情境

大家应该都知道用nlogn的时间复杂度筛出[1,n]的所有素数，但是当n的范围较大时，这个方法就不奏效了
今天我们谈谈素数的线性筛法，也就是用On的时间复杂度筛出[1,n]的所有素数

解析

nlog的算法之所以会慢，是因为它进行了很多重复的操作
比如，24可能就被筛了很多遍
那么我们优化复杂度的思路就是尝试避免这些重复操作
也就是让每个合数只被筛一次
怎么做呢？
我们让每个合数只会被自己的最小质因数筛到
先看一下代码：

代码

void solve(){for(int i=2;i<=n;i++){if(v[i]==0){//还没被筛到就是素数了prime[++tot]=i;v[i]=i;}for(int j=1;j<=tot;j++){ll now=prime[j];if(now>v[i]||now*i>n) break;//now*i>n就是超出范围了，显然也不要了v[now*i]=now;}}return;
}

其中：

v[i]数组表示i的最小质因数
prime是素数表

代码是怎么做的？
枚举每一个数，再枚举已有的素数，只要当前素数还不大于自己的最小质因数，就一直用它筛
这个算法可以说是：

巧夺天工

为什么这样是对的呢？
接下来我们来证明一下这么做为什么就能不重不漏的筛出所有素数

证明

我们要证明两部分：不重、不漏

不漏

会不会少筛一些合数？
假设有一个合数a，那么它一定有一个不等于它本身的最小质因数
也就是说，存在：

a=v*k(v为质数且v<k)

显然v不会大于k的最小质因数，否则k的那个最小质因数就也是a的最小质因数了
那么我们在代码中循环枚举到k时，显然就会用质数表中已经有的v把a筛出来

不重

考虑反证法
假设代码过程中存在i与素数now，使得：

now*i=a;

且a的最小的质因数比i还小
不妨还设这个最小质因数为v
由于now已经是素数，所以这个v一定是i的一个因数
也就是说i存在一个质因数且小于now
那么now就一定比i的最小质因数大了
就会在前面的判断中break出去
证毕

线性筛素数的实现与证明相关推荐

[SDOI2008]沙拉公主的困惑线性筛素数+欧拉
本文为博主原创文章,欢迎转载,请注明出处 www.cnblogs.com/yangyaojia [SDOI2008]沙拉公主的困惑线性筛素数+欧拉题目大意给定n,m,求在1到n!内与m!互质的 ...
普及组模板——线性筛素数
题目:[模板]线性筛素数(洛谷_3383) #include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #inc ...
P3383 【模板】线性筛素数
https://www.luogu.com.cn/problem/P3383 //线性筛法 /* P3383 [模板]线性筛素数 https://www.luogu.com.cn/problem/P3 ...
牛客3007E-立方数-欧拉线性筛+素数分解+二分
链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/3007/E 来源:牛客网题目描述: 对于给定的正整数 N,求最大的正整数 A,使得存在正整数 B,满足 A3B=N 输 ...
线性筛素数（欧拉筛）
欧拉筛是O(n)复杂度的筛素数算法,1秒内埃筛能处理1e6的数据,而1e7的数据就必须用欧拉筛了. 埃筛的基本思想是:素数的倍数一定是合数. 欧拉筛基本思想是:任何数与素数的乘积一定是合数算法概述: ...
【线性筛】线性筛素数
小目录链接题目描述思路代码链接 YbtOJ6-2-1 题目描述给定一个范围,有 q个询问,每次输出第 k 小的素数. 思路欧拉筛代码 #include<iostream> ...
洛谷 P3383 【模板】线性筛素数
题目描述如题,给定一个范围N,你需要处理M个某数字是否为质数的询问(每个数字均在范围1-N内) 输入输出格式输入格式: 第一行包含两个正整数N.M,分别表示查询的范围和查询的个数. 接下来M行每行 ...
【Luogu3383】【模板】线性筛素数
problem 给定一个范围N 回答M个某数字是否为质数的询问(M solution codes #include<iostream> #define maxn 10000010 usin ...
线性筛法欧拉筛c语言,[洛谷P3383][模板]线性筛素数-欧拉筛法
Hibernate Hql 总结 1.from子句 Hibernate中最简单的查询语句的形式如下: from eg.Cat该子句简单的返回eg.Cat类的所有实例. 通常我们不需要使用类的全限定名, ...

线性筛素数的实现与证明

情境

解析

代码

证明

不漏

不重

线性筛素数的实现与证明相关推荐

最新文章

热门文章