极限审敛法

反常积分收敛：瑕点 p<1，无穷p>1

2.比较审敛法

同济上册P262-267

---

例题1：16年1.

分析：反常积分收敛：瑕点 p<1，无穷p>1

答案：C

例题2：10年3.  无界函数的反常积分审敛法

答案：D

---

4.Γ函数

Γ ( n + 1 ) = ∫ 0 + ∞ x n ⋅ e − x d x = n ! Γ(n+1)=\int_0^{+∞}x^n·e^{-x}dx=n! Γ(n+1)=∫0+∞​xn⋅e−xdx=n!

Ch6.定积分应用

定积分的几何应用

1.平面图形的面积

1.定积分：
①直角坐标： S = ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x S=\int_a^b[f(x)-g(x)]\,{\rm d}x S=∫ab​[f(x)−g(x)]dx

②极坐标： S = 1 2 ∫ α β ρ 2 ( θ ) d θ S=\frac{1}{2}\int_α^βρ^2(θ)\,{\rm d}θ S=21​∫αβ​ρ2(θ)dθ

2.二重积分： S = ∬ D 1 d σ S=\iint\limits_D1\,{\rm d}σ S=D∬​1dσ

2.旋转体体积

1.定积分：
①绕x轴： ∫ a b π y 2 d x \int_a^bπy^2\,{\rm d}x ∫ab​πy2dx

②绕y轴： ∫ a b 2 π x y d x \int_a^b2πxy\,{\rm d}x ∫ab​2πxydx

2.二重积分
V = 2 π ∬ D r ( x , y ) d σ V=2π\iint\limits_Dr(x,y)\,{\rm d}σ V=2πD∬​r(x,y)dσ       r ( x , y ) = ∣ a x + b y + c ∣ a 2 + b 2 r(x,y)=\dfrac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} r(x,y)=a2+b2 ​∣ax+by+c∣​

3.平面曲线的弧长

4.旋转体侧面积

注意：若是f(x)带有sinx，则需要分区间讨论，无穷多个区间，需要用无穷级数。而不能直接在[0,+∞)上积分

---

例题1：19年17.

分析：

答案： 1 2 + 1 e π − 1 \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{e^π-1} 21​+eπ−11​

例题2：23李林四(四)11.

分析：

答案： π 5 ( 1 − e − 2 π ) \dfrac{π}{5(1-e^{-2π})} 5(1−e−2π)π​

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定积分的物理应用

1.速度与路程

面积是路程

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例题1：17年4.

分析：
①交点是速度相等
②积分面积相等才是路程相等，注意甲多出来10m的路程
∴t=25时，S=10+10-20=0

答案：C

---

2.变力做功

①抽水做功

不同深度的水抽出去做功不同，原因是位移不同 。 W = ∫ ρ d v g h W=\intρ{\rm d}vgh W=∫ρdvgh

---

例题1：

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3.水压力

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例题1:23李林六套卷(四)12.

答案：

---

4.引力

Ch7.微分方程

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