带参数的线性方程组的解法.docx

带参数的线性方程组的解 法 左连 翠 济南大学 侯淑 轩 基础 部 摘要 对带参数的 线性方程组的解法进行了系统的研 讨 , 分类给出了具体的解 法 , 并对一类复 杂 的题目提供了简便的解题方 法 。 关键词 线性方程 组 ; 增广矩 阵 ; 系数矩阵 一般线性方程组的解法比较固 定 , 也就是对 其增广矩阵实行行的初等变换化为行简化 的 阶梯形矩阵 , 然后对以此为增广矩阵的线性方程组求 解 。 但对于带参数的线性方程组的解法就 不这么简单 了 。 这需要针对不同的情况 , 给出不同的解 法 。 下面对几种常见的情况给出讨 论 。 1 参数只在常数项中出现的方程组 这种情况只要对其增广矩阵直接实行行初等变换即 可 。 例 1 问 a、 b 取何值时线性方程组 x 1 x 2 x 3 x 4 1 3x 1 2x 2 x 3 x 4 x 2 2x 3 2x 4 a 0 有解 并求 解 。 5x 1 4x 2 3x 3 3x 4 解 所给方程组的增广矩阵为 b 1 3 0 5 1 2 1 4 1 1 2 3 1 1 3 3 1 0 a b 1 0 0 0 0 1 0 0 - 1 2 0 0 - 1 2 0 0 - 2 3 经行初等变 换 A a - b - 3 2 所以原方程组有解的充要条件是 a - 3 b- 2 0, 即 a 3, b 2。 x 1 - 2 x 3 x 4 x 2 3- 2x 3 - 2x 4 此时解为 其中 x 3 , x 4 为自由未知 量 。 2 参数在系数中出 现 , 并且方程个数与未知量的个数不同的方程 组 。 此时仍要讨论方程组的系数矩阵与增广矩阵的 秩 。 例 2 问 a 取何值 时 , 线性方程组 a x 1 x 2 x 3 1 x 1 x 1 1 - a x 2 x 3 a 有解 并求 解 。 a 2 a 2 x 2 x 2 a x 3 a x 1 1 - 0 收稿日 期 1994206223 山 东 建 筑 工 程 学 院 学 报 1995 年 108 解 上方程组的增广矩阵为 a 2 a 1 - a 1 - a 1 a 2 0 1 a 1 1 1 a 0 1 a a 2 0 a 1 1 1 - 1 0 0 0 1 a - 0 0 a 1 - 经行 初等变 换 1 a A 1 - a 2 - 0 a a 2 a 1 - a 1, x 2 1 所 以 , 1 当 a 1, - 2 时 , 秩 A 秩 A 3, 方 程 组 有 唯 一 解 x 1 - , a 2 a 2 a 1 2 。 x 3 a 2 2 当 a 1 时 , 显然原方程组与 x 1 x 2 x 3 1 是同解 的 , 故解为 x 1 1- x 2 - x 3 , 其中 x 2 , x 3 为自由未知 量 。 3 当 a - 2 时 , 显然秩 A 3, 秩 A 2, 故方程组无 解 。 3 参数在系数中出 现 , 并且方程个数与未知量个数相同的方程 组 。 此时要先讨论系数行列式是否为 零 。 例 3 问 a、 b 取何值 时 , 方程组 a x 1 x 2 x 3 1 0 x 1 x 1 bx 2 x 3 有解 并求 解 。 2bx 2 x 3 1 解 因为系数行列式 1 b 2b 1 1 1 a 1 1 b 1 - a D 所以 1 当 a 1, b 0 时解唯 一 2b - 1 , 1 , ba b - 1 x 1 x 2 1 b - 2b - x 3 1 b a - 1 b 1 - a b 1 1 0 0 2 当 a 1 时 , 增广矩阵 A 0 0 1 1 - 1 0 所以 , 当 2b- 1 0 即 b 1 时 , 秩 A 秩 A , 有解 , 解为 2 x 1 - 1 - x 3 x 2 2 其中 x 3 为自由未知 量 ; 当 b 1 时 , 秩 A 3 秩 A 2, 无 解 。 2 当 b 0 时 , 由原方程组中容易看出无 解 。 3 总之 , 当 a 1 且 b 0 时有唯一 解 ; 当 a 1 且 b 1 时有无穷多 解 ; 当 a 1 且 b 1 , 或 b 2 2 0 时无 解 。 有些题目虽属于第三类情况 , 但因题目比较复 杂 , 故在求解过程中需要针对各种特殊情况 具体求 解 。 第 4 期 左连翠 等 带参数的线性方程组的解 法 109 例 4 问 a , b, c 取何值 时 , 线性方程组 a x 1 x 2 x 3 x 1 bx 2 x 3 1 1 1 有解 并求 解 。 x 1 x 2 cx 3 1 b 1 1 1 c a 1 1 解 因为系数行列 式 D b- c 2, 所以当 a bc- a - b- c 2 0 时有 a bc- a - 唯一 解 b - 1 c - 1 a - 1 c - 1 a - 1 b - 1 。 x 1 当 D 0 时 , , x 2 , x 3 D D D a x 1 x 2 x 3 1 x 1 x 2 x 3 1 1 若 b c 1 但 a 1 时有 解 , 因为此时原方程组 与 x 1 0 是同解 的 , 解 易 得 x 3 为自由未知 量 ; 同理 x 2 1- x 3 x 1 1- x 2 x 3 0, x 2 x 1 1- x 3 x 2 0 2 当 a b 1, 但 c 1 时有解为 为自由未知 量 ; 当 a c 1, 但 b 1 时有解为 当 D 0, 且 a , b, c 均不为 1 时 x 3 为自由未知 量 ; 3 4 1 0 1 1 - 1 1 - a c 1 - a c a bc - a - b - c 2 a 1 1 b 1 1 1 1 c 1 1 1 经行初等变 换 a A 0 0 1 - b 1 - a 1 0 0 1 1- a 0 1 c 1- a c 0 但 a bc- a - b- c 2 0, 故 A 1- a 从而秩 A 3, 秩 A 2, 所以无 解 ; 1- b 最 后 , 当 D 0 时 , 若 a , b, c 中已有一个 为 1, 如 a 1, 则 a bc- a - b- c 2 bc- b- c 1 0, 所以有 b c- 1 c- 1, 即 b- 1 c- 1 0, 从而有 b 1 或 c 1。 即当 D 0 时 , a , b, c 中 不可能只有一个等于 1, 要么至少有两个为 1, 要么全不为 1。 故 1 4 包括了 D 0 的全部 情 形 。 4 对于带参数的齐次线性方程组的非零解问题 关于这一类的题 目 , 因为齐次线性方程组有 非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于未 知 量的个 数 , 所以还是要讨论系数矩阵的 秩 。 x 1 - 4x 2 2x 3 k x 1 例 5 问 k 取何值 时 , 方程组 2x 1 7x 2 - 4x 3 k x 2 有非零 解 并求其一般 解 。 4x 1 10 x 2 - 6x 3 k x 3 1- k x 1 - 4x 2 2x 3 0 解 首先将原方程组改写为 2x 1 7- k x 2 - 4x 3 0 4x 1 10 x 2 - 6 k x 3 0 山 东 建 筑 工 程 学 院 学 报 1995 年 110 因为其系数行列式 D 2- k k - 1 1 , 故当 k 1 或 - 1 或 2 时才有非零 解 。 0 2 4 - 4 6 10 2 - 4 - 7 2 0 0 0 - 2 0 - 1 1 0 当 k 1 时 , 系数矩阵 A 1 , 所以有解 x 1 x 2 1 x 3 , x 3 为自由未知 量 。 2 2 2 4 - 4 8 10 2 - 4 - 5 2 0 0 0 2 0 0 - 1 , 0 2 当 k - 1 时 , A x 1 0, 所以解为 x 3 为自由未知 量 。 x 2 1 x 3 2 - 1 2 4 - 4 5 10 2 - 4 - 8 - 1 0 1 0 2 0 , 0 3 当 k 2 时 , A 0 0 x 1 2x 3 x 2 0 所以解为 其中 x 3 为自由未知 量 。 a x 1 bx 2 2x 3 0 a x 1 2b- a x 1 bx 2 1 x 2 3x 3 0 b 3 x 3 0 bx 3 0 例 6 问 a , b 取何值 时 , 方程组 有非零解 并求一般解 b- 1 x 2 - 解 系数矩阵 2 3 b 1 b - 0 0 1 1 b 1 0 a a a 0 b 2b - b b - a 0 0 0 1 1 A 3 1 - b 所以当 a 0 或 b 1 或 b - 1 时有非零 解 。 0 0 0 0 1 b- 1 0 0 1 1 b 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2- b b 1 0 1 当 a 0 时 , 系数矩阵 A , 解为 x 2 x 3 0, x 1 为自由未知 量 。 a 0 0 0 1 0 0 0 a 0 0 0 1 1 0 0 x 2 - x 3 0 a x 1 当 b 1 时 , 系数矩阵 A , 解为 其中 x 1 为自由未知 量 。 2 1 - 2 0 0 1 1 0 0 a x 2 - 3 x 1 3 当 b - 1 时 , 系数矩 阵 A , 解 为 其 中 x 1 为自由未 知 x 3 - 2a x 1 , 3 第 4 期 左连翠 等 带参数的线性方程组的解 法 111 量 。 综上所 述 , 对于带参数的线性方程组的 求解问 题 , 大致 分为两 类 一类是方程个数与未 知 量个数相同时 , 可用系数行列式非零先判断出有唯一解的情况 , 然后对于系数行列式为零的各 种情况加以求 解 ; 另一类是方程个数与未知量的个数不同 时 , 直接对其增广矩阵进行行初等变 换化简然后求 解 。 而针对不同的情况就需要灵活掌 握 , 给出最恰当的方 法 。 参 考 文 献 1 北京大 学 1 高等代 数 1 北 京 高等教育出版社 , 1978 2 张禾瑞 , 郝 钅 丙 新 1 高等代 数 1 北 京 高等教育出版社 , 1986 3 蔡剑芳 等 1 高等代数综合题 解 1 武 汉 湖北科技出版社 , 1986 4 苏 N 1B 1 普罗斯库烈柯夫 著 , 周晓钟 译 1 线性代数习题 集 1 北 京 北京人民教育出版社 , 1982 THE M ETHOD O F SOL V ING A BO UT SY STEM O F L INEA R EQUA T IO N W ITH PA RAM ETER Z u o L ia n cu i J in an U n ive r sity H ou S h u x u a n D ep t. o f F u n dam en ta l Co u r se A bstra c t T h is p ap e r stu d ie s an d d iscu sse s th e so lu t io n o f th e sy stem o f lin ea r e2 qu a t io n s w ith p a ram e te r, g ive s th e ir co n c re te m e tho d o f slo v in g, an d to a k in d o f com p lex p ro b lem , g ive s a sim p le an d co n ven ien t m e tho d. Key W ord s sy stem o f lin ea r equ a t io n s; au gm en ted m a t r ix; m a t r ix o f co eff i c ien t s