求解三维空间中两向量之间的夹角

问题描述：已知三维空间中的三个点P1P_1P1，P2P_2P2和P3P_3P3，求向量P1P2→\overrightarrow{P_1P_2}P1P2和P1P3→\overrightarrow{P_1P_3}P1P3之间的夹角，要求必须能够计算出[0, 2π\piπ)之间的数值，而不仅仅是只能求出锐角，并用C++或Python或MATLAB语言进行算法实现。

问题分析：为了求解出这个问题，首先需要引入三维向量的点乘和叉乘的知识。最后，根据点乘和叉乘推导出两个空间向量之间夹角的求解公式。
空间三维向量的叉乘：
C→=A→×B→\overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}C=A×B，C→\overrightarrow{C}C也是一个空间三维向量，方向通过右手定则来判断，即一个垂直于向量 A→\overrightarrow{A}A和向量 B→\overrightarrow{B}B所在平面的向量。
(0)∣C→∣=∣A→×B→∣=∣A→∣∗∣B→∣∗sin(θ)|\overrightarrow{C}|=|\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}|=|\overrightarrow{A} |*| \overrightarrow{B}|*sin(\theta) \tag{0} ∣C∣=∣A×B∣=∣A∣∗∣B∣∗sin(θ)(0)

向量A→∗B→\overrightarrow{A}*\overrightarrow{B}A∗B是一个数，它的大小是：
(1)A→∗B→=∣A→∣∗∣B→∣∗cos(θ)\overrightarrow{A}*\overrightarrow{B}=|\overrightarrow{A}|*|\overrightarrow{B}|*cos(\theta) \tag{1} A∗B=∣A∣∗∣B∣∗cos(θ)(1)
现在，将C→=A→×B→\overrightarrow{C}=\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}C=A×B 和 C→\overrightarrow{C}C 代入上述公式(1)，则有如下的表达式：
(2)C→∗C→=(A→×B→)∗C→=∣A→×B→∣∗∣C→∣∗cos(θ)\overrightarrow{C} * \overrightarrow{C}=(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) * \overrightarrow{C}=|\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}| * |\overrightarrow{C}| * cos(\theta) \tag{2} C∗C=(A×B)∗C=∣A×B∣∗∣C∣∗cos(θ)(2)
因此，有：
(3)cos(θ)=(A→×B→)∗C→∣A→×B→∣∗∣C→∣=cos(0)=1cos(\theta)=\frac{(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) * \overrightarrow{C}}{|\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}| * |\overrightarrow{C}|} = cos(0) = 1 \tag{3} cos(θ)=∣A×B∣∗∣C∣(A×B)∗C=cos(0)=1(3)
注意：在公式(3)中，之所以为cos(θ)=cos(0)cos(\theta)=cos(0)cos(θ)=cos(0)，因为A→×B→=C→\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}=\overrightarrow{C}A×B=C。
由公式(3)结合公式(0)，有：
(4)∣C→∣=∣A→×B→∣=(A→×B→)∗C→∣C→∣=(A→×B→)∗n→=∣A→∣∗∣B→∣∗sin(θ)|\overrightarrow{C}|=|\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}|=\frac{(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) * \overrightarrow{C}}{|\overrightarrow{C}|}=(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B})*\overrightarrow{n}=|\overrightarrow{A}|*|\overrightarrow{B}|*sin(\theta) \tag{4} ∣C∣=∣A×B∣=∣C∣(A×B)∗C=(A×B)∗n=∣A∣∗∣B∣∗sin(θ)(4)
注意：n→\overrightarrow{n}n是C→\overrightarrow{C}C的单位向量，即A→×B→\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}A×B的单位法向量。
接下来，我们再来推导如何求解 θ\thetaθ 的公式：
综合公式(4)和公式(2)，可得：
(5)θ=atan2(sin(θ),cos(θ))=atan2((A→×B→)∗n→,A→∗B→)=atan2((A→×B→).norm(),A→∗B→)\theta = atan2(sin(\theta), cos(\theta))=atan2((\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B})*\overrightarrow{n}, \overrightarrow{A}*\overrightarrow{B}) =atan2((\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}).norm(), \overrightarrow{A}*\overrightarrow{B}) \tag{5} θ=atan2(sin(θ),cos(θ))=atan2((A×B)∗n,A∗B)=atan2((A×B).norm(),A∗B)(5)
但是，存在一个问题，即公式(5)返回的数值是一个范围在 0 到 π\piπ 之间的数值，而不是我们想要的 0 到 2π\piπ的数值，即存在旋转的方向问题，当旋转的角度超过 180∘180^{\circ}180∘ 时，就会就会计算出一个反向旋转的角度小于 180∘180^{\circ}180∘的角度值。为此，我们需要判断旋转的方向，即在向量叉乘的过程中得到的法向量的 zzz 值是正的还是负的。通过这个来判断法向量的方向问题，通常当法向量的 zzz 值如果是负的，那么需要通过 2π−θ2\pi-\theta2π−θ 来得到真实的旋转角度，此时得到的旋转角度是一个大于 π\piπ 的数值。

公式推导完毕之后，我们就可以通过C++编程来实现该求解算法。我们会使用到Eigen线性代数库，这是一个在数值计算和机器人以及计算机视觉、图像处理等领域非常重要的一个基础库，很多重量级的开源算法库都是在Eigen基础上构建的。Eigen也非常好用，甚至直接从官网下载源代码解压就可以用，因为这个库只有头文件，不需要编译源码，解压即安装。
CMakeLists.txt

cmake_minimum_required(VERSION 2.8.3)
set(CMAKE_CXX_STANDARD 14)
project(Demo)
find_package(Eigen3 REQUIRED)
add_executable(${PROJECT_NAME} "main.cpp")

main.cpp

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>typedef Eigen::Vector3d Point;double getDegAngle(Point p1, Point p2, Point p3) {Eigen::Vector3d v1 = p2 - p1;Eigen::Vector3d v2 = p3 - p1;//one method, radian_angle belong to 0~pi//double radian_angle = atan2(v1.cross(v2).transpose() * (v1.cross(v2) / v1.cross(v2).norm()), v1.transpose() * v2);//another method, radian_angle belong to 0~pidouble radian_angle = atan2(v1.cross(v2).norm(), v1.transpose() * v2);if (v1.cross(v2).z() < 0) {radian_angle = 2 * M_PI - radian_angle;}return radian_angle * 180 / M_PI;
}int main() {//Point p1(0, 0, 0), p2(1, 0, 0), p3(0, -1, 0);//Point p1(0, 0, 0), p2(1, 0, 0), p3(0, 1, 0);//Point p1(0, 0, 0), p2(1, 0, 0), p3(0.5, 0.5, 0);Point p1(0, 0, 0), p2(1, 0, 0), p3(0.5, -0.5, 0);std::cout << "The Degree Angle is: " << getDegAngle(p1, p2, p3) << "\n";return 0;
}

测试结果：

The Degree Angle is: 270
The Degree Angle is: 90
The Degree Angle is: 45
The Degree Angle is: 315

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