【bzoj3823】【定情信物】【递推】

Description

都说程序员找不到妹子,可是无人知晓,三生石上竟然还刻着属于小 E 的一笔。

那一天,小 E 穷尽毕生的积蓄,赠与了妹子一个非同寻常的定情信物。那是一个小

小的正方体,但透过它,可以看到过去,可以洞彻天机。

这份信物仿佛一只深邃的眼。当看透它看似简单的外表后,深邃的内心却最是可以

叩击人的灵魂的。不出所料,妹子果然被这个信物超越空间的美所吸引。

“易有太极,是生两仪,两仪生四象,四象生八卦。,八卦定吉凶,吉凶生大业。”

这句箴言在其上得到了完美的诠释。

是的,这正是一个超正方体。

小 E 告诉妹子,他的情意也如这份信物一样深厚。现在妹子想知道,小 E 对她的情

意究竟有几分?

我们知道,点动成线,线动成面,面动成体......即 n 维超立方体可看作由 n-1 维超

立方体沿垂直于它的所有的棱的方向平移得到的立体图形。

我们可以将点看作 0 维超立方体,将直线看作 1 维超立方体,将正方形看作 2 维超

立方体......依此类推。

任何一个 n 维超立方体(n>0)都是由低维的超立方体元素组成的:它的 n-1 维表面

是 n-1 维的超立方体,它的 n-2 维边缘是 n-2 维的超立方体,它的 n-3 维元素是 n-3 维的

超立方体......

小 E 对妹子的情意即为在他的定情信物——K 维超立方体中,含有每一维的元素个

数。由于元素个数可能较大,只需要输出它所包含的每一维元素个数模 P 后的异或和。

Input

两个整数 K、P,详见题目叙述。

Output

一个非负整数,表示小 E 的定情信物所包含的每一维元素个数模 P 后的异或和。注

意:异或和可能会大于 P。

Sample Input

input 1
3 7

Input 2

4 2333

Input 3

12 7723

Sample Output

Output1

Output 2

Output 3

360

Hint
对于样例2的解释:
一个三维超立方体含有 8 个零维元素、12 个一维元素、6 个二维元素、1 个三维

元素,模 7 后分别为 1,5,6,1,异或和为 1^5^6^1=3。

HINT

对于 100%的数据,N≤10^7,P 为 10^9 内的素数。

题解：

设f(0)表示在K维空间下0维元素的个数.

显然

f(0)=2^k;

一个x维的元素在k维空间中可以扩展出(k-x)个(x+1)维的元素.

2*(x+1)个x维元素可以确定一个(x+1)维的元素.

所以

f(1)=(k*f(0))/2;

f(2)=((k-1)*f(1))/4;

f(x+1)=((k-x)*f(x))/(2*(x+1));

然后递推即可.我貌似是反着推的..

注意p有可能会小于n.

所以需要把参与运算的数分解为a*p^b的形式.

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N 10000010
using namespace std;
int n;
long long inv[N],t,ans,P,temp,aa,x,y;
struct use{int a,b;};
void pre(){inv[1]=1;for(int i=2;i<=n&&i<P;i++)inv[i]=(P-P/(long long)i*inv[P%i]%P);
}
use cal(int x){int t(0);while (x%P==0) {t++;x/=P;};    return use{x,t};
}
int main(){scanf("%d%lld",&n,&P);pre();t=1;ans^=t;aa=n*2;x=1;y=0;for (int i=1;i<=n;i++){use a=cal(aa),b=cal(i);x=(long long)x*a.a%P;y=y+a.b;x=(x*inv[(b.a)%P])%P;y=y-b.b;if (!y) ans^=x;aa-=2;}cout<<ans<<endl;
}