用豪斯霍尔德（Householder）变换进行矩阵的QR分解，及其Matlab和OpenCV实现

1、豪斯霍尔德变换
一般地，对给定的mmm维向量aaa，考虑分块 a=[a1a2]a=\left[ \begin{matrix} {{a}_{1}} \\ {{a}_{2}} \\ \end{matrix} \right]a=[a1a2]，其中a1{{a}_{1}}a1是(k−1)(k-1)(k−1)维向量，1≤k<m1\le k<m1≤k<m。如果豪斯霍尔德向量为v=[0a2]−αekv=\left[ \begin{matrix} 0 \\ {{a}_{2}} \\ \end{matrix} \right]-\alpha {{e}_{k}}v=[0a2]−αek，其中α=−sign(ak)∣∣a2∣∣2\alpha =-sign({{a}_{k}})||{{a}_{2}}|{{|}_{2}}α=−sign(ak)∣∣a2∣∣2，ek{{e}_{k}}ek是单位矩阵的第k{k}k列，则由此形成的豪斯霍尔德变换可消去aaa的后m−km-km−k个分量。对k=1,2,⋯,nk=1,2,\cdots ,nk=1,2,⋯,n用这种方法可定义一系列豪斯霍尔德变换，以消去m×nm\times nm×n阶矩阵AAA的副对角线及以下的元素，对AAA的列按从左到右的顺序依次作上述变换，就可将矩阵约化为上三角阵。每个豪斯霍尔德变换只对AAA的未被约化的部分起作用，并不影响前面已约化好的部分，因而在依次变换过程中，已得到的零元素能得以保持。对任意向量uuu，经过豪斯霍尔德变换HHH后，为 Hu=(I−2vvTvTv)u=u−(2vTuvTv)vHu=\left( I-2\frac{v{{v}^{T}}}{{{v}^{T}}v} \right)u=u-\left( 2\frac{{{v}^{T}}u}{{{v}^{T}}v} \right)vHu=(I−2vTvvvT)u=u−(2vTvvTu)v，这个变换的计算量比通常的矩阵向量相乘要少得多，且只要知道向量vvv即可，不必具体算出矩阵HHH。
2、伪代码

3、Matlab实现

%% Matlab 2018b——用豪斯霍尔德变换进行矩阵的QR分解:A→R（上三角阵）
A=[1,0,0;0,1,0;0,0,1;-1,1,0;-1,0,1;0,-1,1];
% b=[1237,1941,2417,711,1177,475];
% A=[A,b'];
[m,n]=size(A);
alpha=zeros(1,n);
beta=alpha;
gama=alpha;
v=zeros(m,n);
E=eye(m,n);
for i=1:nalpha(i)=-1*sign(A(i,i))*sqrt(sum(A(i:m,i).*A(i:m,i)));v(:,i)=[zeros(i-1,1);A(i:m,i)]-alpha(i).*E(:,i);beta(i)=v(:,i)'*v(:,i);if beta(i)==0continue; endfor j=i:ngama(j)=v(:,i)'*A(:,j);A(:,j)=A(:,j)-(2*gama(j)/beta(i)).*v(:,i);  end
end
R=A;

4、OpenCV实现

// OpenCV 4.5.0——用豪斯霍尔德变换进行矩阵的QR分解：A→R（上三角阵）
#include <iostream>
#include <opencv2/opencv.hpp>using namespace std;
using namespace cv;int main()
{Mat A = (Mat_<float>(6, 3) << 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, -1, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 1);Size n = A.size();Mat alpha = Mat::zeros(1, n.width, CV_32FC1);Mat V = Mat::zeros(n, CV_32FC1);Mat E = Mat::eye(n, CV_32FC1);Mat beta = alpha.clone(), gama = alpha.clone();Mat temp, temp1; // 过程暂存变量for (int i = 0; i < n.width; i++){       temp = A(Range(i, n.height), Range(i, i + 1)).clone();temp1 = temp.mul(temp);        // 各项求平方reduce(temp1, temp1, 0, REDUCE_SUM);    // 平方和alpha.at<float>(i) = -1 * A.at<float>(i, i) / fabsf(A.at<float>(i, i)) * sqrt(temp1.at<float>(0));vconcat(Mat::zeros(i, 1, CV_32FC1), temp, temp);V.col(i) = temp - alpha.at<float>(i)*E.col(i);temp1 = V.col(i).t()*V.col(i);beta.at<float>(i) = temp1.at<float>(0);if (beta.at<float>(i) == 0)continue;for (int j = i; j < n.width; j++){temp = V.col(i).t()*A.col(j);gama.at<float>(j) = temp.at<float>(0);A.col(j) = A.col(j) - (2 * gama.at<float>(j) / beta.at<float>(i))*V.col(i);}}cout << A << endl;getchar();return 0;
}

参考文献：《科学计算导论》（第2版）——Michael T. Health 著张威等译

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