堆优化版迪杰斯特拉算法：

优化原理：

上面的朴素版迪杰斯特拉算法主要缺陷是，每当找到一个最短路径，如果需要找下一个最短路径，就需要在完成松弛操作之后，遍历dist数组，寻找其中的最小值。遍历dist数组的时间复杂度为O(n)。（dist数组储存源点到各个点的当前最短距离）

如果图的边数为n*(n-1)，那么每找到一个最小值，所要进行的松弛操作数就是n-1，这和遍历dist数组可以同时进行，算法优化的空间不大。

然而，如果是稀疏图，每找到一个最小值，所要进行的松弛操作数就远小于n-1，这时就可以对算法进行优化。优化的关键是省去对dist的线性查找，如果每次可以直接返回dist中的最大值，就可以大大减小算法的时间复杂度。

堆优化后的迪杰斯特拉算法复杂度为mlogn

算法分析：

堆优化版迪杰斯特拉时间复杂度为O（mlogn）,n表示点数，m表示边数

初始化dist[1]=0，dist[i]=+∞ (除1外其它点)
- 循环遍历所有节点
1. 找到当前未在s中标记过且离远点最近的点（朴素：总共n^2次）---->（堆优化:总共n次）
2. 该点进行标记
3. 用t更新其它点的距离（朴素：O(n^2)）----->（堆优化：O（mlogn））

假设1为当源点

找到当前标记过且离源点最近的1号点
标记1号点已确定的最短距离
用1号点的距离更新2号与3号点的距离

找到当前为标记过且离源点最近的2号点
找到2号以确定最段距离
用1号点的距离更新2号点与3号点（1+9<12）距离

依次类推得：

时间复杂度分析

每次找到最小距离的点沿着边更新其他的点，若dist[j] > distance + w[i]，表示可以更新dist[j]，更新后再把j点和对应的距离放入小根堆中。由于点的个数是n，边的个数是m，在极限情况下（稠密图m=n(n−1)2m=n(n−1)2）最多可以更新m回，每一回最多可以更新n个点（严格上是n - 1个点），有m回，因此最多可以把n2个点放入到小根堆中，因此每一次更新小根堆排序的情况是O(log(n2))，一共最多m次更新，因此总的时间复杂度上限是 O(mlog((n2)))=O(2mlogn)=O(mlogn)

算法代码

 public class Main{  static int N = 100010;  static int n;  static int[] h = new int[N];  static int[] e = new int[N];  static int[] ne = new int[N];  static int[] w = new int[N];  static int idx = 0;  static int[] dist = new int[N];// 存储1号点到每个点的最短距离  static boolean[] st = new boolean[N];  static int INF = 0x3f3f3f3f;//设置无穷大  public static void add(int a,int b,int c)  {  e[idx] = b;  w[idx] = c;  ne[idx] = h[a];  h[a] = idx ++;  }  // 求1号点到n号点的最短路，如果不存在则返回-1  public static int dijkstra()  {  //维护当前未在st中标记过且离源点最近的点  PriorityQueue<PIIs> queue = new PriorityQueue<PIIs>();  Arrays.fill(dist, INF);  dist[1] = 0;  queue.add(new PIIs(0,1));  while(!queue.isEmpty())  {  //1、找到当前未在s中出现过且离源点最近的点  PIIs p = queue.poll();  int t = p.getSecond();  int distance = p.getFirst();  if(st[t]) continue;  //2、将该点进行标记  st[t] = true;  //3、用t更新其他点的距离  for(int i = h[t];i != -1;i = ne[i])  {  int j = e[i];  if(dist[j] > distance + w[i])  {  dist[j] = distance + w[i];  queue.add(new PIIs(dist[j],j));  }  }  }  if(dist[n] == INF) return -1;  return dist[n];  }  public static void main(String[] args) throws IOException{  BufferedReader reader = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));  String[] str1 = reader.readLine().split(" ");  n = Integer.parseInt(str1[0]);  int m = Integer.parseInt(str1[1]);  Arrays.fill(h, -1);  while(m -- > 0)  {  String[] str2 = reader.readLine().split(" ");  int a = Integer.parseInt(str2[0]);  int b = Integer.parseInt(str2[1]);  int c = Integer.parseInt(str2[2]);  add(a,b,c);  }  System.out.println(dijkstra());  }
}

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堆优化版迪杰斯特拉（Dijkstra）算法简单分析

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时间复杂度分析

算法代码

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