Dijkstra算法（堆优化版求稀疏图最短路）

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迪杰斯特拉算法是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959年提出的，是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有权图中最短路径问题。

基本思想

Dijkstra算法是用来解决不含负边的最短路问题，其在运行过程中维持的关键信息是一组节点集合S。算法重复从结点集V-S中选择最短路径估计最小的结点u，将u加入到集合S，然后对所有从u发生的边进行松弛，运行结束后，从源节点到集合S中每个结点之间的最短路径已经被找到。

图解

如图，是一个有向无环图，假定出发点为V1，迪杰斯特拉算法将算出V1到其他所有点的最短路径，则所求V1到终点的最短路径也可得到，该算法主要完成以下几步：

1.找到v1

2.得到以V1出发的邻接点的最短距离，将V1加到S集合中（代码中以dist数组呈现）

3.从S集合之外的点中找到距离最短者，对以其为出发点的邻接点进行松弛操作，若距离被更新，则记录前驱

4.重复3直到集合S存满

完成后，将得到V1到所有点的最短距离，同时，通过每一个点记录的前驱得到最短路径。

如何用堆来优化Dijkstra算法？

首先，我们可以用邻接链表来存储图

代码如下：

const int N = 150010;int w[N]; //存边的权值
int e[N], ne[N], h[N], idx;void add(int a, int b, int c)
{w[idx] = c， e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

我们可以用pair来储存当前的距离和所对应的点，再用小根堆存储pair，这里我们要特别注意以下，pair排序时是先根据first，再根据second，所以first储存距离，second储存当前的点。

代码如下：

typedef pair<int, int> PII;prority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap; //定义小根堆
heap.push({0, 1}); //假设起点是1

时间复杂度分析

寻找路径最短的点：O(n)

加入集合S：O(n)

更新距离：O(mlogn)

完整代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>using namespace std;typedef pair<int, int> PII;const int N = 100010; // 把N改为150010就能ac// 稀疏图用邻接表来存
int h[N], e[N], ne[N], idx;
int w[N]; // 用来存权重
int dist[N];
bool st[N]; // 如果为true说明这个点的最短路径已经确定int n, m;void add(int a, int b, int c)
{w[idx] = c; // 有重边也不要紧，假设1->2有权重为2和3的边，再遍历到点1的时候2号点的距离会更新两次放入堆中e[idx] = b; // 这样堆中会有很多冗余的点，但是在弹出的时候还是会弹出最小值2+a（a为之前确定的最短路径），并ne[idx] = h[a]; // 标记st为true，所以下一次弹出3+a会continue不会向下执行。h[a] = idx++;
}int dijkstra()
{memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));dist[0] = 1;priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap; // 定义一个小根堆// 这里heap中为什么要存pair呢，首先小根堆是根据距离来排的，所以有一个变量要是距离，其次在从堆中拿出来的时    // 候要知道知道这个点是哪个点，不然怎么更新邻接点呢？所以第二个变量要存点。heap.push({ 0, 1 }); // 这个顺序不能倒，pair排序时是先根据first，再根据second，这里显然要根据距离排序while(heap.size()){PII k = heap.top(); // 取不在集合S中距离最短的点heap.pop();int ver = k.second, distance = k.first;if(st[ver]) continue;st[ver] = true;for(int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i]; // i只是个下标，e中在存的是i这个下标对应的点。if(dist[j] > distance + w[i]){dist[j] = distance + w[i];heap.push({ dist[j], j });}}}if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;else return dist[n];
}int main()
{memset(h, -1, sizeof(h));scanf("%d%d", &n, &m);while (m--){int a, b, c;scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);add(a, b, c);}cout << dijkstra() << endl;return 0;
}
/*
代码作者：optimjie
来源：AcWing
*/

题目链接：850. Dijkstra求最短路 II - AcWing题库