文章目录

问题引入
介绍莫队算法及其实现过程
时间复杂度
莫队算法适用范围
莫队奇偶优化
普通莫队：小B的询问
树上莫队：SP10707 COT2 - Count on a tree II
回滚莫队：[PA2011]Kangaroos

upd：2021-08-11：重新对博客进行了外观美化修正，以及新增树上莫队
upd：2021-08-19：新增回滚莫队

问题引入

给定一个大小为NNN的数组，数组中所有元素的大小≤N\le N≤N。你需要回答MMM个查询。
每个查询的形式是L,RL,RL,R。你需要回答在范围[L,R][L,R][L,R]中至少重复222次的数字的个数

如果按照以往的想法，就会是O(n2)O(n^2)O(n2)的暴力枚举

for ( int i = 1;i <= Q;i ++ ) {scanf ( "%d %d", &l, &r );for ( int j = l;j <= r;j ++ ) {count[a[j]] ++;if ( count[a[j]] == 3 )result ++;}}

就算加一些优化，用l,rl,rl,r采取指针转移，但总归上还是在[1,n][1,n][1,n]区间内进行移动

最坏多半也是逼近于O(n2)O(n^2)O(n2)

void add ( int x ) {count[a[x]] ++;if ( count[a[x]] == 3 )result ++;
}
void removed ( int x ) {count[a[x]] --;if ( count[a[x]] == 2 )result --;
}
for ( int i = 1;i <= m;i ++ ) {scanf ( "%d %d", &l, &r );while ( curl < l )removed ( curl ++ );while ( curl > l )add ( -- curl );while ( curr > r )removed ( curr -- );while ( curr < r )add ( ++ curr );printf ( "%d\n", result );
}

add 添加该位置的元素到当前集合内，并且更新答案

remove 从当前集合内删除该位置的元素，并更新答案

那么这个时候莫队算法就重磅登场了

为什么叫做莫队算法呢？

据说算法是由之前的国家队队长莫涛发明的，他的队友平日里称他为莫队，所以称之为莫队算法

介绍莫队算法及其实现过程

莫队算法就是一个离线算法，仅仅调整了处理查询的顺序

实现过程如下：

将给定的输入数组分为n\sqrt{n}n块。每一块的大小为 nn\frac{n}{\sqrt{n}}nn

每个LLL落入其中的一块，每个RRR也落入其中的一块

如果某查询的LLL落在第iii块中，则该查询属于第iii块
所有的询问首先按照所在块的编号升序排列（所在块的编号是指询问的L属于的块）

如果编号相同，则按R值升序排列
莫队算法将依次处理第111块中的查询，然后处理第222块.........直到最后一块

有很多的查询属于同一块

e.g.

假设我们有333个大小为333的块(0−2,3−5,6−8)(0-2,3-5,6-8)(0−2,3−5,6−8)： {0,3}{1,7}{2,8}{7,8}{4,8}{4,4}{1,2}\{0,3\} \{1, 7\} \{2, 8\} \{7, 8\} \{4, 8\} \{4, 4\} \{1, 2\}{0,3}{1,7}{2,8}{7,8}{4,8}{4,4}{1,2}

先根据所在块的编号重新排列它们

第111块：{0,3}{1,7}{2,8}{1,2}\{0, 3\} \{1, 7\} \{2, 8\} \{1, 2\}{0,3}{1,7}{2,8}{1,2}
第222块：{4,8}{4,4}\{4, 8\} \{4, 4\}{4,8}{4,4}
第333块：{7,8}\{7, 8\}{7,8}

接下来按照R的值重新排列

第一块：{1,2}{0,3}{1,7}{2,8}\{1, 2\} \{0, 3\} \{1, 7\} \{2, 8\}{1,2}{0,3}{1,7}{2,8}
第二块：{4,4}{4,8}\{4, 4\} \{4, 8\}{4,4}{4,8}
第三块： {7,8}\{7, 8\}{7,8}

上述过程只是重新排列了查询的顺序

时间复杂度

我们说了这么多，选用莫队算法无非就是想把时间复杂度给降下来

接下来我们来看看真正莫队的时间复杂度是多少，其实我看了很多博客也是有点懵逼

上面的代码就是起一个铺垫作用，所有查询的复杂性是由444个``while`循环决定的

前222个while循环可以理解为左指针curl的移动总量

后222个 while循环可以理解为右指针curr的移动总量

这两者的和将是总复杂性

先算右指针

对于每个块，查询是递增的顺序排序，所以右指针curr按照递增的顺序移动

在下一个块的开始时，指针可能在最右端，将移动到下一个块中的最小的RRR处

又可以从本块最左端移动到最右端

这意味着对于一个给定的块，右指针移动的量是O(n)O(n)O(n)（curr可以从111跑到最后的nnn）

我们有O(n)O(\sqrt{n})O(n)块，所以总共是O(nn)O(n\sqrt{n})O(nn)

接下来看看左指针怎样移动

对于每个块，所有查询的左指针落在同一个块中，从一个查询移动到下一个查询左指针会移动

但由于前一个LLL与下一个LLL在同一块中，此移动是O(n)O(\sqrt{n})O(n)（块的大小）

在每一块中左指针的移动总量是O(Qn)O(Q\sqrt{n})O(Qn)，(QQQ是落在那个块的查询的数量)

对于所有的块，总的复杂度为O(m∗n)O(m∗\sqrt{n})O(m∗n)

综上，总复杂度为O((n+m)∗n)=O(n∗n)O((n+m)∗\sqrt{n})=O(n∗\sqrt n)O((n+m)∗n)=O(n∗n)

实在无法理解就跳过吧（如果有通俗易懂的解释欢迎评论)

莫队算法适用范围

首先莫队算法是一个离线算法，所以如果问题是在线操作带修或者强制特殊的顺序

莫队就失去了它的效应

其次一个重要的限制性：add和remove的操作

当有些题目的add和remove耗时很大，O(N)O(\sqrt N)O(N)时就应该思考能否卡过

因为莫队本身就是一种优美的暴力而已

但是还是有很大一部分区间查询的题可以由莫队进行完成

莫队奇偶优化

sqt = sqrt( n )
bool cmp( node x, node y ) {return ( x.l / sqt == y.l / sqt ) ? ( ( ( x.l / sqt ) & 1 ) ? x.r < y.r : x.r > y.r ) : x.l < y.l;
}

普通莫队：小B的询问

小B有一个序列，包含N个1~K之间的整数。他一共有M个询问，
每个询问给定一个区间[L…R]，求Sigma(c(i)^2)的值,
其中i的值从1到K，其中c(i)表示数字i在[L…R]中的重复次数。
小B请你帮助他回答询问。

输入格式
第一行，三个整数N、M、K。
第二行，N个整数，表示小B的序列。
接下来的M行，每行两个整数L、R。
输出格式
M行，每行一个整数，其中第i行的整数表示第i个询问的答案。

输入输出样例
输入
6 4 3
1 3 2 1 1 3
1 4
2 6
3 5
5 6
输出
6
9
5
2
说明/提示
对于全部的数据，1<=N、M、K<=50000

简单题解

说了是算法模板入门题，肯定不会把你拒之门外，还是要让你摸摸门的

这个题就是要简单处理一下∑ci2∑c_i^2∑ci2，当ci±1c_i±1ci±1时，答案会发生怎样的转化？

完全平方公式大家都会吧！！！

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