【矩阵论】2. 矩阵分解—

矩阵论
1. 准备知识——复数域上矩阵,Hermite变换)
1.准备知识——复数域上的内积域正交阵
1.准备知识——Hermite阵，二次型，矩阵合同，正定阵，幂0阵，幂等阵，矩阵的秩
2. 矩阵分解——SVD准备知识——奇异值
2. 矩阵分解——SVD
2. 矩阵分解——QR分解
2. 矩阵分解——正定阵分解
2. 矩阵分解——单阵谱分解
2. 矩阵分解——正规分解——正规阵
2. 矩阵分解——正规谱分解
2. 矩阵分解——高低分解
3. 矩阵函数——常见解析函数
3. 矩阵函数——谱公式,幂0与泰勒计算矩阵函数
3. 矩阵函数——矩阵函数求导
4. 矩阵运算——观察法求矩阵特征值特征向量
4. 矩阵运算——张量积
4. 矩阵运算——矩阵拉直
4.矩阵运算——广义逆——加号逆定义性质与特殊矩阵的加号逆
4. 矩阵运算——广义逆——加号逆的计算
4. 矩阵运算——广义逆——加号逆应用
4. 矩阵运算——广义逆——减号逆
5. 线性空间与线性变换——线性空间
5. 线性空间与线性变换——生成子空间
5. 线性空间与线性变换——线性映射与自然基分解,线性变换
6. 正规方程与矩阵方程求解
7. 范数理论——基本概念——向量范数与矩阵范数
7.范数理论——基本概念——矩阵范数生成向量范数&谱范不等式
7. 矩阵理论——算子范数
7.范数理论——范数估计——许尔估计&谱估计
7. 范数理论——非负/正矩阵
8. 常用矩阵总结——秩1矩阵，优阵(单位正交阵)，Hermite阵
8. 常用矩阵总结——镜面阵，正定阵
8. 常用矩阵总结——单阵，正规阵，幂0阵，幂等阵，循环阵

矩阵分解可以得到简化的乘积矩阵，可以简化后续的计算与处理度

2.2 QR分解

2.2.1 Schmidt正交化

设有3个n阶向量 α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3α1,α2,α3 线性无关
令β1=α1β2=α2−(α2,β1)∣β1∣2β3=α3−(α3,β2)∣β2∣2−(α1,β2)∣β2∣2\begin{aligned} 令&\beta_1=\alpha_1\\ &\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{\vert \beta_1\vert^2}\\ &\beta_3=\alpha_3-\frac{(\alpha_3,\beta_2)}{\vert \beta_2\vert^2}-\frac{(\alpha_1,\beta_2)}{\vert \beta_2\vert^2} \end{aligned} 令β1=α1β2=α2−∣β1∣2(α2,β1)β3=α3−∣β2∣2(α3,β2)−∣β2∣2(α1,β2)

用 Schmidt 正交化方法可构造半U阵 Q=(β1∣β1∣,β2∣β2∣,β3∣β3∣)Q=\left(\frac{\beta_1}{\vert \beta_1\vert},\frac{\beta_2}{\vert \beta_2\vert},\frac{\beta_3}{\vert \beta_3\vert}\right)Q=(∣β1∣β1,∣β2∣β2,∣β3∣β3) 是半U阵，可知 QHQ=IQ^HQ=IQHQ=I

2.2.2 QR分解

a. 定义

高阵

设 A=(α1,⋯,αp)n×pA=\left(\alpha_1,\cdots,\alpha_p\right)_{n\times p}A=(α1,⋯,αp)n×p 为列无关(高阵)，则有分解 A=QRA=QRA=QR，其中 Q=(ϵ1,⋯,ϵp)n×pQ=\left(\epsilon_1,\cdots,\epsilon_p \right)_{n\times p}Q=(ϵ1,⋯,ϵp)n×p 为半U阵，R=(b1∗⋱0bp)R=\left( \begin{matrix} b_1&&*\\ &\ddots&\\ 0&&b_p \end{matrix} \right)R=b10⋱∗bp 是上三角, 且 bi>0b_i>0bi>0

Q阵求法

由Schmidt公式，产生正交向量组 β1,β2,⋯,βp\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_pβ1,β2,⋯,βp ，单位化可得 ϵ1=β1∣β1∣,⋯,ϵp=βp∣βp∣\epsilon_1=\frac{\beta_1}{\vert \beta_1\vert},\cdots,\epsilon_p=\frac{\beta_p}{\vert \beta_p\vert}ϵ1=∣β1∣β1,⋯,ϵp=∣βp∣βp ，则 QQQ 是半U阵，QHQ=IQ^HQ=IQHQ=I
R阵求法

A=QRA=QRA=QR ，则 QHA=QHQR=R⇒R=QHAQ^HA=Q^HQR=R\Rightarrow R=Q^HAQHA=QHQR=R⇒R=QHA

方阵

任一方阵 A=(α1,⋯,αn)A=\left(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\right)A=(α1,⋯,αn) ，有 A=QRA=QRA=QR ，其中 Q=Qn×nQ=Q_{n\times n}Q=Qn×n 是U阵，R=(b1∗⋱0bp)R=\left( \begin{matrix} b_1&&*\\ &\ddots&\\ 0&&b_p \end{matrix} \right)R=b10⋱∗bp 是上三角，且 bi>0b_i>0bi>0

b. QR分解步骤

先用 Schmidt 公式，求U阵Q或半U阵Q
在用 R=QHAR=Q^HAR=QHA，求上三角阵R
写出分解A=QR

eg
A=(12ii1i0)=(α1,α2)，求QR分解\begin{aligned} &A=\left( \begin{matrix} 1&2i\\ i&1\\ i&0 \end{matrix} \right)=\left(\alpha_1,\alpha_2\right)，求QR分解 \end{aligned} A=1ii2i10=(α1,α2)，求QR分解

β1=α1=(1ii),β2=α1−(α2,β1)∣β2∣2β1=13(5i41)ϵ1=β1∣β1∣=13(1ii),ϵ2=β2∣β2∣=142(5i41),令Q=(ϵ1,⋯,ϵ2)=(135i42i3442i3142)为半U阵R=QHA=(13−i3−i3−5i42442142)A=(3i30143)为上三角,可得A=QR=(135i42i3442i3142)(3i30143)\begin{aligned} &\beta_1=\alpha_1=\left( \begin{matrix} 1\\i\\i \end{matrix} \right),\beta_2=\alpha_1-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{\vert \beta_2 \vert^2}\beta_1=\frac{1}{3}\left( \begin{matrix} 5i\\4\\1 \end{matrix} \right)\\ &\epsilon_1=\frac{\beta_1}{\vert \beta_1 \vert}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left( \begin{matrix} 1\\i\\i \end{matrix} \right),\epsilon_2=\frac{\beta_2}{\vert \beta_2\vert}=\frac{1}{42}\left( \begin{matrix} 5i\\4\\1 \end{matrix} \right),\\ &令Q=\left(\epsilon_1,\cdots,\epsilon_2\right)=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{5i}{\sqrt{42}}\\ \frac{i}{3}&\frac{4}{\sqrt{42}}\\ \frac{i}{3}&\frac{1}{\sqrt{42}} \end{matrix} \right)为半U阵\\ &R=Q^HA=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{-i}{3}&\frac{-i}{3}\\ \frac{-5i}{\sqrt{42}}&\frac{4}{\sqrt{42}}&\frac{1}{\sqrt{42}}\\ \end{matrix} \right)A=\left( \begin{matrix} \sqrt{3}&\frac{i}{\sqrt{3}}\\ 0&\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{3}} \end{matrix} \right)为上三角,\\ &可得A=QR=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{5i}{\sqrt{42}}\\ \frac{i}{3}&\frac{4}{\sqrt{42}}\\ \frac{i}{3}&\frac{1}{\sqrt{42}} \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} \sqrt{3}&\frac{i}{\sqrt{3}}\\ 0&\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{3}} \end{matrix} \right) \end{aligned} β1=α1=1ii,β2=α1−∣β2∣2(α2,β1)β1=315i41ϵ1=∣β1∣β1=311ii,ϵ2=∣β2∣β2=4215i41,令Q=(ϵ1,⋯,ϵ2)=313i3i425i424421为半U阵R=QHA=(3142−5i3−i4243−i421)A=(303i314)为上三角,可得A=QR=313i3i425i424421(303i314)

c. 例题

方阵

A=(1ii1)=(α1,α2)\begin{aligned} &A=\left( \begin{matrix} 1&i\\ i&1 \end{matrix} \right)=\left(\alpha_1,\alpha_2\right) \end{aligned} A=(1ii1)=(α1,α2)

令β1=α1=(1i),∣β1∣2=2,∣β1∣=2β2=α2−(α2,β1)∣β1∣2β1=(i1)单位化，令ϵ1=β1∣β1∣=12β1,ϵ2=β2∣β2∣=12β2令Q=(ϵ1,ϵ2)=(12i2i212),R=QHA=(2002)可得A=QR=(12i2i212)(2002)\begin{aligned} &令\beta_1=\alpha_1=\left( \begin{matrix} 1\\i \end{matrix} \right),\vert \beta_1\vert^2=2,\vert \beta_1\vert=\sqrt{2}\\ &\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{\vert \beta_1\vert^2}\beta_1=\left( \begin{matrix} i\\1 \end{matrix} \right)\\ &单位化，令\epsilon_1=\frac{\beta_1}{\vert \beta_1\vert}=\frac{1}{\sqrt{2}}\beta_1,\epsilon_2=\frac{\beta_2}{\vert \beta_2\vert}=\frac{1}{\sqrt{2}}\beta_2\\ &令Q=\left( \begin{matrix} \epsilon_1,\epsilon_2 \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{i}{\sqrt{2}}\\ \frac{i}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} \right),R=Q^HA=\left( \begin{matrix} \sqrt{2}&0\\ 0&\sqrt{2} \end{matrix} \right)\\ &可得A=QR=\left( \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{i}{\sqrt{2}}\\ \frac{i}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} \sqrt{2}&0\\ 0&\sqrt{2} \end{matrix} \right) \end{aligned} 令β1=α1=(1i),∣β1∣2=2,∣β1∣=2β2=α2−∣β1∣2(α2,β1)β1=(i1)单位化，令ϵ1=∣β1∣β1=21β1,ϵ2=∣β2∣β2=21β2令Q=(ϵ1,ϵ2)=(212i2i21),R=QHA=(2002)可得A=QR=(212i2i21)(2002)

列高阵

A=(α1,α2,α3)=(1−1414−21421−10)4×3,求A=QR\begin{aligned} &A=\left( \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \right)=\left( \begin{matrix} 1&-1&4\\ 1&4&-2\\ 1&4&2\\ 1&-1&0 \end{matrix} \right)_{4\times 3},求A=QR \end{aligned} A=(α1,α2,α3)=1111−144−14−2204×3,求A=QR

令β1=α1=(1111),∣β1∣2=4,∣β1∣=2β2=α2−(α2,β1)∣β1∣2β1=52(−111−1),∣β2∣=5,β3=α3−(α3,β2)∣β2∣2β2−(α3,β1)∣β1∣2=2(1−11−1),∣β3∣=4ϵ1=β1∣β1∣=12(1111),ϵ2=β2∣β2∣=12(−111−1),ϵ3=β3∣β3∣=12(1−11−1)令Q=(ϵ1,ϵ2,ϵ3)=12(1−1111−11111−1−1),为半U阵.R=QHA=(23205−2004)则A=QR=12(1−1111−11111−1−1)(23205−2004)\begin{aligned} &令\beta_1=\alpha_1=\left( \begin{matrix} 1\\1\\1\\1 \end{matrix} \right),\vert \beta_1\vert^2=4,\vert \beta_1\vert=2\\ &\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{\vert \beta_1\vert^2}\beta_1=\frac{5}{2}\left( \begin{matrix} -1\\1\\1\\-1 \end{matrix} \right),\vert \beta_2\vert=5,\\ &\beta_3=\alpha_3-\frac{(\alpha_3,\beta_2)}{\vert \beta_2\vert^2}\beta_2-\frac{(\alpha_3,\beta_1)}{\vert \beta_1\vert^2}=2\left( \begin{matrix} 1\\-1\\1\\-1 \end{matrix} \right),\vert \beta_3\vert=4\\ &\epsilon_1=\frac{\beta_1}{\vert \beta_1\vert}=\frac{1}{2}\left( \begin{matrix} 1\\1\\1\\1 \end{matrix} \right),\epsilon_2=\frac{\beta_2}{\vert \beta_2\vert}=\frac{1}{2}\left( \begin{matrix} -1\\1\\1\\-1 \end{matrix} \right),\epsilon_3=\frac{\beta_3}{\vert \beta_3\vert}=\frac{1}{2}\left( \begin{matrix} 1\\-1\\1\\-1 \end{matrix} \right)\\ & 令Q=\left(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3\right)=\frac{1}{2}\left( \begin{matrix} 1&-1&1\\ 1&1&-1\\ 1&1&1\\ 1&-1&-1 \end{matrix} \right),为半U阵.R=Q^HA=\left( \begin{matrix} 2&3&2\\ 0&5&-2\\ 0&0&4 \end{matrix} \right)\\ &则A=QR=\frac{1}{2}\left( \begin{matrix} 1&-1&1\\ 1&1&-1\\ 1&1&1\\ 1&-1&-1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 2&3&2\\ 0&5&-2\\ 0&0&4 \end{matrix} \right) \end{aligned} 令β1=α1=1111,∣β1∣2=4,∣β1∣=2β2=α2−∣β1∣2(α2,β1)β1=25−111−1,∣β2∣=5,β3=α3−∣β2∣2(α3,β2)β2−∣β1∣2(α3,β1)=21−11−1,∣β3∣=4ϵ1=∣β1∣β1=211111,ϵ2=∣β2∣β2=21−111−1,ϵ3=∣β3∣β3=211−11−1令Q=(ϵ1,ϵ2,ϵ3)=211111−111−11−11−1,为半U阵.R=QHA=2003502−24则A=QR=211111−111−11−11−12003502−24

d. QR分解证明

有Schmidt公式，可将A的列向量写为:{β1=α1β2=α2−(α2,β1)∣β1∣2β1⋮βp=αp−(αp,β1)∣β1∣2β1−⋯−(αp,βp−1)∣βp−1∣2βp−1可知α向量组与β向量组可互相表出：{α1=β1α2=(∗)β1+β2⋮αp=(∗)β1+(∗)β2+⋯+βp⇒(α1,⋯,αp)=(β1,β2,⋯,βp)(1∗⋯∗01⋯∗⋮⋮⋱⋮00⋯1)若将β向量组单位化：ϵ1=β1∣β1∣,ϵ=β2∣β2∣,⋯,ϵp=βp∣βp∣则(β1,β2,⋯,βp)=(∣β1∣ϵ1,∣β2∣ϵ2,⋯,∣βp∣ϵp)=(ϵ1,ϵ2,⋯,ϵp)(∣β1∣∣β2∣⋱∣βp∣)故A=(β1,β2,⋯,βp)(1∗⋯∗01⋯∗⋮⋮⋱⋮00⋯1)=(ϵ1,ϵ2,⋯,ϵp)(∣β1∣∣β2∣⋱∣βp∣)(1∗⋯∗01⋯∗⋮⋮⋱⋮00⋯1)=(ϵ1,ϵ2,⋯,ϵp)(∣β1∣∗⋯∗0∣β2∣⋯∗⋮⋮⋱⋮00⋯∣βp∣)=QR\begin{aligned} &有Schmidt公式，可将A的列向量写为:\\ &\left\{ \begin{aligned} &\quad\beta_1=\alpha_1\\ &\quad \beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{\vert \beta_1\vert^2}\beta_1\\ &\quad\vdots\\ &\quad\beta_p=\alpha_p-\frac{(\alpha_p,\beta_1)}{\vert \beta_1\vert^2}\beta_1-\cdots-\frac{(\alpha_p,\beta_{p-1})}{\vert \beta_{p-1}\vert^2}\beta_{p-1}\\ \end{aligned} \right.\\ &可知 \alpha向量组与\beta向量组可互相表出：\\ &\left\{ \begin{aligned} &\quad\alpha_1=\beta_1\\ &\quad\alpha_2=(*)\beta_1+\beta_2\\ &\quad\vdots\\ &\quad\alpha_p=(*)\beta_1+(*)\beta_2+\cdots+\beta_p \end{aligned} \right.\\ &\Rightarrow \left(\alpha_1,\cdots,\alpha_p\right)=\left(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_p\right)\left( \begin{matrix} 1&*&\cdots&*\\ 0&1&\cdots&*\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1 \end{matrix} \right)\\ &若将\beta向量组单位化：\epsilon_1=\frac{\beta_1}{\vert \beta_1\vert},\epsilon=\frac{\beta_2}{\vert \beta_2\vert},\cdots,\epsilon_p=\frac{\beta_p}{\vert \beta_p\vert}\\ &则\left(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_p\right)=\left( \vert \beta_1\vert\epsilon_1,\vert \beta_2\vert\epsilon_2,\cdots,\vert \beta_p\vert\epsilon_p \right)\\ &=\left(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_p\right)\left( \begin{matrix} \vert \beta_1\vert &&\\ &&\vert \beta_2\vert& \\ &&&\ddots&\\ &&&&\vert \beta_p\vert \end{matrix} \right)\\ &故A=\left(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_p\right)\left( \begin{matrix} 1&*&\cdots&*\\ 0&1&\cdots&*\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1 \end{matrix} \right)\\ &=\left(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_p\right)\left( \begin{matrix} \vert \beta_1\vert &&\\ &&\vert \beta_2\vert& \\ &&&\ddots&\\ &&&&\vert \beta_p\vert \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1&*&\cdots&*\\ 0&1&\cdots&*\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1 \end{matrix} \right)\\ &=\left(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_p\right)\left( \begin{matrix} \vert \beta_1\vert&*&\cdots&*\\ 0&\vert \beta_2\vert&\cdots&*\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&\vert \beta_p\vert \end{matrix} \right)\\ &=QR \end{aligned} 有Schmidt公式，可将A的列向量写为:⎩⎨⎧β1=α1β2=α2−∣β1∣2(α2,β1)β1⋮βp=αp−∣β1∣2(αp,β1)β1−⋯−∣βp−1∣2(αp,βp−1)βp−1可知α向量组与β向量组可互相表出：⎩⎨⎧α1=β1α2=(∗)β1+β2⋮αp=(∗)β1+(∗)β2+⋯+βp⇒(α1,⋯,αp)=(β1,β2,⋯,βp)10⋮0∗1⋮0⋯⋯⋱⋯∗∗⋮1若将β向量组单位化：ϵ1=∣β1∣β1,ϵ=∣β2∣β2,⋯,ϵp=∣βp∣βp则(β1,β2,⋯,βp)=(∣β1∣ϵ1,∣β2∣ϵ2,⋯,∣βp∣ϵp)=(ϵ1,ϵ2,⋯,ϵp)∣β1∣∣β2∣⋱∣βp∣故A=(β1,β2,⋯,βp)10⋮0∗1⋮0⋯⋯⋱⋯∗∗⋮1=(ϵ1,ϵ2,⋯,ϵp)∣β1∣∣β2∣⋱∣βp∣10⋮0∗1⋮0⋯⋯⋱⋯∗∗⋮1=(ϵ1,ϵ2,⋯,ϵp)∣β1∣0⋮0∗∣β2∣⋮0⋯⋯⋱⋯∗∗⋮∣βp∣=QR

e. QR分解的平移性质

若方阵 An×nA_{n\times n}An×n 不可逆(∣A∣=0)(\vert A\vert =0)(∣A∣=0)，令 Aϵ=(A+ϵI),AϵA_{\epsilon}=(A+\epsilon I),A_{\epsilon}Aϵ=(A+ϵI),Aϵ 可逆 ⇒Aϵ=QϵRϵ\Rightarrow A_\epsilon=Q_\epsilon R_{\epsilon}⇒Aϵ=QϵRϵ ，若 ϵ→0⇒A=QR\epsilon\rightarrow 0\Rightarrow A=QRϵ→0⇒A=QR ，QQQ 为U阵，RRR 为上三角阵