高等代数：1 线性方程组的解法

1 线性方程组的解法

1.1 解线性方程组的矩阵消元法

1、线性方程组：左端为未知量x的一次齐次式，右端是常数。关键词：系数、常数项、n元线性方程组、解集

2、线性方程组的初等变换：1）把一个方程的倍数加到另一个方程上；2）互换两个方程位置；3）用一个非零数乘其中一个方程

3、关键词：阶梯型方程组、简化阶梯型方程组、增广矩阵、系数矩阵、零矩阵、方阵、m级矩阵（方阵）、矩阵的初等变换

4、阶梯型矩阵：1）零行在下方（如果有零行的话）；2）非零行从左边起第一个不为0的元素（称为主元），它们的列指标随行指标的递增而严格增大。

5、简化行阶梯形矩阵：1）是阶梯型矩阵；2）非零行的主元为1；3）主元所在列的其余元素为0。

6、定理1：任意一个矩阵都可以经过一系类初等行变换化成阶梯形矩阵。
证明：

7、推论1：任意一个矩阵都可以经过一系类初等行变换化成简化阶梯形矩

8、线性方程组的一般解：以主元为系数的未知量称为主变量，其余未知量为自由未知量，一般解就是用含自由未知量的式子表示主变量。

1.2线性方程组的解的情况及其判别准则

1、定理1：系数为有理数（或实数、复数）的你元线性方程组的解的情况只有三种可能：1）无解、2）有唯一解、3）有无穷多个解。

高斯-约当算法：

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初等行变换

是

否初等行变换

是

否初等行变换

线性方程组的增广矩阵

阶梯形矩阵

是否出现“0=d?”

原方程无解

简化行阶梯形矩阵

非零行数目=未知量数目？

原方程有唯一解

有无穷多个解

如果一个线性方程组有解，那么称它是相容的；否则，称它是不相容的。关键词：齐次线性方程组、零解、非零解

2、推论1：n元齐次线性方程组有非零解的充分必要是：它的系数矩阵经过初等行变换化成的阶梯形矩阵中，非零行的数目r<n。

3、推论2：n元齐次线性方程组如果方程的数目s小于未知量的数目n，那么它一定有非零解。

1.3 数域

1、定义：复数集的一个子集K如果满足：
（1） 0，1∈K；
（2） a，b∈K→a±b，ab∈K，
a，b∈K，且b≠0→a/b∈K
那么，称K是一个数域。

2、有理数集Q，实数集R，复数集C都是数域；但整数集Z不是数域，因为Z对于除法不封闭。任何数域都含有有理数域，有理数域是最小的数域，复数域是最大的数域。

3、命题1：任一数域都包含有理数域。