【SDOI2013】项链题解

【SDOI2013】项链

Problem

众所周知。

Solution

将原问题分为两个问题求解。

Part 1

首先求珍珠的种类数。
设fif_ifi表示满足gcd=igcd = igcd=i的本质不同珍珠个数,
gig_igi表示满足gcdgcdgcd为iii的倍数的本质不同珍珠个数
则f1f_1f1就是答案
由定义可得g(i)=∑i∣df(d)g(i)=\sum_{i|d}f(d)g(i)=i∣d∑f(d)
mobiusmobiusmobius反演得到f(i)=∑i∣dμ(di)g(d)f(i)=\sum_{i|d}\mu(\frac{d}{i})g(d)f(i)=i∣d∑μ(id)g(d)
所以f(1)=∑i=1aμ(i)g(i)f(1)=\sum_{i =1}^{a}\mu(i)g(i)f(1)=i=1∑aμ(i)g(i)
下面计算g(i)g(i)g(i)
iii的倍数有⌊ai⌋\lfloor\frac{a}{i}\rfloor⌊ia⌋个
考虑旋转和翻折产生的六个置换
由BurnsideBurnsideBurnside引理有g(i)=⌊ai⌋3+3⌊ai⌋2+2⌊ai⌋6g(i)=\frac{\lfloor\frac{a}{i}\rfloor^3+3\lfloor\frac{a}{i}\rfloor^2+2\lfloor\frac{a}{i}\rfloor}{6}g(i)=6⌊ia⌋3+3⌊ia⌋2+2⌊ia⌋
数论分块即可

Part 2

知道了珍珠的种类数后求本质不同的项链数
先设珍珠的种类数为ccc
不考虑本质不同的条件,先设h(i)h(i)h(i)为相邻不同，首尾不同项链数
初值h(1)=0,h(2)=c(c−1)h(1)=0,h(2)=c(c-1)h(1)=0,h(2)=c(c−1)
考虑转移讨论放入一个珍珠，左右两边是否相同
若左右相同,则贡献为(c−1)h(i−2)(c-1)h(i-2)(c−1)h(i−2)
若左右不同,则贡献为(c−2)h(i−1)(c-2)h(i-1)(c−2)h(i−1)
综上h(i)=(c−2)h(i−1)+(c−1)h(i−2)h(i)=(c-2)h(i-1)+(c-1)h(i-2)h(i)=(c−2)h(i−1)+(c−1)h(i−2)
注意到这是一个二阶常系数递推关系,特征方程法求得通解为h(i)=(c−1)i+(−1)i(c−1)h(i)=(c-1)^i+(-1)^i(c-1)h(i)=(c−1)i+(−1)i(c−1)
考虑本质不同的方案数
设旋转i位,xjx_jxj为第j位的种类
则xj=x(j+i)modnx_j = x_{(j+i) mod n}xj=x(j+i)modn
将其看作第jjj个点向第(j+i)modn(j+i)modn(j+i)modn个点连一条边
则整个项链成为许多个环,环内个点选的种类相同
环的长度为inlcm(i,)=ngcd(i,n)\frac{in}{lcm(i,)}=\frac{n}{gcd(i,n)}lcm(i,)in=gcd(i,n)n
每个环互不相交,因此只需考虑nngcd(i,n)=gcd(i,n)\frac{n}{\frac{n}{gcd(i,n)}}=gcd(i,n)gcd(i,n)nn=gcd(i,n)个珍珠的h()h()h()值
由Burnside引理
ans=1n∑i=1nh(gcd(i,n))ans=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}h(gcd(i,n))ans=n1i=1∑nh(gcd(i,n))
枚举gcd(i,n)gcd(i,n)gcd(i,n),上式成为
ans=1n∑d∣n∑i=1n[gcd(i,n)==d]h(d)=1n∑d∣n∑i=1n[gcd(nd,id)==1]h(d)=1n∑d∣nφ(nd)h(d)\begin{aligned} ans &=\frac{1}{n}\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)==d]h(d)\\ &=\frac{1}{n}\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{n}[gcd(\frac{n}{d},\frac{i}{d})==1]h(d)\\ &=\frac{1}{n}\sum_{d|n}\varphi(\frac{n}{d})h(d) \end{aligned} ans=n1d∣n∑i=1∑n[gcd(i,n)==d]h(d)=n1d∣n∑i=1∑n[gcd(dn,di)==1]h(d)=n1d∣n∑φ(dn)h(d)
大概的思路到这里就结束了.但是有些细节需要注意.比如φ(nd)\varphi(\frac{n}{d})φ(dn)无法直接求,需要分解质因数.模数可能会整除nnn
丑码贴在下面

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL mod = 1e9 + 7;
const LL MOD = mod * mod;
LL c, n, cnt, ans, a, y[10000][2];
int vis[10000010], prime[10000000], cnt2, T, mu[10000010], sum[10000010];
LL read() {LL res, flag = 1; char ch = getchar();for(; ch > '9' || ch < '0'; ch = getchar())if(ch == '-') flag = -1;for(res = 0; ch >= '0' && ch <= '9'; res = res * 10 + LL(ch - '0'), ch = getchar());return res * flag;
}
LL mul(LL x, LL y, LL mo) {LL z = (long double) x * y / mo + 0.5; z = x * y - z * mo;return (z % mo + mo) % mo;
}
LL Qpower(LL x, LL pnt, LL mo){LL res = 1;x = x % mo;while(pnt) {if(pnt & 1) res = mul(res, x, mo);x = mul(x, x, mo);pnt >>= 1;}return res;
}
LL F(LL x) {return (Qpower(c - 1, x, MOD) + (MOD + (x & 1 ? -1 : 1) * (c - 1)) % MOD) % MOD;}
void dfs(int k, LL p, LL x) {if(k > cnt2) {ans = (ans + mul(p, F(n / x), MOD)) % MOD;return ;}dfs(k + 1, p, x);for(int i = 1; i < y[k][1]; ++i) {p /= y[k][0];x /= y[k][0];dfs(k + 1, p, x);}dfs(k + 1, p / (y[k][0] - 1), x / y[k][0]);
}
int main() {T = read();mu[1] = 1, sum[1] = 1;for(int i = 2; i <= 1e7; ++i) {if(!vis[i]) prime[++cnt] = i, mu[i] = -1;for(int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= 1e7; ++j) {vis[i * prime[j]] = 1;if(i % prime[j] == 0) break;mu[i * prime[j]] = - mu[i];}sum[i] = sum[i - 1] + mu[i];}while(T--) {ans = c = cnt2 = 0;memset(y, 0, sizeof(y));n = read(), a = read();for(LL l = 1, r; l <= a; l = r + 1) {LL m = a / l;r = a / m;c = (c + mul((sum[r] - sum[l - 1] + MOD) % MOD, mul(((mul(m, mul(m, m, MOD), MOD) + 3 * mul(m, m, MOD) % MOD) % MOD + m * 2 % MOD) % MOD, 833333345000000041ll, MOD), MOD)) % MOD;}LL tmp = n, p = n;for(int i = 1; i <= cnt && prime[i] <= tmp; ++i) {if(tmp % prime[i] == 0) {y[++cnt2][0] = prime[i];p = p / prime[i] * (prime[i] - 1);while(tmp % prime[i] == 0) {y[cnt2][1] ++;tmp /= prime[i];}}}if(tmp > 1) {p = p / tmp * (tmp - 1);y[++cnt2][0] = tmp;y[cnt2][1] = 1;}dfs(1, p, n);if(n % mod == 0) ans = ans / mod * Qpower(n / mod, mod - 2, mod) % mod;else ans = ans % mod * Qpower(n, mod - 2, mod) % mod;printf("%lld\n",ans);}return 0;
}