一、排列

1、不可重复排列

A n r = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) . . . ( n − r + 1 ) {A}^{r}_{n}\, =\, n(n-1)(n-2)...(n-r+1) Anr=n(n−1)(n−2)...(n−r+1)

A n r = n ! ( n − r ) ! {A}^{r}_{n}\, =\, \frac {n!} {(n\, -\, r)!} Anr=(n−r)!n!

2、可重复排列

n r {n}^{r} nr

3、圆排列

**定义：**有一组元素，将其排成一个圆，这种排列叫做圆排列或项链排列。

n个数的圆排列为（n-1）！
n个不同数中取r个的圆排列：

P n r r = A n r r = n ! ( n − r ) ! × r \frac {{P}^{r}_{n}} {r}\, =\, \frac {{A}^{r}_{n}} {r}\, =\, \frac {n!} {(n-r)!\, \times r} rPnr=rAnr=(n−r)!×rn!

4、不尽相异元素全排列

定义：如果n个元素里，有p个元素相同，又有q个元素相同，…，又有r个元素相同（p+q+…+r≤n），则它们的所有排列种数为：
n ! p ! q ! . . . r ! \frac {n!} {p!q!...r!} p!q!...r!n!
uva 11076

二、组合

1、不可重组合数

C n r = n ! r ! ( n − r ) ! {C}^{r}_{n}\, =\, \frac {n!} {r!(n-r)!} Cnr=r!(n−r)!n!

2、可重组合数（隔板法）

转换思路，既然要抽r次，就要放回r-1次，最后一次的放回对抽样结果无影响。

那么就变成我把r-1个物品放入n里，然后一次抽取k个。
H n r = C n + r − 1 r = ( n + r − 1 ) ! r ! ( n − 1 ) ! {H}^{r}_{n}{\, =\, C}^{r}_{n+r-1}\, =\, \frac {(n+r-1)!} {r!(n-1)!} Hnr=Cn+r−1r=r!(n−1)!(n+r−1)!

3、不相邻组合数

3.1从n个球中选出r个球，要求r个球互不相邻

分析：

当n<2r-1时，取法为0种
当n≥2r-1时，取法为

C n − r + 1 r {\, \, C}^{r}_{n-r+1}\, Cn−r+1r

理解思路：先从n中拿取r-1个球，然后我们在剩下的n-r+1个球中任取r个球，一开始的r-1个球填入r个球的空位中，这样就可以使r个球互不相邻。

3.2从n个围成一圈的球中选出r个球

分析：

当n<2r时，取法为0种

当n≥2r时，取法为
n C n − r r n − r \frac {{nC}^{r}_{n-r}} {n-r} n−rnCn−rr
理解思路： 无论怎么取，都是两种情况，一种包括一号，另一种不包括一号。

包括一号：
C n − r − 1 r − 1 {C}^{r-1}_{n-r-1} Cn−r−1r−1
不包括一号：
C n − r r {C}^{r}_{n-r} Cn−rr

4、常用组合函数公式

$$
{C}^{r}{n}, =, {C}^{r}{n-1}, +, {C}^{r-1}_{n-1}

C n r = C n n − r {C}^{r}_{n}\, =\, {C}^{n-r}_{n}\, Cnr=Cnn−r

C n r + 1 = n − r r + 1 C n r {C}^{r+1}_{n}\, =\, \frac {n-r} {r+1}{C}^{r}_{n}\, Cnr+1=r+1n−rCnr

板子

一、排列组合数

1、费马小定理（要求模数为质数）

复杂度O(nlogn)，当n到1e7时就炸，这时候要用线性递推。

typedef long long ll;
const ll maxn = 1e6+10, mod = 1e9+7;
ll Jc[maxn];
void calJc()    //求maxn以内的数的阶乘
{Jc[0] = Jc[1] = 1;for(ll i = 2; i < maxn; i++)Jc[i] = Jc[i - 1] * i % mod;
}
ll pow(ll a, ll n, ll mod)    //快速幂 a^n % p
{ll ans = 1;while(n){if(n & 1) ans = ans * a % mod;a = a * a % mod;n >>= 1;}return ans;
}
ll niYuan(ll a)   //费马小定理求逆元
{return pow(a, mod - 2, mod);
}
ll C(ll n, ll r)    //计算C(n, r)
{return Jc[n] * niYuan(Jc[r]) % mod* niYuan(Jc[n - r]) % mod;
}
ll A(ll n, ll r)
{return Jc[n] * niYuan(Jc[n-r])%mod;
}

2、拓展欧几里得（不要求模数为质数）

复杂度同上，关键点在他的模数不需要是质数。

typedef long long ll;
const ll maxn = 1e6+10, mod = 1e9+7;
ll Jc[maxn];
void calJc()    //求maxn以内的数的阶乘
{Jc[0] = Jc[1] = 1;for(ll i = 2; i < maxn; i++)Jc[i] = Jc[i - 1] * i % mod;
}
void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)    //拓展欧几里得算法
{if(!b) x = 1, y = 0;else{exgcd(b, a % b, y, x);y -= x * (a / b);}
}
ll niYuan(ll a)   //求a对b取模的逆元
{ll x, y;exgcd(a, mod, x, y);return (x + mod) % mod;
}
ll C(ll n, ll r)    //计算C(n, r)
{return Jc[n] * niYuan(Jc[r]) % mod* niYuan(Jc[n - r]) % mod;
}
ll A(ll n, ll r)
{return Jc[n] * niYuan(Jc[n-r])%mod;
}

3、逆元-线性递推(p是质数)

typedef long long ll;
const ll maxn = 1e7+10, mod = 1e9+7;
ll Jc[maxn];
ll inv[maxn+5];
void getInv(ll mod)
{inv[1]=1;for(int i=2;i<maxn;i++)inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
}
void calJc()    //求maxn以内的数的阶乘
{Jc[0] = Jc[1] = 1;for(ll i = 2; i < maxn; i++)Jc[i] = Jc[i - 1] * i % mod;
}ll C(ll n, ll r)    //计算C(n, r)
{return Jc[n] * inv[Jc[r]] % mod* inv[Jc[n - r]] % mod;
}
ll A(ll n, ll r)
{return Jc[n] * inv[Jc[n-r]]%mod;
}

资料参考：

(24条消息) ACM-组合数学完全总结（知识点+模板）_Ogmx的博客-CSDN博客_组合数学

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