排列组合的简单应用（隔板法）

高中数学的排列组合，在许多题目中也有应用。甚至可以达到更快的解题速度，同时也会减少时间复杂度。

一般应用

拿NYOJ的一道题为例。https://acm.nyist.edu.cn/p/210。

通过读题我们可以发现，这个题，只是我们高中所学的排列组合的基础公式。

但是我们不能直接使用最后的结论公式，我们知道int，long long 都是有范围的，而阶乘的形式，不用太大的数目，就会超过数据范围，引起答案出错，所以我们需要的是优化计算方法。一步一步计算。类似于中间式子的计算过程，这样就可以达到我们的目的；（当然需要减少循环次数，不然铁tle。

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<string.h>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{ll n,m;ll T ;cin >> T;while(T--){cin >> n >> m;  ll k;if(n - m < m)  // 此处就是优化循环的方式，可以在纸上模拟几组小数据。{ k = n - m;m = k;}//cout << k << endl;else {k = m;}//  cout << k << endl;double ans = 1;for(int i = 1; i <= k; i++){ans =ans * (n--)/(m--);}if(ans - (ll)ans >= 0.5)cout << (ll)ans + 1 << endl;else cout << (ll)ans << endl;}
}

隔板法应用

先上题目链接https://acm.nyist.edu.cn/p/871

前几天南阳理工校赛A题，因为当时比较笨比，没a出来。

首先对题目进行分析。简单来说，题目就是让我们找到最多m个数的和等于m的情况有几种。

下边是用DFS打的表，

从表中我们得到dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j];所以我们可以用二维数组直接打表，然后选取指定的数进行输出。本方法在此不多叙述。

下边我们说一下和隔板法的联系。

从图中我们可以得知，以m=4为例。

我们先留4个空，代表最多四个未知数。

当n=1 的时候，也就是一个板子都没插入，只有一种情况。

当n=2的时候，相当于在3个空里面插入一个板子。

同理类推。n=3的时候插入了俩板子。

n=4的时候，三个空全部都是已插入的状态。

这样，就成了我们排列组合的隔板法。

$C_{n+m-1}^{n-1}$ 就是我们所推出的公式。也就是高中的隔板法公式

现在的任务就是求这个式子的解了。如何求解？

当你理解了第一个买水果的时候，你就会发现，这两道题几乎一模一样（更后悔了，没写出来。。。）

设X=n-1，Y=n+m-1.这样化简后，是一个范围比买水果小的多的一个排列组合方程。

Ac代码如下

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<string.h>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{ll x,y;cin >> x >> y;ll n,m;m = y - 1;n = x + y - 1;    ll k;if(n - m < m){ k = n - m;m = k;}//cout << k << endl;else {k = m;}//  cout << k << endl;double ans = 1;for(int i = 1; i <= k; i++){ans =ans * (n--)/(m--);}if(ans - (ll)ans >= 0.5)cout << (ll)ans + 1 << endl;else cout << (ll)ans << endl;
}

到此感谢各位的阅读。希望可以给大家提供帮助。