第一章：集合与函数概念

【导入例子】

“神舟”五号载人航天飞船离地面的距离随时间的变化而变化；上网费用随着上网时间的变化而变化；出国旅游人数日益增多；城市绿化面积不断扩大.....都可用函数模型刻画。

【概述】

现实世界中的许多运动变化现象都表现出变量之间的依赖关系。数学上，我们用函数模型描述这种依赖关系，并通过研究函数的性质了解它们的变化规律。

函数是高中数学的重要内容之一。函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用；函数与代数式、方程、不等式等内容联系非常密切；函数概念及其反映出的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础；函数的概念是运动变化和对立统一等观点在数学中的具体体现。

集合是现代数学的基本语言，可以简洁、准确地表达数学内容。在本章，我们将学习集合的一些基本知识，用集合语言表示有关数学对象，并运用集合和对应的语言进一步描述函数概念，感受建立函数模型的过程和方法，初步运用函数思想理解和处理生活、社会中的简单问题。

【开篇的理解】

1)通过实例引出函数，这一重要的数学模型，激发学生渴望了解、学习函数的兴趣；

2)然后指出函数的现实作用：刻画运动变化现象和了解变化规律；

3)接着说明函数在高中数学课程中的地位和作用：基础作用；

4)最后提出描述函数概念的数学语言：集合。

编者的概述安排侧面反映出本章的重点在函数，而集合是用来刻画函数的数学语言、工具。函数在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用，其概念对应哲学上的运动变化和对立统一等观点，编者希望同学们通过本章的学习能初步理解和掌握函数的思想。

1.1 集合

1.1.1集合的含义与表示

1)“旧知(初中接触过的数集)”导出“集合”；

2)结合实例设置“思考(集合的元素是什么？)”后引导学生给出集合和元素的含义；

3)讨论集合元素的性质：确定性、互异性；集合的相等的含义；设置“思考”加深对集合元素性质的理解；

4)给出相关符合表示：集合、元素、元素与集合之间的关系；常用数集的记号；

5)集合的三种表示：自然语言描述、列举法和描述法

5.1)给出列举法的表示方法，并编排相应例题，同时讨论了集合元素的第三个性质：无序性；

5.2)设置“思考(不等式解集这种无限集无法列举表示)”引出描述法表示，并给出其具体方法；

5.3)编排例题，巩固列举法和描述法；

6)设置“思考(比较三种集合表示法各自的特点和适用对象并给出实例)”加深对集合表示法的理解；

7)课后习题。

本节理解：集合是现代数学的基本语言，相对初中也是抽象数学的入门，更是为接下来的函数，以及后续数学内容学习奠定基础的。教材在处理上通过大量实例降低抽象性，增加学生的感性经验，同时又在集合、集合表示法中给出了较严格的形式化符号表示，这中间体现了抽象-具体、严谨-量力的教学原则要求；另外，教材设置了多个“思考”栏目，以引出抽象的集合概念、引导学生思考集合元素的性质、联系旧知(不等式解集)和集合各种表示法的特点及适用性。

1.1.2集合间的基本关系

1)设置“思考(类比实数关系)”导出集合间的基本关系；

2)引导学生观察实例中集合的包含关系，总结出“子集”的定义及符号；

3)从“数形结合”角度给出形象描述集合间关系的方法：Venn图；

4)结合实例(以及希望学生举出一些相关例子)从子集的角度给出集合相等的另一种描述；通过设置“思考”引导学生类比实数不等关系来理解集合子集与相等的关系；

5)在子集基础上进一步给出真子集的定义和符号；

6)结合实例给出空集的含义和符号；设置“思考”加深对空集的理解；

7)设置“思考”引导学生理解包含与属于的区别；

8)给出集合基本关系的性质：A⊆A、A⊆B, B⊆C则A⊆C；

9)课后习题。

1.1.3集合的基本运算

1)设置“思考(类比实数加法)”导出集合并运算；

2)结合实例给出集合并运算的定义及符号表示、Venn图表示，并编排例题巩固

2.1)在例题1中强调并集中公共元素之出现一次，为后续集合交集运算做铺垫；

2.2)在例题2中以数轴图示的形式表示求并集，渗透“数形结合”思想；

3)设置“思考”让学生发现并运算的性质：A∪A=A、A∪Ø=A；

4)结合实例给出集合交运算的定义及符号表示、Venn图表示，并编排例题巩固；

5)设置“思考”让学生发现交运算的性质：A∩A=A，A∩Ø =Ø；

6)“旧知(从小学到初中中数系的扩充)”引出全集；

7)结合实例(不同数系下方程解不同)给出全集的定义和符号；

8)在全集基础上给出补集的定义及符号表示、Venn图表示，并编排例题巩固；

9)课后习题。

这两节理解：这两节的处理非常类似“类比导入——实例观察——归纳定义——巩固”；集合本就是一个抽象的概念，其关系和运算相对来说更抽象，但类比实数的大小关系和运算来理解也是学生容易接受的，有利于培养学生类比的思维方式；另外Venn图和数轴这种体现“数形结合”思想的方式有利于降低抽象性，帮助学生理解抽象的关系和运算；包含和属于是不同层次的问题，设置“思考”有助于引导学生思考对象的层次性，加深理解。

【章节习题1.1】

【阅读与思考】

关于“集合中元素的个数”的问题，实际上就是“容斥原理”，这是只有2、3个集合的容斥原理。材料安排也与教材相同：实例+Venn图示，来揭示2个集合并的元素个数与每个集合中元素个数的关系。最后设计了2个探索问题：

1)将集合个数从2扩展到3个，请同学们探索问题答案；这个可仿造2个的情况，特别是Veen图的方式，直接类比得到答案；

2)将有限集推广到无限集的情况，请同学们探究比较无限集元素个数的方法；这是一个开放性问题，难度比较大，有益于调动学生思考、开发思维。

1.2函数及其表示

1.2.1函数的概念

1)复习“旧知(初中学习的函数)”导出函数；

2)设置“思考”引导学生分析、归纳实例(炮弹问题、臭氧空洞面积、恩格尔系数)，中变量间的关系；

2.1)在分析、归纳基础上用集合语言给出函数概念的定义：定义域、对应关系和值域；

2.2)给出函数的符号表示，并有意识设置栏目从数学文化角度熏陶学生；

2.3)给出学生熟悉的一次、二次函数的概念，设置“思考(探究反比例函数)”，从而让学生进一步理解函数三要素；

3)为方便函数研究，给出区间的记号，并结合数轴给出其几何意义，培养学生“数形结合”思想；

4)编排相关例题进一步帮助学生理解函数概念

4.1)例1帮助学生理解定义域、值域，并指出值域由定义域和对应关系确定、函数符号f(x)表示函数而非f乘x；

4.2)例2帮助学生理解对应关系，并引导学生从计算或图象角度考虑，为后续函数的表示法做铺垫；

5)设置“思考”：初高中在函数概念上处理的不同，引导学生思考数学抽象的作用；

6)课后习题。

本节理解：从初高中对函数概念的处理上体系了数学教学安排的螺旋式原则，初中更加具体、形象，而高中则用集合语言更加精确、严格、抽象地给出函数的定义；通过大量实例的感知，并引导学生分析、归纳，有利于学生抽象思维能力的培养；在给出函数的抽象定义后，通过数学故事引导学生从数学文化角度感受抽象符号的作用，通过设置“思考”和相应例题来帮助学生巩固理解。

1.2.2函数的表示法

1)通过“温故”导入；

2)编排例题3让学生再次体验三种表示法

2.1)在图象表示时强调函数图象既可连续也可离散，既可曲也可直，甚至折线，并由此引导学生“思考”：通过图形判断是否为函数图象的依据？

2.2)结合例题引导学生“思考”函数三种表示法各自的特点？所有函数都能用解析式表示吗？

2.3)鼓励学生自己举出函数，并用三种方法表示；

3)强调对一个具体的问题，应学会选择恰当的方法表示问题中的函数关系；

4)编排相关例题，强化3)中的认识

4.1)例题4给出了列表表示，但不利于分析，而直观、形象的图象法则恰恰相反，并强调对离散的点可人为连成线方便问题分析；

4.2)例题5、6给出了两个特殊函数的解析式和图象表示，并由此引出了重要的函数模型——分段函数；

4.3)分段函数可以描述实际生活中的很多问题，如出租车计费、个人所得税纳税额等；

5)将函数中数集扩展到任意集合，从而得到映射的概念；

6)编排例题7来巩固映射的概念；

7)结合例题7设置“思考”对映射概念进行辨析；

8)课后习题。

本节理解：函数的表示法在初中就学过，这里主要强调合理选择表示法，并给出了一个重要的函数模型——分段函数。最后将函数推广到的映射，这体现了对数学本质的渐进追求过程，也体现了数学抽象之美；同时这里的处理方式与传统不同，传统一般先介绍映射，而将函数作为一种特殊映射来看待，这里反其道而行之，映射是从函数推广而来，这体现了从一般到特殊和从特殊到一般的思维转换，后者更符合学生的认知规律。

【章节习题1.2】

【阅读与思考】

本篇文章是从数学文化——函数发展历史的角度来向同学们介绍函数概念的形成过程：从实际背景(天体计算、航海测量、炮弹问题等)产生函数雏形——莱布尼兹引入函数符号(一种几何量)——约翰·伯努利(解析法)——欧拉(依赖关系)——狄利克雷(对应)——集合出现导致现代函数的概念。从这个过程可以看出，函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要紧密相关，而且随着研究的深入，函数概念不断得到严谨化、精确化的表达，这与我们学习函数的过程是一样的。

1.3函数的基本性质

【导入】

所谓性质，就是事物变化过程中，保持不变的特征。

函数是描述事物运动变化规律的数学模型。如果了解了函数的变化规律，那么也就基本把握了相应事物的变化规律，因此研究函数的性质，如函数在什么时候递增或递减，有没有最大值或最小值，函数图象有什么特征等，是非常重要的。

1.3.1单调性与最大(小)值

1)创设“情境”引导学生观察一次、二次函数图象，获得函数“上升、下降”的直观感受，从而导入函数单调性；

2)进一步引导学生列表计算y=x²，从数值角度考察这些函数图象的“上升、下降”过程，得到：图象在y轴左侧“下降”，即在区间(-∞, 0]上，f(x)随x的增大而减小；图象在y轴右侧“上升”，即在区间(0,+ ∞)上，f(x)随x的增大而增大；

3)设置“思考”引导学生思考如何从解析式刻画“随着x的增大，相应f(x)随着减小或增大？”

3.1)在教师的帮助下给出y=x²在“区间(0,+ ∞)上，f(x)随x的增大而增大”的符号表述；

3.2)让学生给出在“区间(-∞, 0]上，f(x)随x的增大而减小”的符号表述；

4)结合实例，教师给出增函数、减函数的严格数学定义，并给出示意图来形象说明；

5)教师进一步给出单调区间的概念；

6)编排相关例题和设置“探究”栏目，加深学生对单调性概念的理解

6.1)例题1帮助学生理解函数单调性与单调区间是相关的；

6.2)例题2给出了用定义严格证明函数单调性的一个范例，从中可培养学生严密的逻辑推理能力；

6.3)自主“探究”反比例函数的单调性；

6.4)单调性的探究过程给出了一种研究函数性质的方法模式：观察具体图象——猜测函数可能具有的某种性质——推理论证猜测——获得结果；

7)进一步引导学生观察函数y=x²的图象，直观上发现图象有一最低点，从而导入函数的最值；

8)在教师的帮助下给出y=x²最低点的符号表述；

9)让学生给出y=-x²最高点的符号表述；

10)结合实例，教师给出最大值的严格定义；

11)设置“思考”，让学生仿照最大值，给出函数最小值的严格定义；

12)编排相关例题，巩固函数最值的理解

12.1)例题3结合实际烟花的设计，让学生认识到函数最值的实用性；

12.2)例题4建立函数单调性和最值之间的联系，让学生明白函数最值可通过单调性来获取；

13)课后习题。

本节理解：函数单调性是函数的重要性质之一，它刻画了函数的增、减变化规律，是函数的局部性质。它既是函数概念的延续和拓展，又为后续的各种初等函数单调性内容奠定基础。函数单调性概念的形成，经历了从定性到定量的过程，体现了数学概念逐渐抽象、严格化的过程，对于数学一般概念的学习具有借鉴意义。

函数最值是函数在整个定义域上的性质，属于函数的整体性质，但它也可看作是函数变化过程中的“峰值”状态，因此可通过单调性来获得。

1.3.2奇偶性

1)创设“情境”引导学生观察函数y=x²和y=2-|x|的图象，和对应函数值列表，从直观和数值两个角度认识到函数图象关于y轴对称，导入偶函数；

2)由此设问：如何从解析式描述函数图象关于y轴对称呢？

2.1)在教师的帮助下发现：对于函数y=x²，在R内任意一个x，有f(-x)=(-x)²=x²=f(x)，这时称f(x)=x²是偶函数；

2.2)让学生给出第二函数的偶函数符号描述；

2.3)在此基础上，教师给出偶函数的严格定义；

3)再次给出一些例子让学生加深对偶函数的认识；

4)创设“情境”引导学生观察函数y=x和y=1/x的图象，并完成对应函数值列表，设问让学生观察这两个函数的共同特征，导入奇函数；

5)学生发现两个函数关于原点对称；

6)让学生类比偶函数用解析式表示这一特征：对于这两个函数，在其定义域内任意一个x，有f(-x) =-f(x)，这时称f(x)=x是奇函数；

7)在此基础上，教师给出奇函数的严格定义；

8)设置“思考”和编排例题，帮助同学从图象对称性、定义来理解函数的奇偶性

8.1)“思考”帮助学生认识奇函数图象关于原点对称的特性；

8.2)例题5帮助学生熟悉利用定义判断函数奇偶性的步骤；

9)课后习题。

本节理解：奇偶性是函数的又一重要性质，是函数的整体性质，其概念的形成过程与函数单调性概念类似都经历了：观察——归纳，期间蕴含了数形结合的数学思想。

【章节习题1.3】

【信息技术应用】

这是一篇介绍信息技术在函数图象绘制上的应用。通过计算机软件(如Excel、几何画板等)可以将函数图象直观、形象的展示出来，而且可以将函数图象的动态变化过程也能够展示。这为同学们学习了解函数帮助非常大。

【实习作业】

小结

1.知识结构及逻辑关系图

2.回顾与思考

1)集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言可以简洁、准确地表达数学的内容，请结合实例，分别用自然语言、集合语言(列举法或描述法)、图形语言描述它们，并与同学交流用集合语言表达数学内容的优点。

1.1)一个集合中的元素应该是确定的、互异的、无序的，你能结合例子来说明集合的这些基本要求吗？

1.2)如何类比两个数的关系思考两个集合之间的基本关系(包含、相等)？

1.3)如何类比两个数的运算思考两个集合之间的基本运算(并、交、补)？

2)在本章，我们运用集合与对应的语言进一步描述了函数概念。与初中的函数定义相比较，突出了函数概念的本质：两个数集间的一种确定的对应关系，明确了函数的三个构成要素：定义域、对应关系和值域；引入了函数符号： y= f(x)。

通过本章学习，你对函数概念有什么新的认识和体会吗？

3)函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型。函数的表示方法主要有解析法、图象法、列表法三种，在解决问题时，面对不同的需要，选择恰当的方法表示函数是很重要的。请你结合具体实例，分析、比较这三种表示方法的特点。

4)研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的需要，也是数学本身的自然要求，例如：事物的变化趋势，对称性，用料最省、利润最大、效率最高等，这些特性反映在函数上，就是要研究函数的基本性质，如单调性、最大(小)值和奇偶性等。

在研究这些基本性质时，我们一般是先从几何直观(观察图象)入手，然后运用自然语言描述函数的图象特征，最后抽象到用数学符号刻画相应的数量特征。这是一个渐进的过程，也是数学学习和研究中经常使用的方法。

【总复习题】