高等工程数学（张韵华，汪琥庭，宋立功）—

第八章：数值积分和数值微分

用复化梯形公式计算∫0121+x2dx\int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 2 } { 1 + x ^ { 2 } } d x∫011+x22dx,使其截断误差不超过0.01.

f(x)=21+x2f(x)=\frac{2}{1+x^2}f(x)=1+x22

ddx(21+x2)=−4x(1+x2)2\frac { d } { d x } ( \frac { 2 } { 1 + x ^ { 2 } } ) = - \frac { 4 x } { ( 1 + x ^ { 2 } ) ^ { 2 } }dxd(1+x22)=−(1+x2)24x

ddx(−4x(1+x2)2)=−4(−3x2+1)(1+x2)3\frac { d } { d x } ( - \frac { 4 x } { ( 1 + x ^ { 2 } ) ^ { 2 } } ) = - \frac { 4 ( - 3 x ^ { 2 } + 1 ) } { ( 1 + x ^ { 2 } ) ^ { 3 } }dxd(−(1+x2)24x)=−(1+x2)34(−3x2+1)

f′′(η)=−4(−3x2+1)(1+x2)3f ^ { \prime \prime } ( \eta )= - \frac { 4 ( - 3 x ^ { 2 } + 1 ) } { ( 1 + x ^ { 2 } ) ^ { 3 } }f′′(η)=−(1+x2)34(−3x2+1)

记 M2=max⁡a⩽x⩽b∣f′′(x)∣,则有 \text { 记 } M_{2}=\max _{a \leqslant x \leqslant b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|, \text { 则有 } 记 M2=maxa⩽x⩽b∣f′′(x)∣, 则有，M2=4M_2=4M2=4，(a=0，b=1)

(b−a)312n2M2<ε\frac { ( b - a ) ^ { 3 } } { 12 n ^ { 2 } } M _ { 2 } < \varepsilon12n2(b−a)3M2<ε

求得6⩽n6 \leqslant n6⩽n，

记 nnn 等分的复化梯形公式为 Tn(f)T_{n}(f)Tn(f) 或 T(h),T(h),T(h), 有

Tn(f)=h(12f(a)+∑i=1n−1f(a+ih)+12f(b))T_{n}(f)=h\left(\frac{1}{2} f(a)+\sum_{i=1}^{n-1} f(a+i h)+\frac{1}{2} f(b)\right) Tn(f)=h(21f(a)+i=1∑n−1f(a+ih)+21f(b))

n=6n=6n=6，h=16h=\frac{1}{6}h=61，T6(f)=16(12f(0)+f(0+1∗h)+f(0+2∗h)+f(0+3∗h)+f(0+4∗h)+f(0+5∗h)+12f(1))T_6(f)=\frac{1}{6}(\frac{1}{2}f(0)+f(0+1*h)+f(0+2*h)+f(0+3*h)\\+f(0+4*h)+f(0+5*h)+\frac{1}{2}f(1))T6(f)=61(21f(0)+f(0+1∗h)+f(0+2∗h)+f(0+3∗h)+f(0+4∗h)+f(0+5∗h)+21f(1))，

f(x)=21+x2f(x)=\frac{2}{1+x^2}f(x)=1+x22

T6(f)=1.56848T_6(f)=1.56848T6(f)=1.56848.

准确值：∫0121+x2dx=π2(Decimal: 1.57079…)\int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 2 } { 1 + x ^ { 2 } } d x = \frac { \pi } { 2 } \quad ( \text { Decimal: } \quad 1.57079 \ldots )∫011+x22dx=2π( Decimal: 1.57079…)

用逐次分半的复化梯形公式计算∫0121+x2dx\int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 2 } { 1 + x ^ { 2 } } d x∫011+x22dx,使其截断误差不超过0.01.

复化求积公式是提高精度的一种有效方法，但在使用复化求积公式之前，必须根据复化求积公式的余项进行先验估计，以确定节点数目，从而确定合适的等分步长。因为余项表达式中包含了被积函数的导数，而估计各阶导数的最大值往往是很困难的，且估计的误差上界往往偏大。

所以实际中，常常使用“事后估计误差”的方法，通过区间的逐次分半，在步长逐次分半的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，查看相继两次计算结果的差值是否达到要求，直到所求得的积分值满足精度要求。

用T(2n)做为积分Ｉ的近似值时，其误差大约为

计算时只需检验是否满足？若不满足，则再把区间分半进行计算，直到满足要求为止。这样就实现了步长的自动选取。

T(1)=12[f(0)+f(1)]=1.5T(1)=\frac{1}{2}[f(0)+f(1)]=1.5T(1)=21[f(0)+f(1)]=1.5

n=1n=1n=1时

T(2)=12T(n)+1−02∗1(f(0+1−02∗1(2∗1−1))=1.55T(2)=\frac{1}{2}T(n)+\frac{1-0}{2*1}(f(0+\frac{1-0}{2*1}(2*1-1))=1.55T(2)=21T(n)+2∗11−0(f(0+2∗11−0(2∗1−1))=1.55

T(2)=122(f(0)+2f(12)+f(1))=1.55T(2) = \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } } ( f ( 0 ) + 2 f ( \frac { 1 } { 2 } ) + f ( 1 ) )=1.55T(2)=221(f(0)+2f(21)+f(1))=1.55

n=2n=2n=2时

T(4)=12T(2)+12∗2(f(14)+f(34))T(4)=\frac{1}{2}T(2)+\frac{1}{2*2}(f(\frac{1}{4})+f(\frac{3}{4}))T(4)=21T(2)+2∗21(f(41)+f(43))

T(4)=123(f(0)+2f(14)+2f(24)+2f(34)+f(1))=18(2+1+165+6417+6425)=1.5656T(4) = \frac { 1 } { 2 ^ { 3 } } ( f ( 0 ) + 2 f ( \frac { 1 } { 4 } ) + 2 f ( \frac { 2 } { 4 } ) + 2 f ( \frac { 3 } { 4 } ) + f ( 1 ) )=\frac { 1 } { 8 } ( 2 + 1 + \frac { 16 } { 5 } + \frac { 64 } { 17 } + \frac { 64 } { 25 } )=1.5656T(4)=231(f(0)+2f(41)+2f(42)+2f(43)+f(1))=81(2+1+516+1764+2564)=1.5656.

T(8)=124(f(0)+2f(18)+2f(28)+2f(38)+2f(48)+2f(58)+2f(68)+2f(78)+f(1))=1.5695T(8)=\frac{1}{2^4}(f(0)+2 f ( \frac { 1 } { 8 })+2 f ( \frac { 2 } { 8 })+2 f ( \frac { 3 } { 8 })+2 f ( \frac { 4 } { 8 })+2 f ( \frac { 5 } { 8 })+2 f ( \frac { 6 } { 8 })+2 f ( \frac { 7 } { 8 })+f(1))=1.5695T(8)=241(f(0)+2f(81)+2f(82)+2f(83)+2f(84)+2f(85)+2f(86)+2f(87)+f(1))=1.5695.

误差：∣(T(8)−T(4))∣=0.0039|(T(8)-T(4))|=0.0039∣(T(8)−T(4))∣=0.0039.

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