第三章集合的基本概念和运算

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第三章集合的基本概念和运算
- 3.1 集合的基本概念
- - 3.1.1 集合的定义与表示
  - 3.1.2 集合与元素
  - 3.1.3 集合之间的关系
  - 3.1.4 空集
  - 3.1.5 全集
  - 3.1.6 幂集
- 3.2 集合的基本运算
- - 3.2.1 集合基本运算的定义
  - 3.2.2 文氏图（维恩图）表示
  - 3.2.3 关于运算的说明
  - 3.2.4 集合运算的算律
  - 3.2.5 集合包含或相等的证明方法

3.1 集合的基本概念

3.1.1 集合的定义与表示

集合：不能精确定义的基本的数学概念。一般认为集合指的是一些可确定的、可分辨的事物构成的整体。

集合通常用大写的英文字母来标记

常用数集：

N 自然数集合（0是自然数）

Z 整数集合

Q 有理数集合

R 实数集合

C 复数集合

集合的表示：

列元素法：将集合的所有元素一一列举出来，元素之间用逗号分开，并用花括号将它们括起来。

例如：A={ 1,b,c,5 }

1是集合A的元素，记作1∈A，并且b∈A、c∈A、5∈A

2不是集合A的元素，记作2∉A

谓词表示法：

B={ x| P(x) } B由使得P(x)为真的x构成

例如：B={ x|x∈Z∧3<x≤6 }

则：B={ 4,5,6 }

集合的特点：

互异性：集合的元素彼此不同；

无序性：集合的元素是无序的。

3.1.2 集合与元素

元素：组成集合的事物。

对于给定的集合和事物，应该可以判断这个特定的事物是否属于这个集合。如果属于，就称它为这个集合的元素。

有限集：集合中的元素是有限个

有限集的基：有限集A中的元素的个数，记作|A|。

如A={a,b,c}，则|A|=3。

无限集：集合中的元素是无限个

注意：对于任何集合A和元素x（可以是集合），x∈A和x∉A两者成立其一，且仅成立其一。

集合的元素可以是任何类型的事物，一个集合也可以作为另一个集合的元素。例如：{ a,{b} }，{ a,{b,c},d,{{d}} }

例题：

1.以下哪一个构成集合？（）

A {x|x may be a real number }

B {x|x is a pretty boy }

C {x|x is a real number }

D {x|x looks like an apple }

2.给定集合：{x|x∈N∧∃t( t∈{2,3} ∧x=2t ) }，则集合的元素为（）

A { 2,3 }

B { 4,6 }

C { 4,6,8,10,… }

D { 1,4,6,7,8,… }

3.给定集合：{x|x∈N∧∃t∃s( t∈{0,1} ∧s∈{3,4}∧t<x<s ) }，则集合的元素为（）

A { 0,1,2,3 }

B { 1,2,3 }

C { 2 }

D { 2,3 }

4.集合A={x|x∈R∧x²-1=0}，则以下描述哪些是正确的？（）

A 1∈A

B 2∉A

C -1∈A

D 0∈A

答案：1. C 2. B 3. B 4. ABC

3.1.3 集合之间的关系

包含（子集）：设A、B为集合，如果A中的每个元素都是B中的元素，则称A为B的子集合，简称子集。这时也称A被B包含，或B包含A，记作A⊆B。

A⊆B⇔∀x(x∈A→x∈B)

对于任何集合S，都有S⊆S。

不包含：如果B不被A包含，则记作A⊈B。

A⊈B⇔∃x(x∈A∧x∉B)

例如：A={0,1,2}，B={0,1}，C={1,2}，则有B⊆A，C⊆A，但B⊈C。

相等：设A、B为集合，如果A⊆B且B⊆A，则称A与B相等，记作A=B。

A=B⇔A⊆B∧B⊆A

不相等：如果A和B不相等，则记作A≠B。

两个集合相等的充分必要条件是它们具有相同的元素。

例如：A={ x|x是小于等于3的素数 }，B={ x|x=2∨x=3 }，则有A=B。

真包含：设A、B为集合，如果A⊆B且A≠B，则称A是B的真子集，记作A⊂B。

A⊂B⇔A⊆B∧A≠B

不真包含：如果A不是B的真子集，则记作A⊄B。或者A⊈B，或者B=A。

例如：{0,1}是{0,1,2}的真子集，但{1,3}和{0,1,2}都不是{0,1,2}的真子集。

思考： ≠与⊄的定义

注意⊂和⊆是不同层次的问题

例题：

1.下面哪些陈述正确？（）

A { a,b } ⊆{ a,b,c,{a,b,c} }

B { a,b } ∈{ a,b,c,{a,b} }

C { a,b } ⊆{ a,b,{{a,b}} }

D { a,b } ∈{ a,b,{{a,b}} }

2.设P={ x|(x+1)²≤4且x∈R }，Q={x| 5≤x²+16且x∈R }，则下面陈述正确的是？（）

A Q ⊂ P

B Q ⊆ P

C P ⊂ Q

D P = Q

答案：1. ABC 2. C

3.1.4 空集

空集Ø 不含任何元素的集合

∅={ x| x≠x }

空集是客观存在的

实例 {x|x²+1=0∧x∈R }就是空集

|∅|=0，|{∅}|=1

∅-∅=∅

定理空集是任何集合的子集

∅⊆A⇔∀x(x∈∅→x∈A)⇔T

推论空集是惟一的

证明假设存在∅₁和∅₂，则∅₁⊆∅₂且∅₂⊆∅₁，因此∅₁=∅₂

3.1.5 全集

全集E 在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则称这个集合为全集。

相对性的概念。研究的问题不同，所取得全集也不同。

在给定问题中，全集包含任何集合，即∀A( A⊆E )

3.1.6 幂集

定义集合A的全体子集构成的集合称作A的幂集，记作P(A)。

P(A)={ x|x⊆A }

P(A)={x|x⊆A }

实例

P(∅)={ ∅ }

P({∅})={ ∅, {∅} }

P({1,{2,3}})={ ∅, {1},{{2,3}},{1,{2,3}}

计数

如果|A|=n，则|P(A)|=2ⁿ

例题：

1.下面哪些陈述正确？（）

A ∅ ∈ ∅

B ∅ ⊆ ∅

C ∅ ∈ {∅}

D ∅ ⊆ {∅}

2.下面关于集合的表示中正确的是？（）

A {a} ∈ { a,b,c }

B {a}⊆ { a,b,c }

C ∅ ∈ { a,b,c }

D {a,b} ∈ { a,b,c }

3.设A={ 2,{a},3,4}，B={ {a},3,4,1 }，E为全集，下列命题正确的是？（）

A {2} ∈A

B {a}⊆ A

C ∅ ⊆ {{a}}⊆B⊆E

D {{a},1,3,4} ⊂ B

4.设S={ ∅,{2},{1,∅}}，则P(S)有多少个元素？（）

A 3

B 16

C 8

5.设A={ a,{a}}，下列命题错误的是？（）

A {a} ∈P(A)

B {a}⊆ P(A)

C {{a}}∈P(A)

D {{a}} ⊆ P(A)

答案：1. BCD 2. B 3. C 4. C 5. B

3.2 集合的基本运算

3.2.1 集合基本运算的定义

并 A∪B={ x|x∈A∨x∈B }

交 A∩B={ x|x∈A∧x∈B }

相对补(把A有B没有的元素取出来) A-B={ x|x∈A∧x∉B }

对称差(去掉AB中都有的元素) A⊕B=(A-B)∪(B-A)

=(A∪B)-(A∩B)

绝对补 ~A=E-A

例如： E={0,1,2,3}，A={0,1,2}，B={2,3}

A∪B={0,1,2,3}=E

A∩B={2}

A-B= {0,1}

A⊕B={0,1}∪{3}={0,1,3}

~A={3}

~B={0,1}

3.2.2 文氏图（维恩图）表示

3.2.3 关于运算的说明

运算顺序：~和幂集优先，其他由括号确定
并和交运算可以推广到有穷个集合上，即

A₁∪A₂∪…A_n={ x|x∈A₁∨x∈A₂∨…∨x∈A_n }

A₁∩A₂₁∩…A_n={ x|x∈A₁∧x∈A₂∧…∧x∈A_n }
某些重要结果

∅⊆A-B⊆A

A⊆B⇔A-B=∅

A∩B=∅⇔A-B=A

例题：

1.分别对条件(1)到(3)，确定X集合与下述那些集合相等。

S₁={ 1,2,…,8,9 }，S₂={ 2,4,6,8 }，S₃={ 1,3,5,7,9 }，S₄={ 3,4,5 }，S₅={ 3,5 }

（1）若X∩S₃=∅，则X

（2）若X⊆S₄，X∩S₂=∅，则X

（3）若X-S₃=∅，则X

2.令A={ 1,2,3 }，B={2,3}，则A⊕B的幂集是P(A⊕B)=( )

A {∅,{1}}

B {∅,{1,2},{1}}

C {∅,{1,2}}

D {∅,{2},{3}}

3.若A-B=∅，以下结论中正确的是？( )

A A=∅

B B=∅

C A⊂B

D B⊂A

4.以下结论中正确的是？( )

A 若A-B=B-A，则A=B

B 空集是任何集合的真子集

C 空集只是非空集合的子集

D 若A的一个元素属于B，则A=B

5.设A、B为集合，当( )时A-B=B。

A A=B

B A⊆B

C B⊆A

D A=B=∅

答案：1. (1)=S₂ (2)=S₅ (3)=S₃，S₅ 2. A 3. D 4. A 5. D

3.2.4 集合运算的算律

	∪	∩	⊕
交换	A∪B=B∪A	A∩B=B∩A	A⊕B=B⊕A
结合	(A∪B)∪C=A∪(B∪C)	(A∩B)∩C=A∩(B∩C)	(A⊕B)⊕C=A⊕(B⊕C)
幂等	A∪A=A	A∩A=A

	∩与∪	∩与⊕
分配	A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) A∪(B∩C)=(A∩B)∪(A∩C)	A∩(B⊕C)=(A∩B)⊕(A∩C)
吸收	A∪(A∩B)=A A∩(A∪B)=A
D.M 律	A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)	~ (B∪C)= ~B ∩ ~C ~ (B∩C)= ~B ∪ ~C
双重否定		~~A=A

吸收律的前提：∪、∩可交换

	∅	E
补元律	(矛盾律)A∩~A=∅	(排中律)A∪~A=E
零律	A∩∅=∅	A∪E=E
同一律	A∪∅=A	A∩E=A
否定（余补律）	~∅=E	~E=∅

例题：

以下陈述正确的是？

A if A∪B=A∪C，then B=C

B if A∩B=A∩C，then B=C

C if A-B=∅，then A=B

D if ~A∪B=E，then A⊆B

答案：D

3.2.5 集合包含或相等的证明方法

证明X⊆Y	证明X=Y
命题演算法	命题演算法
包含传递法	等式代入法
等价条件法	反证法
反证法	运算法
并交运算法

以上的X，Y代表集合公式