正交分解

矩阵的正交分解又称为QR分解，是将矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵的乘积的形式。

任意实数方阵A，都能被分解为 。这里的Q为正交单位阵，即 R是一个上三角矩阵。这种分解被称为QR分解。 QR分解也有若干种算法，常见的包括Gram–Schmidt、Householder和Givens算法。 QR分解是将矩阵分解为一个正交矩阵与上三角矩阵的乘积。用一张图可以形象地表示QR分解：
为啥我们需要正交分解呢？
实际运用过程中，QR分解经常被用来解线性最小二乘问题，这个问题我们后面讲述。

提到正交分解就不得不讨论（Householder transformation Householder变换）豪斯霍尔德变换和（Schmidt orthogonalization Schmidt正交化）施密特正交化

Schmidt正交化

定理1 设A是n阶实非奇异矩阵,则存在正交矩阵Q和实非奇异上三角矩阵R使A有QR分解;且除去相差一个对角元素的绝对值（模）全等于1的对角矩阵因子外,分解是唯一的.

定理2 设A是m×n实矩阵,且其n个列向量线性无关,则A有分解A=QR,其中Q是m×n实矩阵,且满足QHTQ=E,R是n阶实非奇异上三角矩阵该分解除去相差一个对角元素的绝对值（模）全等于1的对角矩阵因子外是唯一的.用Schmidt正交化分解方法对矩阵进行QR分解时，所论矩阵必须是列满秩矩阵。

算法步骤

1. 写出矩阵的列向量;
2. 列向量按照Schmidt正交化正交;
3. 得出矩阵的Q′,R′;
4. 对R′的列向量单位化得到Q，R′的每行乘R′每列的模得푹

matlab代码

function[X,Q,R] = QRSchmidt(A,b)
%方阵的QR的Gram-Schmidt正交化分解法，并用于求解AX=b方程组[m,n]=size(A);
if m~=n%如果不是方阵，则不满足QR分解要求disp('不满足QR分解要求');
end
Q=zeros(m,n);
X=zeros(n,1);
R=zeros(n);
for k=1:nR(k,k)=norm(A(:,k));if R(k,k)==0break;endQ(:,k)=A(:,k)/R(k,k);for j=k+1:nR(k,j)=Q(:,k)'*A(:,j); A(:,j)=A(:,j)-R(k,j)*Q(:,k);end
if nargin==2b=Q'* b;X(n)=b(n)/R(n,n);for i=n-1:-1:1X(i)=(b(i)-sum(R(i,i+1:n).*X(i+1:n)'))/R(i,i);end
elseX=[];
end
end

Householder变换

设A为任一n阶方阵，则必存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角阵R，使得A=QR
设w∈Cn是一个单位向量，令
则称H是一个Householder矩阵或Householder变换。则对于任意的 存在Householder矩阵H，使得Hx=-au。其中

酉矩阵（unitary matrix）
若n阶复矩阵A满足

则称A为酉矩阵，记之为其中，Ah是A的共轭转置
酉矩阵性质
如果A是酉矩阵

1. 
2. 也是酉矩阵；
3. det(A)=1;
4. 充分条件是它的n个列向量是两两正交的单位向量。

算法步骤

1. 将矩阵A按列分块写成A=(α1，α2，...，αn）.如果α1≠0，则可得，存在n阶householder矩阵H1使得于是有
   如果α1=0，则直接进行下一步，此时相当于取，而a1=0.
2. 将矩阵An-1按列分块写成An-1=（αi,α2，... ,αn-1）。如果α1≠0，则可得，存在n-1阶householder矩阵H’2使得 于是有
   此时，令
   
   则H2是n阶Householder矩阵，且使
   
   如果α1=0，则直接进行下一步
3. 对n-2阶矩阵继续进行类似的变换，如此下去，之多在第n-1步，我们可以找到Householder矩阵H1，H2，...，Hn-1使得
   
   令，则Q是酉矩阵之积，从而必有酉矩阵并且A=QR

matlab代码

function[ X,Q,R ] = QRHouseholder(A,b)
%用Householder变换将方阵A分解为正交Q与上三角矩阵R的乘积，并用于求解AX=b方程组
[n,n]=size(A);
E=eye(n);
X=zeros(n,1);
R=zeros(n);
P1=E;
for k=1:n-1%构造w,使Pk=I-2ww's=-sign(A(k,k))* norm(A(k:n,k));R(k,k)=-s;if k==1w=[A(1,1)+s,A(2:n,k)']';elsew=[zeros(1,k-1),A(k,k)+s,A(k+1:n,k)']';R(1:k-1,k)=A(1:k-1,k);endif  norm(w)~=0w=w/norm(w);endP=E-2*w*w';A=P*A;P1=P*P1;R(1:n,n)=A(1:n,n);
end
Q=P1';
if nargin==2b=P1*b;X(n)=b(n)/R(n,n);for i=n-1:-1:1X(i)=(b(i)-sum(R(i,i+1:n).*X(i+1:n)'))/R(i,i);end
elseX=[];
end

matlab自带方法

%产生一个3*3大小的魔方矩阵
A=magic(3)
[Q,R]=qr(A)

使用Eigen C++ Eigen提供了几种矩阵分解的方法

其中HouseholderQR、ColPivHouseholderQR、FullPivHouseholderQR是我们目前要用到的QR分解方法
C++的QR分解代码为

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
using namespace Eigen;
using namespace std;
int main() {Matrix3d A;A<<1,1,1,2,-1,-1,2,-4,5;HouseholderQR<Matrix3d> qr;qr.compute(A);MatrixXd R = qr.matrixQR().triangularView<Upper>();MatrixXd Q =  qr.householderQ();std::cout << "QR2(): HouseholderQR---------------------------------------------"<< std::endl;std::cout << "A "<< std::endl <<A << std::endl << std::endl;std::cout <<"qr.matrixQR()"<< std::endl << qr.matrixQR() << std::endl << std::endl;std::cout << "R"<< std::endl <<R << std::endl << std::endl;std::cout << "Q "<< std::endl <<Q << std::endl << std::endl;std::cout <<"Q*R" << std::endl <<Q*R << std::endl << std::endl;return 0;
}

输出

好了大功告成，为什么我要写计算方法的文章呢，虽然现在有很多的库和包给我们调用，但是我们也不能忘了代码的本质是为了解决复杂的数学问题，从根源上去理解一种计算方法有助于我们对自身代码的优化，比如这些方法我们可以把它写到FPGA和CUDA等并行或者分布式的计算当中，加速我们的计算方法，这比直接单机去调用这些库会超乎想象的快。