复变函数（2）-复变函数及其解析性

东风夜放花千树，更吹落，星如雨

2.1 复变函数的定义：

设DDD是复平面上一个非空点集。如果按照一个确定的法则fff，对于DDD中的每一个点zzz，都有一个或多个复数www与之对应，则称复变数www是复变数zzz的函数，简称为复变函数，记为
w=f(z),z∈Dw=f(z)\ ,\quad z\in D w=f(z) ,z∈D 如果zzz的一个值对应于www的一个值，那么称函数f(z)f(z)f(z)是单值的，如果zzz的一个值对应着www的多个值，那么称函数f(z)f(z)f(z)是多值的。
复变函数也可以和两个二元实函数u(x,y),v(x,y)u(x,y)\ ,\ v(x,y)u(x,y) , v(x,y)联系起来，设w=u+viw=u+viw=u+vi，z=x+yiz=x+yiz=x+yi，则
w=u+vi=f(z)=f(x+yi)=u(x,y)+v(x,y)iw=u+vi=f(z)=f(x+yi)=u(x,y)+v(x,y)iw=u+vi=f(z)=f(x+yi)=u(x,y)+v(x,y)i 复变函数可以类比实函数定义其函数特征。

2.2 指数函数：

对于复变数z=x+yiz=x+yiz=x+yi，称复变数w=ex(cosy+isiny)w=e^x(cosy+isiny)w=ex(cosy+isiny)为复变数zzz的指数函数，记作w=ezw=e^zw=ez，即
w=ez=ex(cosy+isiny)w=e^z=e^x(cosy+isiny)w=ez=ex(cosy+isiny){∣ez∣=exArg(ez)=y+2kπ(k=0,±1,±2,…)\left\{\begin{aligned} & |e^z|=e^x \\ & Arg(e^z)=y+2k\pi\quad (k=0,\pm1,\pm 2,\ldots)\end{aligned}\right.{∣ez∣=exArg(ez)=y+2kπ(k=0,±1,±2,…) 指数函数是单值函数，且在复平面上处处有定义。
（注：这里单值函数是指在z=x+yiz=x+yiz=x+yi这样的实部虚部表示法下，函数值w=ezw=e^zw=ez有唯一确定的实部和虚部。对于虚数的指数表示法Arg(ez)=y+2kπArg(e^z)=y+2k\piArg(ez)=y+2kπ，在任何情况下根据定义辐角的取值都是无穷多的，所以不利用复变数的指数和三角表示法来判断函数的单值和多值性。）
复指数函数具有以下性质：
e0=1e^0=1e0=1ez≠0e^z\ne0ez=0ez1+z2=e1ze2ze^{z_1+z_2}=e^z_1e^z_2ez1+z2=e1ze2ze−z=1eze^{-z}=\frac{1}{e^z}e−z=ez1ez‾=ez‾\overline{e^z}=e^{\overline{z}}ez=eze2kπi=1e^{2k\pi i}=1e2kπi=1

2.3 对数函数

指数函数的反函数，即满足方程
ew=z(z≠0)e^w=z\quad (z\ne 0)ew=z(z=0) 的复变数www称为复变数zzz的对数函数，记作w=Lnzw=Ln\ zw=Ln z。
对于w=u+viw=u+viw=u+vi
∣z∣=∣ew∣=eu|z|=|e^w|=e^u∣z∣=∣ew∣=euArgz=Argew=vArg\ z=Arg\ e^w=vArg z=Arg ew=v 所以
u=ln∣z∣,v=Argzu=ln|z|\ ,\quad v=Arg\ zu=ln∣z∣ ,v=Arg zLnz=ln∣z∣+iArgz(z≠0)Ln\ z=ln|z|+iArg\ z\quad(z\ne 0)Ln z=ln∣z∣+iArg z(z=0)w=Lnz=ln∣z∣+iargz+2kπi(k=0,±1,±2,…)w=Ln\ z=ln|z|+iarg\ z+2k\pi i\quad (k=0,\pm1,\pm 2,\ldots)w=Ln z=ln∣z∣+iarg z+2kπi(k=0,±1,±2,…) 可以看出对数函数可以得出多种实部和虚部表示，所以对数函数是多值函数。给定确定k=k0k=k_0k=k0时，可以得到对数函数的一个分支，对数函数的每一个分支都是单值函数。
k=0k=0k=0时的分支称为对数函数w=Lnzw=Ln\ zw=Ln z的主分支，对应的函数值为函数主值，记为lnzln\ zln z，有
lnz=ln∣z∣+iargz(z≠0)ln\ z=ln|z|+iarg\ z\quad (z\ne 0)ln z=ln∣z∣+iarg z(z=0)
对数函数有如下性质
Ln(z1z2)=Lnz1+Lnz2Ln(z_1z_2)=Ln\ z_1+Ln\ z_2Ln(z1z2)=Ln z1+Ln z2Ln(z1z2)=Lnz1−Lnz2Ln(\frac{z_1}{z_2})=Ln\ z_1-Ln\ z_2Ln(z2z1)=Ln z1−Ln z2 等式两边都是多值函数，等号意味着两段可能取得的函数值全体相同。同理，下面的式子不成立
Lnzn≠nLnzLn\ z^n\ne nLn\ zLn zn=nLn zLnzn≠1nLnzLn\ \sqrt[n]{z}\ne \frac{1}{n}Ln\ zLn nz=n1Ln z

2.4 幂函数

设aaa是复常数，对于复变数z≠0z\ne 0z=0，称复变数w=eaLnzw=e^{aLn\ z}w=eaLn z为复变数zzz的幂函数，即
w=za=eaLnzw=z^a=e^{aLn\ z}w=za=eaLn z 当aaa为正实数，且z=0z=0z=0时，规定za=0z^a=0za=0。
指数函数的取值性需要分情况讨论。
(1)当a=na=na=n为整数时
w=zn=enLnz=en[ln∣z∣+i(argz+2kπ)]=enln∣z∣+(nargz)i+2nkπi=enln∣z∣+(nargz)i(k=0,±1,±2,…)w=z^n=e^{nLn\ z}=e^{n[ln|z|+i(arg\ z+2k\pi)]}=e^{nln|z|+(narg\ z)i+2nk\pi i}=e^{nln|z|+(narg\ z)i}\quad (k=0,\pm1,\pm 2,\ldots)w=zn=enLn z=en[ln∣z∣+i(arg z+2kπ)]=enln∣z∣+(narg z)i+2nkπi=enln∣z∣+(narg z)i(k=0,±1,±2,…) 所以此时幂函数为单值函数，当n>0n>0n>0时在复平面上处处有定义。当n<0n<0n<0时，在复平面除z=0z=0z=0点外处处有定义。
(2)当a=pqa=\frac{p}{q}a=qp（ppp，qqq为互质的整数，q>0q>0q>0）为有理数时
w=za=epqLnz=epq[ln∣z∣+i(argz+2kπ)]=epqln∣z∣+(pqargz)i+2pqkπiw=z^a=e^{\frac{p}{q}Ln\ z}=e^{\frac{p}{q}[ln|z|+i(arg\ z+2k\pi)]}=e^{\frac{p}{q}ln|z|+(\frac{p}{q}arg\ z)i+2\frac{p}{q}k\pi i}w=za=eqpLn z=eqp[ln∣z∣+i(arg z+2kπ)]=eqpln∣z∣+(qparg z)i+2qpkπi=epqln∣z∣[cospq(argz+2kπ)+isinpq(argz+2kπ))](k=0,±1,±2,…)=e^{\frac{p}{q}ln|z|}[cos\frac{p}{q}(arg\ z+2k\pi)+isin\frac{p}{q}(arg\ z+2k\pi))]\quad (k=0,\pm1,\pm 2,\ldots)=eqpln∣z∣[cosqp(arg z+2kπ)+isinqp(arg z+2kπ))](k=0,±1,±2,…)
根据三角函数的周期性，函数w=zpqw=z^{\frac{p}{q}}w=zqp具有qqq个不同的值，当k=0,1,…,q−1k=0,1,\ldots,q-1k=0,1,…,q−1时可以取得。
(3)当aaa为无理数或虚数时，幂函数是无穷多值的，在复平面上除了z=0z=0z=0外处处有定义，每一个单值分支对应于LnzLn\ zLn z的一个单值分支。

2.5 三角函数

分别称
cos⁡(z)=eiz+e−iz2sin⁡(z)=eiz−e−iz2i\cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\quad \sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}cos(z)=2eiz+e−izsin(z)=2ieiz−e−iz 为复变数的余弦函数和正弦函数。
三角函数具有2π2\pi2π的周期性和奇偶性，但不再具有有界性，且
cos⁡2z+sin⁡2z=1\cos^2{z}+\sin^2z=1cos2z+sin2z=1cos⁡(z+π2)=−sin⁡(z),cos⁡(z+π)=−cos⁡z\cos(z+\frac{\pi}{2})=-\sin(z),\quad\cos(z+\pi)=-\cos zcos(z+2π)=−sin(z),cos(z+π)=−coszsin⁡(z+π2)=cos⁡(z),sin⁡(z+π)=−sin⁡z\sin(z+\frac{\pi}{2})=\cos(z),\quad\sin(z+\pi)=-\sin zsin(z+2π)=cos(z),sin(z+π)=−sinzsin⁡(z1+z2)=sin⁡z1cos⁡z2−cos⁡z1sin⁡z2\sin(z_1+z_2)=\sin z_1\cos z_2-\cos z_1\sin z_2sin(z1+z2)=sinz1cosz2−cosz1sinz2cos⁡(z1+z2)=cos⁡z1cos⁡z2−sin⁡z1sin⁡z2\cos(z_1+z_2)=\cos z_1\cos z_2-\sin z_1\sin z_2cos(z1+z2)=cosz1cosz2−sinz1sinz2 同理可以定义复变数的正切，余切，正割，余割函数。
tan⁡z=sin⁡zcos⁡z,cot⁡z=cos⁡zsin⁡z,sec⁡z=1cos⁡z,csc⁡z=1sin⁡z\tan z=\frac{\sin z}{\cos z},\quad\cot z=\frac{\cos z}{\sin z},\quad \sec z=\frac{1}{\cos z},\quad \csc z=\frac{1}{\sin z}tanz=coszsinz,cotz=sinzcosz,secz=cosz1,cscz=sinz1

2.6 反三角函数

余弦函数的反函数，满足cos⁡w=z\cos w=zcosw=z的复变数www称为复变数zzz的反余弦函数，记作w=Arccos⁡zw=Arc\cos zw=Arccosz
根据cos⁡w=eiw+e−iw2=z\cos w=\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}=zcosw=2eiw+e−iw=z可以解得
w=Arccos⁡z=−iLn(z+z2−1)w=Arc\cos z=-iLn(z+\sqrt{z^2-1})w=Arccosz=−iLn(z+z2−1) z2−1\sqrt{z^2-1}z2−1是双值函数，LnzLn\ zLn z是多值函数，所以反余弦函数是多值函数。
同理可以定义反正弦函数和反正切函数
w=Arcsin⁡z=−iLn(zi+1−z2)w=Arc\sin z=-iLn(zi+\sqrt{1-z^2})w=Arcsinz=−iLn(zi+1−z2)w=Arctan⁡z=−i2Lni−zi+zw=Arc\tan z=-\frac{i}{2}Ln\frac{i-z}{i+z}w=Arctanz=−2iLni+zi−z
它们都是多值函数。

2.7 复变函数的极限

设函数w=f(z)w=f(z)w=f(z)在z0z_0z0的去心邻域U˚(z0,ρ)\mathring{U}(z_0,\rho)U˚(z0,ρ)内有定义，AAA是复常数。若对于任意给定的正实数ε\varepsilonε，总存在正实数δ<ρ\delta <\rhoδ<ρ，使得当0<∣z−z0∣<δ0<|z-z_0|<\delta0<∣z−z0∣<δ时，∣f(z)−A∣<ε|f(z)-A|<\varepsilon∣f(z)−A∣<ε，则称AAA是函数f(z)f(z)f(z)当zzz趋近于z0z_0z0的极限，记作lim⁡z→z0f(z)=A\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=Az→z0limf(z)=A，或当z→z0z\to z_0z→z0时，f(z)→Af(z)\to Af(z)→A.
设函数f(z)=u(x,y)+v(x,y)if(z)=u(x,y)+v(x,y)if(z)=u(x,y)+v(x,y)i在z0=x0+y0iz_0=x_0+y_0iz0=x0+y0i的某一去心邻域内有定义，常数A=u0+v0iA=u_0+v_0iA=u0+v0i，则lim⁡z→z0f(z)=A\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=Az→z0limf(z)=A的充要条件是
lim⁡(x,y)→(x0,y0)u(x,y)=u0,lim⁡(x,y)→(x0,y0)v(x,y)=v0\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}u(x,y)=u_0,\quad\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}v(x,y)=v_0(x,y)→(x0,y0)limu(x,y)=u0,(x,y)→(x0,y0)limv(x,y)=v0 如果lim⁡z→z0f(z)=A\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=Az→z0limf(z)=A，lim⁡z→z0g(z)=B\lim\limits_{z\to z_0}g(z)=Bz→z0limg(z)=B，那么
lim⁡z→z0[f(z)±g(z)]=lim⁡z→z0f(z)±lim⁡z→z0g(z)=A±B\lim\limits_{z\to z_0}[f(z)\pm g(z)]=\lim\limits_{z\to z_0}f(z)\pm \lim\limits_{z\to z_0}g(z)=A\pm Bz→z0lim[f(z)±g(z)]=z→z0limf(z)±z→z0limg(z)=A±Blim⁡z→z0[f(z)⋅g(z)]=lim⁡z→z0f(z)⋅lim⁡z→z0g(z)=A⋅B\lim\limits_{z\to z_0}[f(z)\cdot g(z)]=\lim\limits_{z\to z_0}f(z)\cdot \lim\limits_{z\to z_0}g(z)=A\cdot Bz→z0lim[f(z)⋅g(z)]=z→z0limf(z)⋅z→z0limg(z)=A⋅B
lim⁡z→z0[f(z)g(z)]=lim⁡z→z0f(z)lim⁡z→z0g(z)=AB(B≠0)\lim\limits_{z\to z_0}[\frac{f(z)}{g(z)}]=\frac{\lim\limits_{z\to z_0}f(z)}{ \lim\limits_{z\to z_0}g(z)}=\frac{A}{B}\quad (B\ne 0)z→z0lim[g(z)f(z)]=z→z0limg(z)z→z0limf(z)=BA(B=0) 对于有理整函数（多项式）
w=P(z)=a0+a1z+a2z2+⋯+anznw=P(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots+a_nz^nw=P(z)=a0+a1z+a2z2+⋯+anznlim⁡z→z0P(z)=P(z0)\lim\limits_{z\to z_0}P(z)=P(z_0)z→z0limP(z)=P(z0) 对于有理分式函数
w=P(z)Q(z)w=\frac{P(z)}{Q(z)}w=Q(z)P(z)lim⁡z→z0P(z)Q(z)=P(z0)Q(z0)(Q(z0)≠0)\lim\limits_{z\to z_0}\frac{P(z)}{Q(z)}=\frac{P(z_0)}{Q(z_0)}\quad (Q(z_0)\ne 0)z→z0limQ(z)P(z)=Q(z0)P(z0)(Q(z0)=0)

2.8 复变函数的连续性

设函数f(z)f(z)f(z)在z0z_0z0的某邻域内有定义，若lim⁡z→z0f(z)=f(z0)\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)z→z0limf(z)=f(z0)，则称函数f(z)f(z)f(z)在z0z_0z0点连续。若f(z)f(z)f(z)在区域DDD的每一点都连续，则称f(z)f(z)f(z)在DDD内连续。
函数f(z)=u(x,y)+v(x,y)if(z)=u(x,y)+v(x,y)if(z)=u(x,y)+v(x,y)i在z0=x0+y0iz_0=x_0+y_0iz0=x0+y0i连续的充要条件是二元实函数u(x,y)u(x,y)u(x,y)和v(x,y)v(x,y)v(x,y)在点(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)处连续。
连续的性质同实函数。

2.9 复变函数的导数

设函数w=f(z)w=f(z)w=f(z)在区域DDD内有定义，z0z_0z0为DDD内一点。当zzz在z0z_0z0取得改变量Δz\Delta zΔz，且z0+Δz∈Dz_0+\Delta z\in Dz0+Δz∈D时，相应的函数值有改变量Δw=f(z0+Δz)−f(z0)\Delta w=f(z_0+\Delta z)-f(z_0)Δw=f(z0+Δz)−f(z0)。如果极限
lim⁡Δz→0ΔwΔz=lim⁡Δz→0f(z0+Δz)−f(z0)Δz\lim\limits_{\Delta z\to 0}\frac{\Delta w}{\Delta z}=\lim\limits_{\Delta z\to 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}Δz→0limΔzΔw=Δz→0limΔzf(z0+Δz)−f(z0) 存在，则称函数f(z)f(z)f(z)在z0z_0z0点可导。该极限值称为f(z)f(z)f(z)在z0z_0z0点的导数，记作
f′(z0)=dwdz∣z=z0=lim⁡Δz→0f(z0+Δz)−f(z0)Δzf'(z_0)=\frac{dw}{dz}\Big|_{z=z_0}=\lim\limits_{\Delta z\to 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}f′(z0)=dzdw∣∣∣z=z0=Δz→0limΔzf(z0+Δz)−f(z0) 如果函数f(z)f(z)f(z)在区域D内的每个点都可导，称f(z)f(z)f(z)在区域DDD内可导。从而区域DDD内每个点对应着f(z)f(z)f(z)的一个导数值。这样构成了一个新的函数称为f(z)f(z)f(z)的导函数，记为f′(z)f'(z)f′(z)或者dwdz\frac{dw}{dz}dzdw。
设函数f(z)f(z)f(z)和g(z)g(z)g(z)在区域DDD内可导，有
[f(z)±g(z)]′=f′(z)±g′(z)[f(z)\pm g(z)]'=f'(z)\pm g'(z)[f(z)±g(z)]′=f′(z)±g′(z)[f(z)g(z)]′=f′(z)g(z)+f(z)g′(z)[f(z) g(z)]'=f'(z)g(z)+f(z) g'(z)[f(z)g(z)]′=f′(z)g(z)+f(z)g′(z)[f(z)g(z)]′=f′(z)g(z)−f(z)g′(z)g2(z),(g(z)≠0)[\frac{f(z)}{ g(z)}]'=\frac{f'(z)g(z)-f(z)g'(z)}{g^2(z)},\quad (g(z)\ne 0)[g(z)f(z)]′=g2(z)f′(z)g(z)−f(z)g′(z),(g(z)=0){f[g(z)]}′=f′(w)g′(z),(w=g(z))\{f[g(z)]\}'=f'(w)g'(z),\quad(w=g(z)){f[g(z)]}′=f′(w)g′(z),(w=g(z)) 如果f(z)f(z)f(z)和φ(w)\varphi(w)φ(w)是互为反函数的单值函数，且φ′(w)≠0\varphi'(w)\ne 0φ′(w)=0，则f′(z)=1φ′(w)f'(z)=\frac{1}{\varphi'(w)}f′(z)=φ′(w)1
有理整函数在复平面内处处可导
P(z)=a0+a1z+a2z2+⋯+anznP(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots+a_nz^nP(z)=a0+a1z+a2z2+⋯+anznP′(z)=a1z+2a2z+⋯+nanzn−1P'(z)=a_1z+2a_2z+\cdots+na_nz^{n-1}P′(z)=a1z+2a2z+⋯+nanzn−1 对于有理分式函数
f(z)=P(z)Q(z)f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}f(z)=Q(z)P(z) 在Q(z)≠0Q(z)\ne 0Q(z)=0的点可导
f(z)′=P′(z)Q(z)−P(z)Q′(z)Q2(z),(Q(z)≠0)f(z)'=\frac{P'(z)Q(z)-P(z)Q'(z)}{Q^2(z)},\quad (Q(z)\ne 0)f(z)′=Q2(z)P′(z)Q(z)−P(z)Q′(z),(Q(z)=0) 复变函数w=f(z)w=f(z)w=f(z)的微分定义为dw=f′(z)dzdw=f'(z)dzdw=f′(z)dz

2.10 解析函数

如果函数w=f(z)w=f(z)w=f(z)在点zzz的某个邻域内可导，那么称函数f(z)f(z)f(z)在点zzz解析。如果f(z)f(z)f(z)在区域DDD内每一点都解析，称函数f(z)f(z)f(z)在DDD内解析，或称f(z)f(z)f(z)是DDD内的解析函数。如果f(z)f(z)f(z)在点zzz不解析，那么称点zzz为函数f(z)f(z)f(z)的奇点。
函数f(z)=u(x,y)+v(x,y)if(z)=u(x,y)+v(x,y)if(z)=u(x,y)+v(x,y)i在点z=x+yiz=x+yiz=x+yi处可导的充要条件是二元实函数u(x,y)u(x,y)u(x,y)和v(x,y)v(x,y)v(x,y)在点(x,y)(x,y)(x,y)处可微，且满足柯西-黎曼方程
∂u∂x=∂v∂y,∂u∂y=−∂v∂x\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}∂x∂u=∂y∂v,∂y∂u=−∂x∂v 从而有
f′(z)=∂u∂x+∂v∂xi=∂v∂y−∂u∂yif'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial x}i=\frac{\partial v}{\partial y}-\frac{\partial u}{\partial y}if′(z)=∂x∂u+∂x∂vi=∂y∂v−∂y∂ui 函数f(z)=u(x,y)+v(x,y)if(z)=u(x,y)+v(x,y)if(z)=u(x,y)+v(x,y)i在区域DDD内解析的充要条件是二元实函数u(x,y)u(x,y)u(x,y)和v(x,y)v(x,y)v(x,y)在区域DDD内可微，且满足柯西-黎曼方程。

2.11 调和函数

如果二元实函数φ(x,y)\varphi(x,y)φ(x,y)在区域DDD内具有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程
∂2φ∂x2+∂2φ∂y2=0\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}=0∂x2∂2φ+∂y2∂2φ=0 那么称φ(x,y)\varphi(x,y)φ(x,y)为区域DDD内的调和函数。
任何在区域DDD内解析的函数f(z)=u(x,y)+v(x,y)if(z)=u(x,y)+v(x,y)if(z)=u(x,y)+v(x,y)i，它的实部u(x,y)u(x,y)u(x,y)和和虚部v(x,y)v(x,y)v(x,y)都是DDD内的调和函数。且这两个函数满足柯西-黎曼条件，所以又称虚部v(x,y)v(x,y)v(x,y)是实部u(x,y)u(x,y)u(x,y)的共轭调和函数。
即满足柯西-黎曼方程的两个调和函数可以构成共轭调和函数。在区域DDD内以该函数为实部，其共轭调和函数为虚部，所构成的复变函数在区域DDD内是解析的。
函数f(z)=u(x,y)+v(x,y)if(z)=u(x,y)+v(x,y)if(z)=u(x,y)+v(x,y)i在区域DDD内解析的充要条件是它的虚部v(x,y)v(x,y)v(x,y)是实部u(x,y)u(x,y)u(x,y)的共轭调和函数。