唯一分解之Pollard-Rho算法

一般分解是 $\sqrt{x}$ 的复杂度，那么Pollard-Rho复杂度大概是 $\sqrt{\sqrt{x}}$ ，嗯就是x的四分之一次方，也就是说即使是longlong 的极限1e18，也能1s内跑的出来（18/4 = 4.5）

原理：

对于一个大整数n，我们取任意一个数x是n的质因数的几率很小，

如果取两个数x1以及x2使得它们的差是n的因数，那么几率就提高了，

如果取x1以及x2使得gcd((x1−x2),n)>1的概率就更高了。（概率的增加是因为组合数增加了）

这就是Pollard-Rho算法的主要思想。

我们随机x1，计算x2，(x[i] = (x[i-1]*x[i-1]%n+c)%n，c是一个自己定的常数 )，然后递归求解

用Miller_Rabbin来判断是否是素因子(单纯的因子的话递归分解它，素因子丢进答案的vector里)

poj1811，这是一道裸题，输出最小的素因子，本身是素数的话输出Prime

下面是代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e5+7;
vector<ll> vec;
ll MMul(ll x,ll y,ll mod,ll ans = 0){return (x * y - (long long)(x / (long double)mod * y + 1e-3) *mod + mod) % mod;
}
ll MExp(ll a,ll b,ll mod,ll ans = 1){for(a %= mod;b;b>>=1){if(b&1)ans = MMul(ans,a,mod);a = MMul(a,a,mod);}return ans;
}
bool Miller_Rabin(ll n,ll u = 0,int t = 0,int s = 10){if(n == 2)return true;if(n<2||!(n&1))return false;/// <2 || %2==0for(t = 0,u = n-1;!(u&1);t++,u>>=1);///n-1=u*2^twhile(s--){/// s timell a = rand()%(n-1)+1;ll x = MExp(a,u,n);///a^ufor(int i=0;i<t;i++){ll y = MMul(x,x,n);/// (a^u)^2if(y == 1&&x!=1&&x!=n-1)return false;x = y;}if(x!=1)return false;/// (a^p-1)%p != 1}return true;
}
ll Pollard_Rho(ll n, int c){ll i = 1, k = 2, x = rand()%(n-1)+1, y = x;while(true){i++;x = (MMul(x, x, n) + c)%n;ll p = __gcd((y-x+n)%n,n);if(p != 1 && p != n) return p;if(y == x) return n;if(i == k){y = x;k <<= 1;}}
}
void Find(ll n, int c){if(n == 1) return;if(Miller_Rabin(n)){vec.push_back(n);return;}ll p = n, k = c;while(p >= n) p = Pollard_Rho(p, c--);Find(p, k);Find(n/p, k);
}
int main(){int t;cin>>t;while(t--){ll k;cin>>k;if(Miller_Rabin(k)){cout<<"Prime"<<endl;continue;}vec.clear();Find(k,2333);sort(vec.begin(),vec.end());cout<<vec[0]<<endl;}return 0;
}

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