Linux C 数据结构——二叉树
先放这张图:
可以看出,树是非线性结构;
一、树的概念
树(tree)是n(n>=0)个节点的有限集合T,它满足两个条件:
1)有且仅有一个特定的称为根(root)的节点;
2)其余的节点可以分为m(m>=0)个互不相交的有限结合T1、T2、...、Tm,其中每一个集合又是一棵树,并成为其根的子数(Subtree)。
树的逻辑结构:树中任何节点都可以有零个或多个直接后继节点(子节点),但至多只有一个直接前驱节点(父节点),根节点没有前驱节点,叶节点没有后继节点。
度数:一个节点的子树的个数称为该节点的度数,一棵树的度数是指该树中节点的最大度数;
层数:节点的层数等于父节点的层数加一,根节点的层数定义为一;
深度:树中节点层数的最大值称为该树的高度或深度;
二、二叉树
二叉树(Binary)是n(n>=0)个节点的有限集合,它或者是空集(n=0),或者是由一个根节点以及两棵互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树;二叉树是有序树。
二叉树的性质:
满二叉树:深度为k(k>=1)时2ek-1个节点的二叉树;
完全二叉树:1)只有最下面两层有度数小于2的节点;2)最下面一层的叶节点集中在最左边的若干位置上;
满二叉树是完全二叉树的一个特例。
1、二叉树的顺序存储结构
完全二叉树节点的编号方法是从上到下,从左到右,根节点为1号节点。设完全二叉树的节点数为n,某节点编号为i :
1)当i > 1(不是根节点)时,有父节点,其父节点编号为i / 2;
2)当2 * i <= n 时,有左子树,其编号为2 * i,否则没有左子树,本身是叶节点;
3)当2 * i + 1 < = n时,有右子树,其编号为2 * i + 1,否则没有右子树;
如何存储:
有n个节点的完全二叉树可以用有 n + 1 个元素的数组进行存储,节点号和数组下标一一对应,下标为零的元素不用。
利用以上特性,可以用下标获得节点的逻辑关系。不完全二叉树通过添加虚节点构成完全二叉树,然后用数组存储,这要浪费一些存储空间。
通过添加非字母字符,构成完全二叉树。
2、二叉树的链式存储
1)链式存储结构:
- typedef int data_t;
- typedef struct node_t //定义二叉树节点的内部结构
- {
- data_t data;
- struct node_t *lchild,*rchild; //指向左孩子和右孩子的指针;
- }bitree_t;
- bitree_t *root; //定义指向二叉树的指针
2)链式二叉树的创建
链式二叉树的创建要借助顺序存储,比如下面这个二叉树
我们需要通过添加虚节点使其成为一个完全二叉树,并用大小为n+1的数组来表示,如下
data_t a[] = {0,'a','b','c','d','e',0,'f',0,0,'g','h',0,0,'i'}; 因为节点号与数组下表是一一对应的,所以我们可以通过这个数组创建一个链式二叉树
利用递归创建一个二叉树:
- data_t a[] = {0,'a','b','c','d','e',0,'f',0,0,'g','h',0,0,'i'};
- bitree_t *CreateBitree(int i, data_t a[], int n)
- {
- bitree_t *root;
- int j;
- root = (bitree_t *)malloc(sizeof(bitree_t));
- root->data = a[i];
- j = 2 * i;
- if(j <= n && a[j] != '0')
- {
- root->lchild = CreateBitree(j, a, n); //创建
- }
- else
- {
- root->lchild = NULL;
- }
- j = 2 * i + 1;
- if(j <= n && a[j] != '0')
- {
- root->rchild = CreateBitree(j, a, n);
- }
- else
- {
- root->rchild = NULL;
- }
- return root;
- }
它的遍历顺序:
递归不论是在我们创建二叉树还是遍历二叉树都起到了很大的作用,至于递归,大家可以通过函数栈来理解,函数在执行到 root->lchild = CreateBitree(j, a, n); 这一步时,会再次调用CreateBitree()函数,这样会在栈区开辟一块空间,知道遇到终止条件才会返回,即这片内存区域会被释放,函数执行向上回收,直至该二叉树被创建,大家可以画图理解一下,有空我会补上图;
3、二叉树的遍历
遍历:沿某条搜索路径周游二叉树,对树中的每一个节点访问一次且仅访问一次。
由于二叉树的递归性质,遍历算法也是递归的。三种基本的遍历算法如下:
1)先序遍历:先访问树根,再访问左子树,最后访问右子树;
2)中序遍历:先访问左子树,再访问树根,最后访问右子树;
3)后序遍历:先访问左子树,再访问右子树,最后访问树根;
先序遍历算法:
- void PREORDER(bitree_t *r)
- {
- if(r == NULL)
- return;
- printf("%c ",r->data);
- PREORDER(r->lchild);
- PREORDER(r->rchild);
- }
中序遍历算法:
- void INORDER(bitree_t *r)
- {
- if(r == NULL)
- return;
- INORDER(r->lchild);
- printf("%c ",r->data);
- INORDER(r->rchild);
- }
后序遍历算法:
- void POSTORDER(bitree_t *r)
- {
- if(r == NULL)
- return;
- POSTORDER(r->lchild);
- POSTORDER(r->rchild);
- printf("%c ",r->data);
- }
我们可以把程序整合一下,写个测试程序:
- int main()
- {
- bitree_t *tree;
- printf("Begin creating the tree!\n");
- tree = CreateBitree(1,a,sizeof(a)/sizeof(data_t) - 1);
- printf("Finish!\n");
- printf("Preorder traversal:\n");
- PREORDER(tree);
- printf("\nInorder traversal:\n");
- INORDER(tree);
- printf("\nPostorder traversal:\n");
- POSTORDER(tree);
- printf("\n");
- return 0;
- }
执行结果如下:
- fs@ubuntu:~/qiang/tree/bitree$ ./bitree
- Begin creating the tree!
- Finish!
- Preorder traversal:
- a b d e g h c f i
- Inorder traversal:
- d b g e h a c i f
- Postorder traversal:
- d g h e b i f c a
- fs@ubuntu:~/qiang/tree/bitree$
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