动态规划在求解传递闭包问题中的应用（JAVA）--Warshell算法

动态规划在求解传递闭包问题中的应用：

传递闭包：对于n个顶点有向图来说，如果第i个顶点到第j个顶点之间存在一条有效的有向路径（即长度大于0的路径），那么T(i, j) = 1,否则T(i, j) = 0。例如：

求解传递闭包我们可以使用深度优先搜索和广度优先搜索，我们可以对每个顶点进行DFS/BFS，在对应的矩阵位置上置为1，遍历之后我们便得到整个图的传递闭包。

但是这种方式并不是高效的算法，而Warshell算法却能很好的解决问题。

Warshell算法通过一系列n阶布尔矩阵来构造传递闭包 R(0),...R(k),...,R(n) 。其中的每个布尔矩阵都提供有向图中有向路径的特定信息。具体来说，当且仅当从第i个顶点到第j个顶点之间存在一条有向路径，并且路径的每一个中间顶点的编号不大于k时，矩阵中第i行第j列的元素值为1。

R(0)中每个点的含义为：当且仅当从第i个顶点到第j个顶点之间存在一条有向路径，并且路径不存在中间顶点。即该矩阵为图的邻接矩阵。

R(k)中每个点的含义为：当且仅当从第i个顶点到第j个顶点之间存在一条有向路径，并且路径的每一个中间顶点的编号不大于k

R(n)中每个点的含义为：当且仅当从第i个顶点到第j个顶点之间存在一条有向路径，并且路径的每一个中间顶点的编号不大于n，即图的传递闭包。

思路：任何R(k)可以由R(k-1)计算的到的，那么，从第i个顶点vi到第j个顶点vj的路径可以表示为：

vi, ]每个顶点编号<=k的一个中间顶点集]，vj

这会存在两种情况，情况一：R(k-1) = 1，中间顶点集中不包含k即可到达vj;

情况二，R(k-1) = 0，中间顶点集必须包含k才能到达vj，那么，只有当矩阵中第i行第k列的元素和第k行第j列的元素都是1，R(k)才能是1。示例如下图：

下面将以示例的形式具体展示Warshell算法的流程：

Input：

4 4

1 2

2 4

4 1

4 3

Output:

1 1 1 1
1 1 1 1
0 0 0 0
1 1 1 1

完整代码如下：

import java.util.Scanner;public class Main {static int[][] e = new int[10][10];static int n, m;static Scanner input = new Scanner(System.in);public static void main(String[] args) {n = input.nextInt();m = input.nextInt();for (int i = 1; i <= m; i++) {int a = input.nextInt();int b = input.nextInt();e[a][b] = 1;}floyd();for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {System.out.print(e[i][j] + " ");}System.out.println();}}public static void floyd() {for (int k = 1; k <= n; k++) {for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {if (e[i][j] != 0) {e[i][j] = 1;} else if (e[i][k]!=0 && e[k][j]!=0) {e[i][j] = 1;}}}}}
}

时间复杂度：O(n^3)

更一般的问题是求解带权图中全源最短路径的长度。

动态规划在求解传递闭包问题中的应用（JAVA）--Warshell算法相关推荐

动态规划在求解硬币问题中的应用（JAVA）--币制最大化、找零问题、硬币收集问题
动态规划:这种算法思想多用来求解最优化问题,因此这里存在一个最优化法则,法则指出最优化问题任一实例的最优解,都是由其子实例的最优解构成的.一般来说,自底向上的动态规划更容易设计,但是带有记忆功能的自顶 ...
动态规划在求解背包问题中的应用（JAVA）--回溯法、记忆化法
动态规划在求解背包问题中的应用背包问题向来是动态规划的典型问题,给定n个重量为w1,w2,...,wn,价值为v1,v2,...,vn的物品和一个称重量为W的背包,求这些物品中最优价值的一个子集,且 ...
动态规划在求解全源最短路径中的应用（JAVA）--Floyd算法
参考图论算法(二)-最短路径的Dijkstra [ 单源 ] 和Floyd[ 多源 ] 解法(JAVA ) 这种算法也叫Floyd-Warshell算法,虽然和Warshell算法名字相近,算法思想也 ...
蛮力法在求解最优解问题中的应用（JAVA）--旅行家问题、背包问题、分配问题
蛮力法在求解最优解问题中的应用 1.TSP(旅行商问题)要求我们找出一条n个给定城市之间的最短路径,使我们再回到出发的城市之前,对欧每个城市都只访问一次.我们可以用赋权图来描述这个问题,那么算法的目的 ...
adams求微分方程c语言,ADAMS在求解微分方程组中的应用
ADAMS 在求解微分方程组中的应用在求解微分方程组中的应用众所周知 ADAMS 具有强大的结算功能,在求解动力学问题方面可谓得心应手.在此我想介绍一下它在求解非线性微分方程组方面的应用. 在工程 ...
分治法在求解凸包问题中的应用（JAVA）--快包算法
分治法在求解凸包问题中的应用(JAVA) 之前写过一篇蛮力法在求解凸包问题中的应用(JAVA)还算简单易懂,没有基础的读者最好先去阅读以下. 这里用分治法来求解凸包问题,由于这个算法和快速排序十分相似 ...
减治法在求解拓扑排序问题中的应用（JAVA）--有向无环图
减治法在求解拓扑排序问题中的应用拓扑排序:对于一个有向无环图来说,如果我们能够按照次序列出顶点,使得对于每条边来说,边的起始顶点总是排在边的结束顶点之前,那么这个过程就称为拓扑排序,拓扑排序有解是一 ...
两种方法求解正数数组中两个数相减的最大值
一,问题描述给定一个正数数组arr(即数组元素全是正数),找出该数组中,两个元素相减的最大值,其中被减数的下标不小于减数的下标. 即求出: maxValue = max{arr[j]-arr[i] ...
HDU 4622 求解区间字符串中的不同子串的个数
题目大意: 给定一个长度<2000的串,再给最多可达10000的询问区间,求解区间字符串中的不同子串的个数这里先考虑求解一整个字符串的所有不同子串的方法对于后缀自动机来说,我们动态往里添加一 ...

动态规划在求解传递闭包问题中的应用（JAVA）--Warshell算法

动态规划在求解传递闭包问题中的应用（JAVA）--Warshell算法相关推荐

最新文章

热门文章