数据结构 - 二叉树 - 面试中常见的二叉树算法题

数据结构是面试中必定考查的知识点，面试者需要掌握几种经典的数据结构：线性表（数组、链表）、栈与队列、树（二叉树、二叉查找树、平衡二叉树、红黑树）、图。

本文主要介绍树中的常见的二叉树数据结构。包括

概念简介
二叉树中树节点的数据结构（Java）
二叉树的遍历（Java）
常见的二叉树算法题（Java）

概念简介

如果对二叉树概念已经基本掌握，可以跳过该部分，直接查看常见链表算法题。

二叉树基本概念

二叉树在图论中是这样定义的：二叉树是一个连通的无环图，并且每一个顶点的度不大于3。有根二叉树还要满足根结点的度不大于2。有了根结点之后，每个顶点定义了唯一的父结点，和最多2个子结点。二叉树性质如下：

二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。
二叉树的第 i 层至多有 2i−12^{i-1} 个结点。
深度为 k 的二叉树至多有 2k−12^{k} - 1 个结点。
对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0n_0，度为2的结点数为n2n_2，则n0=n2+1n_0=n_2+1。
一棵深度为k，且有 2k−12^{k} - 1 个节点称之为满二叉树；
深度为k，有n个节点的二叉树，当且仅当其每一个节点都与深度为k的满二叉树中，序号为1至n的节点对应时，称之为完全二叉树。
平衡二叉树又被称为AVL树（区别于AVL算法），它是一棵二叉排序树，且具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

二叉树中树节点的数据结构

二叉树由一系列树结点组成，每个结点包括三个部分：一个是存储数据元素的数据域，另一个是存储左子结点地址的指针域，另一个是存储右子结点地址的指针域。

定义树节点为类：TreeNode。具体实现如下：

public class TreeNode {public int val; // 数据域public TreeNode left; // 左子树根节点public TreeNode right; // 右子树根节点public TreeNode() {}public TreeNode(int val) {this.val = val;}}

二叉树的遍历

1. 前序遍历

递归解法：

如果二叉树为空，空操作
如果二叉树不为空，访问根节点，前序遍历左子树，前序遍历右子树

/*** 1. 前序遍历* 递归* @param root 树根节点*/
public static void preorderTraversalRec(TreeNode root){if (root == null) {return;}System.out.print(root.val + "->");preorderTraversalRec(root.left);preorderTraversalRec(root.right);
}

非递归解法：用一个辅助stack，总是先把右孩子放进栈。

/*** 1. 前序遍历* 非递归* @param root 树根节点*/
public static void preorderTraversal2(TreeNode root) {if (root == null) {return;}Stack<TreeNode> stack = new Stack<>(); // 辅助栈TreeNode cur = root;while (cur != null || !stack.isEmpty()) {while (cur != null) { // 不断将左子节点入栈，直到cur为空stack.push(cur);System.out.print(cur.val + "->"); // 前序遍历，先打印当前节点在打印左子节点，然后再把右子节点加到栈中cur = cur.left;}if (!stack.isEmpty()) { // 栈不为空，弹出栈元素cur = stack.pop(); // 此时弹出最左边的节点cur = cur.right; // 令当前节点为右子节点}}
}/*** 1. 前序遍历* 非递归解法2* @param root 树根节点*/
public static void preorderTraversal(TreeNode root) {if (root == null) {return;}Stack<TreeNode> stack = new Stack<>(); // 辅助栈保存树节点stack.add(root);while (!stack.isEmpty()) { // 栈不为空TreeNode temp = stack.pop();System.out.print(temp.val + "->"); // 先根节点，因为是前序遍历if (temp.right != null) { // 先添加右孩子，因为栈是先进后出stack.add(temp.right);}if (temp.left != null) {stack.add(temp.left);}}
}

2. 中序遍历

递归解法：

如果二叉树为空，空操作
如果二叉树不为空，中序遍历左子树，访问根节点，中序遍历右子树

/*** 2. 中序遍历* 递归* @param root 树根节点*/
public static void inorderTraversalRec(TreeNode root){if (root == null) {return;}inorderTraversalRec(root.left);System.out.print(root.val + "->");inorderTraversalRec(root.right);
}

非递归解法：用栈先把根节点的所有左孩子都添加到栈内，然后输出栈顶元素，再处理栈顶元素的右子树。

/*** 2. 中序遍历* 非递归* @param root 树根节点*/
public static void inorderTraversal(TreeNode root) {if (root == null) {return;}Stack<TreeNode> stack = new Stack<>(); // 辅助栈TreeNode cur = root;while (cur != null || !stack.isEmpty()) {while (cur != null) { // 不断将左子节点入栈，直到cur为空stack.push(cur);cur = cur.left;}if (!stack.isEmpty()) { // 栈不为空，弹出栈元素cur = stack.pop(); // 此时弹出最左边的节点System.out.print(cur.val + "->"); // 中序遍历，先打印左子节点在打印当前节点，然后再把右子节点加到栈中cur = cur.right; // 令当前节点为右子节点}}
}

3. 后序遍历

递归解法：

如果二叉树为空，空操作
如果二叉树不为空，后序遍历左子树，后序遍历右子树，访问根节点

/*** 3. 后序遍历* 递归* @param root 树根节点*/
public static void postorderTraversalRec(TreeNode root){if (root == null) {return;}postorderTraversalRec(root.left);postorderTraversalRec(root.right);System.out.print(root.val + "->");
}

非递归解法：双栈法。

/*** 3. 后序遍历* 非递归* @param root 树根节点*/
public static void postorderTraversal(TreeNode root) {if(root == null) {return;}Stack<TreeNode> stack1 = new Stack<>(); // 保存树节点Stack<TreeNode> stack2 = new Stack<>(); // 保存后序遍历的结果stack1.add(root);while (!stack1.isEmpty()) {TreeNode temp = stack1.pop();stack2.push(temp); // 将弹出的元素加到stack2中if (temp.left != null) { // 左子节点先入栈stack1.push(temp.left);}if (temp.right != null) { // 右子节点后入栈stack1.push(temp.right);}}while (!stack2.isEmpty()) {System.out.print(stack2.pop().val + "->");}
}

4. 层次遍历

思路：分层遍历二叉树（按层次从上到下，从左到右）迭代，相当于广度优先搜索，使用队列实现。队列初始化，将根节点压入队列。当队列不为空，进行如下操作：弹出一个节点，访问，若左子节点或右子节点不为空，将其压入队列。

/*** 4. 层次遍历* @param root 根节点*/
public static void levelTraversal(TreeNode root){if(root == null) {return;}Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>(); // 对列保存树节点queue.add(root);while (!queue.isEmpty()) {TreeNode temp = queue.poll();System.out.print(temp.val + "->");if (temp.left != null) { // 添加左右子节点到对列queue.add(temp.left);}if (temp.right != null) {queue.add(temp.right);}}
}

常见的二叉树算法题

1. 求二叉树中的节点个数

递归解法： O(n)O(n)

如果二叉树为空，节点个数为0
如果二叉树不为空，二叉树节点个数 = 左子树节点个数 + 右子树节点个数 + 1

/*** 1. 求二叉树中的节点个数* 递归* @param root 树根节点* @return 节点个数*/
public static int getNodeNumRec(TreeNode root) {if (root == null) {return 0;}return getNodeNumRec(root.left) + getNodeNumRec(root.right) + 1;
}

非递归解法：O(n)O(n)。基本思想同LevelOrderTraversal。即用一个Queue，在Java里面可以用LinkedList来模拟。

/*** 1. 求二叉树中的节点个数* 非递归* @param root 树根节点* @return 节点个数*/
public static int getNodeNum(TreeNode root) {if (root == null) {return 0;}Queue<TreeNode> queue =  new LinkedList<>(); // 用队列保存树节点，先进先出queue.add(root);int count = 1; // 节点数量while (!queue.isEmpty()) {TreeNode temp = queue.poll(); // 每次从对列中删除节点，并返回该节点信息if (temp.left != null) { // 添加左子孩子到对列queue.add(temp.left);count++;}if (temp.right != null) { // 添加右子孩子到对列queue.add(temp.right);count++;}}return count;
}

2. 求二叉树的深度（高度）

递归解法： O(n)O(n)

如果二叉树为空，二叉树的深度为0
如果二叉树不为空，二叉树的深度 = max(左子树深度，右子树深度) + 1

/**
* 求二叉树的深度（高度）
* 递归
* @return 树的深度
*/
public static int getDepthRec(TreeNode root) {if (root == null) {return 0;}return Math.max(getDepthRec(root.left), getDepthRec(root.right)) + 1;
}

非递归解法：O(n)O(n)。基本思想同LevelOrderTraversal。即用一个Queue，在Java里面可以用LinkedList来模拟。

/*** 求二叉树的深度（高度）* 非递归* @param root 树根节点* @return 树的深度*/
public static int getDepth(TreeNode root) {if (root == null) {return 0;}int currentLevelCount = 1; // 当前层的节点数量int nextLevelCount = 0; // 下一层节点数量int depth = 0; // 树的深度Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>(); // 对列保存树节点queue.add(root);while (!queue.isEmpty()) {TreeNode temp = queue.remove(); // 移除节点currentLevelCount--; // 当前层节点数减1if (temp.left != null) { // 添加左节点并更新下一层节点个数queue.add(temp.left);nextLevelCount++;}if (temp.right != null) { // 添加右节点并更新下一层节点个数queue.add(temp.right);nextLevelCount++;}if (currentLevelCount == 0) { // 如果是该层的最后一个节点，树的深度加1depth++;currentLevelCount = nextLevelCount; // 更新当前层节点数量并且重置下一层节点数量nextLevelCount = 0;}}return depth;
}

3. 求二叉树第k层的节点个数

递归解法： O(n)O(n)

思路：求以root为根的k层节点数目，等价于求以root左孩子为根的k-1层（因为少了root）节点数目加上以root右孩子为根的k-1层（因为少了root）节点数目。即：

如果二叉树为空或者k<1，返回0
如果二叉树不为空并且k==1，返回1
如果二叉树不为空且k>1，返回root左子树中k-1层的节点个数与root右子树k-1层节点个数之和

/*** 求二叉树第k层的节点个数* 递归* @param root 根节点* @param k 第k个节点* @return 第k层节点数*/
public static int getNodeNumKthLevelRec(TreeNode root, int k) {if (root == null || k < 1) {return 0;}if (k == 1) {return 1;}return getNodeNumKthLevelRec(root.left, k - 1) + getNodeNumKthLevelRec(root.right, k - 1);
}

4. 求二叉树中叶子节点的个数

递归解法：

如果二叉树为空，返回0
如果二叉树是叶子节点，返回1
如果二叉树不是叶子节点，二叉树的叶子节点数 = 左子树叶子节点数 + 右子树叶子节点数

/*** 4. 求二叉树中叶子节点的个数* 递归* @param root 根节点* @return 叶子节点个数*/
public static int getNodeNumLeafRec(TreeNode root) {if (root == null) {return 0;}if (root.left == null && root.right == null) {return 1;}return getNodeNumLeafRec(root.left) + getNodeNumLeafRec(root.right);
}

非递归解法：基于层次遍历进行求解，利用Queue进行。

 /*** 4. 求二叉树中叶子节点的个数（迭代）* 非递归* @param root 根节点* @return 叶子节点个数*/
public static int getNodeNumLeaf(TreeNode root){if (root == null) {return 0;}int leaf = 0; // 叶子节点个数Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();queue.add(root);while (!queue.isEmpty()) {TreeNode temp = queue.poll();if (temp.left == null && temp.right == null) { // 叶子节点leaf++;}if (temp.left != null) {queue.add(temp.left);}if (temp.right != null) {queue.add(temp.right);}}return leaf;
}

5. 判断两棵二叉树是否相同的树

递归解法：

如果两棵二叉树都为空，返回真
如果两棵二叉树一棵为空，另外一棵不为空，返回假
如果两棵二叉树都不为空，如果对应的左子树和右子树都同构返回真，其他返回假

/*** 5. 判断两棵二叉树是否相同的树。* 递归* @param r1 二叉树1* @param r2 二叉树2* @return 是否相同*/
public static boolean isSameRec(TreeNode r1, TreeNode r2) {if (r1 == null && r2 == null) { // 都是空return true;} else if (r1 == null || r2 == null) { // 有一个为空，一个不为空return false;}if (r1.val != r2.val) { // 两个不为空，但是值不相同return false;}return isSameRec(r1.left, r2.left) && isSameRec(r1.right, r2.right); // 递归遍历左右子节点
}

非递归解法：利用Stack对两棵树对应位置上的节点进行判断是否相同。

/*** 5. 判断两棵二叉树是否相同的树（迭代）* 非递归* @param r1 二叉树1* @param r2 二叉树2* @return 是否相同*/
public static boolean isSame(TreeNode r1, TreeNode r2){if (r1 == null && r2 == null) { // 都是空return true;} else if (r1 == null || r2 == null) { // 有一个为空，一个不为空return false;}Stack<TreeNode> stack1 = new Stack<>();Stack<TreeNode> stack2 = new Stack<>();stack1.add(r1);stack2.add(r2);while (!stack1.isEmpty() && !stack2.isEmpty()) {TreeNode temp1 = stack1.pop();TreeNode temp2 = stack2.pop();if (temp1 == null && temp2 == null) { // 两个元素都为空，因为添加的时候没有对空节点做判断continue;} else if (temp1 != null && temp2 != null && temp1.val == temp2.val) {stack1.push(temp1.left); // 相等则添加左右子节点判断stack1.push(temp1.right);stack2.push(temp2.left);stack2.push(temp2.right);} else {return false;}}return true;
}

6. 判断二叉树是不是平衡二叉树

递归实现：借助前面实现好的求二叉树高度的函数

如果二叉树为空，返回真
如果二叉树不为空，如果左子树和右子树都是AVL树并且左子树和右子树高度相差不大于1，返回真，其他返回假

/*** 6. 判断二叉树是不是平衡二叉树* 递归* @param root 根节点* @return 是否二叉平衡树（AVL树）*/
public static boolean isAVLTree(TreeNode root) {if (root == null) {return true;}if (Math.abs(getDepth(root.left) - getDepth(root.right)) > 1) { // 左右子树高度差大于1return false;}return isAVLTree(root.left) && isAVLTree(root.right); // 递归判断左右子树
}

7. 求二叉树的镜像

递归实现：破坏原来的树，把原来的树改成其镜像

如果二叉树为空，返回空
如果二叉树不为空，求左子树和右子树的镜像，然后交换左右子树

/*** 7. 求二叉树的镜像* 递归* @param root 根节点* @return 镜像二叉树的根节点*/
public static TreeNode mirrorRec(TreeNode root) {if (root == null) {return root;}TreeNode left = mirrorRec(root.right); // 递归镜像左右子树TreeNode right = mirrorRec(root.left);root.left = left; // 更新根节点的左右子树为镜像后的树root.right = right;return root;
}

递归实现：不能破坏原来的树，返回一个新的镜像树

如果二叉树为空，返回空
如果二叉树不为空，求左子树和右子树的镜像，然后交换左右子树

/*** 7. 求二叉树的镜像* 递归* @param root 根节点* @return 镜像二叉树的根节点*/
public static TreeNode mirrorCopyRec(TreeNode root) {if (root == null) {return root;}TreeNode newRoot = new TreeNode(root.val); // 创建新节点，然后交换左右子树newRoot.left = mirrorCopyRec(root.right);newRoot.right = mirrorCopyRec(root.left);return newRoot;
}

非递归实现：破坏原来的树，把原来的树改成其镜像

/*** 7. 求二叉树的镜像* 非递归* @param root 根节点* @return 镜像二叉树的根节点*/
public static void mirror(TreeNode root) {if (root == null) {return ;}Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();stack.push(root);while (!stack.isEmpty()){TreeNode cur = stack.pop();// 交换左右孩子TreeNode tmp = cur.right;cur.right = cur.left;cur.left = tmp;if(cur.right != null) {stack.push(cur.right);}if (cur.left != null) {stack.push(cur.left);}}
}

非递归实现：不能破坏原来的树，返回一个新的镜像树

/*** 7. 求二叉树的镜像* 非递归* @param root 根节点* @return 镜像二叉树的根节点*/
public static TreeNode mirrorCopy(TreeNode root) {if (root == null) {return null;}Stack<TreeNode> stack = new Stack<TreeNode>();Stack<TreeNode> newStack = new Stack<TreeNode>();stack.push(root);TreeNode newRoot = new TreeNode(root.val);newStack.push(newRoot);while (!stack.isEmpty()) {TreeNode cur = stack.pop();TreeNode newCur = newStack.pop();if (cur.right != null) {stack.push(cur.right);newCur.left = new TreeNode(cur.right.val);newStack.push(newCur.left);}if (cur.left != null) {stack.push(cur.left);newCur.right = new TreeNode(cur.left.val);newStack.push(newCur.right);}}return newRoot;
}

8. 判断两个二叉树是否互相镜像

递归解法：与比较两棵二叉树是否相同解法一致（题5），非递归解法省略。

比较r1的左子树的镜像是不是r2的右子树
比较r1的右子树的镜像是不是r2的左子树

/*** 8. 判断两个树是否互相镜像* @param r1 二叉树 1* @param r2 二叉树 2* @return 是否互相镜像*/
public static boolean isMirrorRec(TreeNode r1, TreeNode r2) {if (r1 == null && r2 == null) {return true;} else if (r1 == null || r2 == null) {return false;}if (r1.val != r2.val) {return false;}// 递归比较r1的左子树的镜像是不是r2右子树// 和r1的右子树的镜像是不是r2的左子树return isMirrorRec(r1.left, r2.right) && isMirrorRec(r1.right, r2.left);
}

9. 求二叉树中两个节点的最低公共祖先节点

递归解法：

如果两个节点分别在根节点的左子树和右子树，则返回根节点
如果两个节点都在左子树，则递归处理左子树；如果两个节点都在右子树，则递归处理右子树

/*** 9. 求二叉树中两个节点的最低公共祖先节点* 递归* @param root 树根节点* @param n1 第一个节点* @param n2 第二个节点* @return 最低公共祖先节点*/
public static TreeNode getLastCommonParentRec(TreeNode root, TreeNode n1, TreeNode n2) {if (findNodeRec(root.left, n1)) { // 如果n1在左子树if (findNodeRec(root.right, n2)) { // 如果n2在右子树return root; // 返回根节点} else { // 如果n2也在左子树return getLastCommonParentRec(root.left, n1, n2); // 递归处理}} else { // 如果n1在右子树if (findNodeRec(root.left, n2)) { // 如果n2在左子树return root; // 返回根节点} else { // 如果n2在右子树return getLastCommonParentRec(root.right, n1, n2); // 递归处理}}
}/*** 递归判断一个点是否在树里* @param root 根节点* @param node 查找的节点* @return 是否找到该节点*/
private static boolean findNodeRec(TreeNode root, TreeNode node) {if (node == null || root == null) {return false;}if (root == node) {return true;}// 先尝试在左子树中查找boolean found = findNodeRec(root.left, node);if (!found) { // 如果查找不到，再在右子树中查找found = findNodeRec(root.right, node);}return found;
}/*** 9. 树中两个节点的最低公共祖先节点* 递归解法2（更简单）* @param root 树根节点* @param n1 第一个节点* @param n2 第二个节点* @return 最低公共祖先节点*/
public static TreeNode getLastCommonParentRec2(TreeNode root, TreeNode n1, TreeNode n2) {if (root == null) {return null;}// 如果有一个match，则说明当前node就是要找的最低公共祖先if (root.equals(n1) || root.equals(n2)) {return root;}TreeNode commonLeft = getLastCommonParentRec2(root.left, n1, n2);TreeNode commonRight = getLastCommonParentRec2(root.right, n1, n2);// 如果一个在左子树找到，一个在右子树找到，则说明root是唯一可能得最低公共祖先if (commonLeft != null && commonRight != null) {return root;}// 其他情况是要不然在左子树要不然在右子树if (commonLeft != null) {return commonLeft;}return commonRight;
}

非递归算法：得到从二叉树根节点到两个节点的路径，路径从头开始的最后一个公共节点就是它们的最低公共祖先节点

/*** 9. 树中两个节点的最低公共祖先节点* 非递归* @param root 树根节点* @param n1 第一个节点* @param n2 第二个节点* @return 第一个公共祖先节点*/
public static TreeNode getLastCommonParent(TreeNode root, TreeNode n1, TreeNode n2) {if (root == null || n1 == null || n2 == null) {return null;}ArrayList<TreeNode> p1 = new ArrayList<>();boolean res1 = getNodePath(root, n1, p1);ArrayList<TreeNode> p2 = new ArrayList<>();boolean res2 = getNodePath(root, n2, p2);if (!res1 || !res2) {return null;}TreeNode last = null;Iterator<TreeNode> iter1 = p1.iterator();Iterator<TreeNode> iter2 = p2.iterator();while (iter1.hasNext() && iter2.hasNext()) {TreeNode tmp1 = iter1.next();TreeNode tmp2 = iter2.next();if (tmp1 == tmp2) {last = tmp1;} else { // 直到遇到非公共节点break;}}return last;
}/*** 把从根节点到node路径上所有的点都添加到path中* @param root 树根节点* @param node 终点节点* @param path 路径* @return 是否是目标节点*/
public static boolean getNodePath(TreeNode root, TreeNode node, ArrayList<TreeNode> path) {if (root == null) {return false;}path.add(root); // 把这个节点添加到路径中if (root == node) {return true;}boolean found = false;found = getNodePath(root.left, node, path); // 先在左子树中找if (!found) {found = getNodePath(root.right, node, path);}if (!found) { // 如果实在没找到证明这个节点不在路径中，删除刚刚那个节点path.remove(root);}return found;
}

10. 判断是否为二分查找树BST

递归解法：中序遍历的结果应该是递增的。

/*** 10. 判断是否为二分查找树BST* @param root 根节点* @param pre 上一个保存的节点* @return 是否为BST树*/
public static boolean isValidBST(TreeNode root, int pre){if (root == null) {return true;}boolean left = isValidBST(root.left, pre);if (!left) {return false;}if(root.val <= pre) {return false;}pre = root.val;boolean right = isValidBST(root.right, pre);if(!right) {return false;}return true;
}

非递归解法：参考非递归中序遍历。

/** * 10. 判断是否为二分查找树BST* 非递归* @param root 根节点*/
public boolean isValidBST2(TreeNode root){Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();//设置前驱节点TreeNode pre = null;while(root != null || !stack.isEmpty()){while (root != null) { // 将当前节点，以及左子树一直入栈，循环结束时，root==nullstack.push(root);root = root.left;}root = stack.pop();//比较并更新前驱，与普通遍历的区别就在下面四行if(pre != null && root.val <= pre.val){return false;}pre = root;root = root.right;  //访问右子树}return true;
}