重积分定理与计算总结

重积分定义

Riemann可积：将区域分为直径足够小的每一个小块，每一个小块内取任意一点的函数值作为小块的函数值，然后加起来，即Riemann和，如果这个值有极限则可积。

二重积分

二元函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)在矩形域III上间断点为零测集，则在III上可积，记作f∈R(I)f\in R(I)f∈R(I)，另dσd\sigmadσ为面积微元，则二重积分写为：
∬Ifdσ\iint _I fd\sigma ∬Ifdσ

若在有界闭集DDD上，则用足够大的矩形域III框住DDD，并且f(x,y)f(x,y)f(x,y)在I/DI/DI/D上为0，此时可积条件等价于：∂D\partial D∂D为零测集，DDD内部间断点为零测集

重积分关于区域可加性：

在满足上述条件后，再要求D1∩D2D_1\cap D_2D1∩D2为零测集时：

∬D1∪D2fdσ=∬D1fdσ+∬D2fdσ\iint_{D_1\cup D_2}fd\sigma=\iint _{D_1}fd\sigma+\iint_{D_2} fd\sigma ∬D1∪D2fdσ=∬D1fdσ+∬D2fdσ

积分中值定理：

DDD是R2\R^2R2上的道路连通有界闭集，边界为零测集，f,gf,gf,g为连续函数，且ggg在DDD上不变号，则：

∃(a,b)∈D∬Df(x,y)g(x,y)dxdy=f(a,b)∬Dg(x,y)dxdy\exist (a,b)\in D\\ \iint_Df(x,y)g(x,y)dxdy=f(a,b)\iint_D g(x,y)dxdy ∃(a,b)∈D∬Df(x,y)g(x,y)dxdy=f(a,b)∬Dg(x,y)dxdy

重积分与累次积分

在矩形区域I=[a,b]×[c,d]I=[a,b]\times [c,d]I=[a,b]×[c,d]上

设f∈R(I)f\in R(I)f∈R(I)
若f(x,y)f(x,y)f(x,y)关于yyy在[c,d][c,d][c,d]上可积，则

∬Ifdσ=∫abdx∫cdf(x,y)dy\iint _{I} f d\sigma=\int_a^bdx\int_c^df(x,y)dy ∬Ifdσ=∫abdx∫cdf(x,y)dy

反之亦然

在一般区域x∈[a,b],y∈[y1(x),y2(x)]x\in[a,b],y\in[y_1(x),y_2(x)]x∈[a,b],y∈[y1(x),y2(x)]上

若∫y1(x)y2(x)f(x,y)dy\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)dy∫y1(x)y2(x)f(x,y)dy存在，则

∬Df(x,y)dxdy=∫abdx∫y1(x)y2(x)f(x,y)dy\iint _Df(x,y)dxdy=\int_a^bdx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)dy ∬Df(x,y)dxdy=∫abdx∫y1(x)y2(x)f(x,y)dy

特别强调，一定要a≤ba\le ba≤b才可以转化为重积分

重积分的计算

有两种方法：交换积分次序和变量代换

根据积分区域转化为累次积分，再交换积分顺序
变量代换：

一般变量代换
dxdydz=∣det(∂(x,y,z)∂(u,v,w))∣dudvdwdxdydz=\Big|det\big(\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}\big)\Big|dudvdw dxdydz=∣∣∣det(∂(u,v,w)∂(x,y,z))∣∣∣dudvdw
利用极坐标表示，在有圆的结构时可以使用
- 二维极坐标：
x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θdxdy=rdrdθx=r\cos \theta,y=r\sin \theta\\ dxdy=rdrd\theta x=rcosθ,y=rsinθdxdy=rdrdθ
- 三维极坐标（θ\thetaθ为与北极线的夹角，φ\varphiφ为投影到xyxyxy平面内与xxx轴的夹角）
x=rsin⁡θcos⁡φ,y=rsin⁡θsin⁡φ,z=rcos⁡θdxdydz=r2sin⁡θdrdφdθx=r \sin \theta \cos \varphi,y=r\sin \theta \sin \varphi,z=r\cos \theta \\ dxdydz=r^2\sin \theta drd\varphi d\theta x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosθdxdydz=r2sinθdrdφdθ
般变量代换

重积分的应用

曲面面积问题：

在参数方程(x,y,z)=f(u,v)(x,y,z)=f(u,v)(x,y,z)=f(u,v)下

ru=(∂x∂u,∂y∂u,∂z∂u)rv=(∂x∂v,∂y∂v,∂z∂v)dS=det∣ru⋅ruru⋅rvrv⋅rurv⋅rv∣dudvr_u=(\frac{\partial x}{\partial u},\frac{\partial y}{\partial u},\frac{\partial z}{\partial u})\\ r_v=(\frac{\partial x}{\partial v},\frac{\partial y}{\partial v},\frac{\partial z}{\partial v})\\ dS=\sqrt{det\begin{vmatrix} r_u\cdot r_u & r_u\cdot r_v\\ r_v\cdot r_u & r_v\cdot r_v \end{vmatrix}}dudv ru=(∂u∂x,∂u∂y,∂u∂z)rv=(∂v∂x,∂v∂y,∂v∂z)dS=det∣∣∣∣ru⋅rurv⋅ruru⋅rvrv⋅rv∣∣∣∣dudv

du,dvdu,dvdu,dv前的系数恰好是ru,rvr_u,r_vru,rv张成的平行四边形的面积

∬ΩdS=∬Ω∗det∣ru⋅ruru⋅rvrv⋅rurv⋅rv∣dudv\iint _\Omega dS=\iint _{\Omega^*}\sqrt{det\begin{vmatrix} r_u\cdot r_u & r_u\cdot r_v\\ r_v\cdot r_u & r_v\cdot r_v \end{vmatrix}}dudv ∬ΩdS=∬Ω∗det∣∣∣∣ru⋅rurv⋅ruru⋅rvrv⋅rv∣∣∣∣dudv

特别的在(x,y,z)=(x,y,z(x,y))(x,y,z)=(x,y,z(x,y))(x,y,z)=(x,y,z(x,y))下

dS=1+(∂z∂x)2+(∂z∂y)2dxdydS=\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}dxdy dS=1+(∂x∂z)2+(∂y∂z)2dxdy

质心问题：

x‾=∭Ωxρ(x,y,z)dxdydz∭Ωρ(x,y,z)dxdydz\overline{x}=\frac{\iiint_\Omega x\rho (x,y,z)dxdydz}{\iiint_\Omega \rho(x,y,z)dxdydz} x=∭Ωρ(x,y,z)dxdydz∭Ωxρ(x,y,z)dxdydz

转动惯量：

绕xxx轴转动惯量记为JxJ_xJx

Jx=∭Ω(y2+z2)ρ(x,y,z)dxdydzJ_x=\iiint _\Omega (y^2+z^2)\rho(x,y,z)dxdydz Jx=∭Ω(y2+z2)ρ(x,y,z)dxdydz

引力问题：

在zzz轴方向上的引力大小：

Fz=−∭ΩGmr2cos⁡γdm=−∭ΩGmx2+y2+z2⋅zx2+y2+z2⋅ρ(x,y,z)dxdydzF_z=-\iiint_\Omega\frac{Gm}{r^2}\cos \gamma dm\\ =-\iiint _\Omega \frac{Gm}{x^2+y^2+z^2}\cdot \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\cdot \rho(x,y,z)dxdydz Fz=−∭Ωr2Gmcosγdm=−∭Ωx2+y2+z2Gm⋅x2+y2+z2z⋅ρ(x,y,z)dxdydz