第23次CSP认证第4题收集卡牌（记忆化搜索，状压）

链接：http://118.190.20.162/view.page?gpid=T132

思路：先写一个暴力搜索，然后把中间结点的状态存起来，就是记忆化搜索，状态要存搜索到的层数和选择的卡牌数，0代表不选，1代表选，可以把16个卡牌是否选的状态压缩到2的16次方的一个int数中。
注意：1.题目有一个坑点，题目里的精度是骗人的，输出精度要达到1e-10才行，1e-5的精度会WA
2.dp数组第一维度保存层数，极端情况是是16张牌，一张牌概率0.9985，其他牌概率0.0001，k最大=5，所以树的深度最深是75左右，所以开100就够，存01状压的维度，要大于2的16次方也就是65536，所以可以开70000
3.考场上脑抽了，更新了dp数组后，没有用dp数组已经保存的值，而是又dfs下去了。。然后超时
先上20分的暴力搜索代码

2022/5/9更新：
好多人私信我问我代码的问题，我先讲一下暴力递归的分析思路：
先是想一颗树，第一层是N张牌，对于第一层的每张牌，第二层再抽N张牌，以此类推，对这颗树进行搜索的时候，就是进行一次深搜，我最终的期望相当于第一层每个结点期望的加权求和，那就是抽到每张牌的概率p乘上这个结点的期望值。之后的层同理。但是发现搜索空间太大，必须记忆化，这是dp类题目。
做dp类题目先想状态的表示，这个题根据数据可以知道要用状态压缩dp，即0和1代表卡牌的有无，但是只用一维不能解决问题，当时我是先写出了暴力的代码，根据函数的参数发现层数也需要存一下，相当于一共参与了几次抽卡。
然后发现状态转移和暴力的一样，于是改动不大，只需要把状态存起来就好。

#include <bits/stdc++.h>
const int maxn=50;
using namespace std;
double p[maxn+5];
int book[maxn+5];
int N,K;
double dfs(int now,int lev,int left){if((lev-(N-left))/K>=left)return lev;int flag=1;for(int i=0;i<N;i++){if(book[i]==0)flag=0;}if(flag==1)return lev;double ans=0;for(int i=0;i<N;i++){if(book[i]==0){book[i]=1;ans+=p[i]*dfs(i,lev+1,left-1);book[i]=0;}else ans+=p[i]*dfs(i,lev+1,left);}return ans;
}
int main()
{cin>>N>>K;for(int i=0;i<N;i++){cin>>p[i];}double ans=0;for(int i=0;i<N;i++){book[i]=1;ans+=p[i]*dfs(i,1,N-1);book[i]=0;}cout<<ans<<endl;return 0;
}

然后是满分的状压+记忆化搜索代码

#include <bits/stdc++.h>
const int maxn=50;
using namespace std;
double p[maxn+5];
int book[maxn+5];
int N,K;
double dp[1000][70000];
double dfs(int lev,int left,int state){//层数，剩余牌数，01选或者不选的状态if((lev-(N-left))/K>=left)return lev;double ans=0;for(int i=0;i<N;i++){int temps;if(book[i]==0){book[i]=1;temps=state|(1<<i);if(dp[lev+1][temps]==0){dp[lev+1][temps]=dfs(lev+1,left-1,temps);}ans+=p[i]*dp[lev+1][temps];book[i]=0;}else{if(dp[lev+1][state]==0){dp[lev+1][state]=dfs(lev+1,left,state);}ans+=p[i]*dp[lev+1][state];}}return ans;
}
int main()
{cin>>N>>K;for(int i=0;i<N;i++){cin>>p[i];}double ans=0;for(int i=0;i<N;i++){book[i]=1;int st=(1<<i);if(dp[1][st]==0){dp[1][st]=dfs(1,N-1,st);}ans+=p[i]*dfs(1,N-1,st);book[i]=0;}printf("%.10f",ans);return 0;
}

考完以后写了一个更短的。。

#include <iostream>
const int maxn=30;
using namespace std;
int N,K;
double p[maxn+5];
int book[maxn+5];
double dp[100][80000];
double dfs(int level,int have,int state){//层数，已经抽中的卡牌数，01状态if((N-have)*K<=level-have){return level;}double ans=0;for(int i=0;i<N;i++){if(book[i]==0){book[i]=1;if(dp[level+1][state+(1<<i)]==0){dp[level+1][state+(1<<i)]=dfs(level+1,have+1,state+(1<<i));}ans+=p[i]*dp[level+1][state+(1<<i)];book[i]=0;}else{if(dp[level+1][state]==0){dp[level+1][state]=dfs(level+1,have,state);}ans+=p[i]*dp[level+1][state];}}return ans;
}
int main()
{cin>>N>>K;for(int i=0;i<N;i++){cin>>p[i];}double ans=dfs(0,0,0);printf("%.10f",ans);return 0;
}

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