【扩展欧几里得】Bzoj 1477:青蛙的约会

Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

　　我们列出方程:(x+am)-(y+an)=bL。

移项得:a(m-n)+bL=y-x(bL之前的符号是加是减其实没有什么影响)。

之后设x'=m-n,y'=L,c=y-x。

之后化为ax'+by'=c。

然后使用扩欧，不过在扩欧之前要判定gcd(a,b)能否整除c，不能则无解，否则a,b,c都除以gcd(a,b)(最小正整数解)再进行exgcd。

最后我们把求出来的x进行调整使它成为最小正整数解。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cmath>
 4 #include<algorithm>
 5
 6 typedef long long ll;
 7
 8 using namespace std;
 9
10 ll xx,yy;
11
12 ll exgcd(ll n,ll m)
13 {
14     if(m==0)
15     {
16         xx=1,yy=0;
17         return n;
18     }
19     ll ans=exgcd(m,n%m),t=xx;
20     xx=yy,yy=t-n/m*yy;
21     return ans;
22 }
23
24 int main()
25 {
26     ll a,b,c,d,e;
27     scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&d,&e);
28     ll x=d-c,y=e,k=a-b;
29     ll g=exgcd(x,y);
30     if(k%g!=0){printf("Impossible\n");return 0;}
31     x/=g,y/=g,k/=g;
32     exgcd(x,y);
33     k=((k*xx)%e+e)%e;
34     if(!k)k=e;
35     printf("%lld",k);
36     return 0;
37 }

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