一、概述

高斯消去法是一种求解线性方程组的算法。其本质是将线性方程组的增广矩阵转化为行阶梯矩阵

二、原理

已知线性方程组Ax=bAx=bAx=b
写出增广矩阵(A∣b)(A|b)(A∣b)
将其转化为上三角矩阵(A1∣b1)(A^1|b^1)(A1∣b1)
(A1∣b1)=(a11a12⋯a1nb1a22⋯a2nb2⋱⋮⋮annbn)(A^1|b^1)= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}&b_1\\ & a_{22} & \cdots & a_{2n}&b_2\\ && \ddots & \vdots & \vdots \\ & &&a_{nn}&b_n\\ \end{pmatrix} (A1∣b1)=⎝⎜⎜⎜⎛a11a12a22⋯⋯⋱a1na2n⋮annb1b2⋮bn⎠⎟⎟⎟⎞
由该行阶梯矩阵很容易求出解向量xxx
这个过程称为顺序的高斯消元法
实现该过程的MATLAB代码如下：

clear,clc
%消元过程
n=input('请输入系数矩阵的阶数 n:');
A=input('请输入系数矩阵A:');
b=input('请输入b:');
for i=1:n-1A(i+1:n,i)=A(i+1:n,i)/A(i,i);         %消元因子A(i+1:n,i+1:n)=A(i+1:n,i+1:n)-A(i+1:n,i)*A(i,i+1:n);%化成上三角矩阵Ub(i+1:n,1)=b(i+1:n,1)-b(i,1)*A(i+1:n,i);
end
%回代过程
n=n;
U=A;%保存A这个矩阵
b=b;
for j =n:-1:2b(j)=b(j)/U(j,j);b(1:j-1)=b(1:j-1)-b(j)*U(1:j-1,j);
end
b(1)=b(1)/U(1,1);
A   %此时A的下三角矩阵为L，上三角矩阵为U，实现LU三角分解
b%b为线性方程组的解

三、高斯列主元消去法

当出现零主元或小主元时，消元或不可行或数值不稳定，此时需要对原有的高斯消去法进行改进
在将增广矩阵转化为行阶梯矩阵的过程中，每一列选择绝对值最大的元素作为主元素进行消元
实现该过程的MATLAB代码如下：

clear,clc
%消元过程
n=input('请输入系数矩阵的阶数 n:');
A=input('请输入系数矩阵A:');
b=input('请输入b:');
c=zeros(1,n);
d=0;
for i=1:n-1[max_a,k]=max(abs(A(i:n,i)));k=k+i-1;%找出列主元c=A(k,:);A(k,:)=A(i,:);A(i,:)=c;d=b(k,1);b(k,1)=b(i,1);b(i,1)=d;%行交换A(i+1:n,i)=A(i+1:n,i)/A(i,i);         %消元因子A(i+1:n,i+1:n)=A(i+1:n,i+1:n)-A(i+1:n,i)*A(i,i+1:n);b(i+1:n,1)=b(i+1:n,1)-b(i,1)*A(i+1:n,i);
end
%回代过程
n=n;
U=A;%保存A这个矩阵
b=b;
for j =n:-1:2b(j)=b(j)/U(j,j);b(1:j-1)=b(1:j-1)-b(j)*U(1:j-1,j);
end
b(1)=b(1)/U(1,1);
A
b%b为线性方程组的解

PS：特别感谢用户稳柱能赢对高斯列主元消去法MATLAB实现代码提供的帮助

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文章目录

一、概述

二、原理

三、高斯列主元消去法

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