【SDOI2013 necklace】项链

Description

（JZOJ 3298）
有一个 n n颗珠子组成的项链
每颗珠子有3个面，可以写3个数字，数字的范围(0,a](0,a]，两颗珠子是相同的当且仅当他们可以通过旋转变成一样
每颗珠子上的三个数的最大公约数必须等于1
相邻两颗珠子必须不同
如果两串项链可以通过旋转变成一样的，我们认为这两串项链相同。
给定 n n和aa，求有多少不同的项链？答案对 1000000007 1000000007取模。

Data Constraint

对于 10 10%的数据： n<=10，a<=10，T<=10 n；
对于 20 20%的数据： n<=1000，a<=100，T<=10 n；
对于 40 40%的数据： n<=109，a<=100，T<=10 n；
对于 60 60%的数据： n<=106，a<=105，T<=10 n；
对于 80 80%的数据： n<=109，a<=105，T<=10 n；
对于 100 100%的数据： n<=1014，a<=107，T<=10 n；

Solution

先求珠子种类

有用的只有有序对
123 122 112 111
数字表示大小关系

111只有一种
122 112 算出12然后*2
123 算一下

12:
设 F[i][A] F[i][A]表示公约数为 i i，数的取值范围为A的12有序对个数
所求即为F[1][a]F[1][a]
F[1][a]=C(a,2)−∑ai=1F[i][a] F[1][a] = C(a,2) - \sum_{i=1}^a F[i][a]
F[i][a]=∑aq=1∑ap=1gcd(p,q)=i F[i][a] = \sum_{q=1}^a \sum_{p=1}^a gcd(p,q) = i
F[i][a]=∑a/iq=1∑a/ip=1gcd(p,q)=1 F[i][a] = \sum_{q=1}^{a/i} \sum_{p=1}^{a/i} gcd(p,q) = 1
–> F[1][a/i] F[1][a/i]（也可以根据定义直接得出）

递归求解记忆化搜索

123

设 F[i][A] F[i][A]表示公约数为 i i，数的取值范围为aa的123有序对个数
所求即为 F[1][a] F[1][a]
F[1][a]=C(a,3)−∑ai=1F[i][a] F[1][a] = C(a,3) - \sum_{i=1}^a F[i][a]
F[i][a]=F[1][a/i] F[i][a] = F[1][a/i] //根据定义可得

递归求解记忆化搜索

综上，我们算出了珠子的种类，假设为 M M

接下来是MM种颜色给一个长度为 N N的环染色，相邻不能同色，问方案数
若旋转该环相同则属于同一种方案

设方案数为ansans
其实旋转就是置换，这些置换构成了一个群，叫做置换群
根据Burnside引理

ans=∑F(Ci)/|G| ans={\sum F(C_i)}/|G|

其中 Ci C_i为某种置换类型【即置换群中的某一个元素】， G G为置换群，|G||G|为置换群的大小。
F(Ci) F(C_i) 为该置换下不动点的数量
不动点就是对原问题做一次置换操作后仍不变的点
例如这题就是旋转后还是原来的环即称为这种旋转的不动点
感性点理解就是相同的方案

我们设 Ci C_i表示旋转 i i颗珠子
F(Ci)=P(gcd(n,i),M)F(C_i) = P(gcd(n,i),M)
P(n,m) P(n,m)表示 M M种颜色给一个长度为NN的环染色且相邻颜色不同的方案数（不考虑旋转）

为什么呢？
假设旋转 k k步
若一颗珠子的位置为ii，旋转后就是 i+k i+k
即 (i+p∗k) (i + p*k) % n 的颜色都必须先相同
考虑哪些位置属于 (i+p∗k) (i + p*k) % n
(i+p∗k) (i + p*k) % n = j
−−>p∗k−p2∗n=j−i --> p*k - p2*n = j-i

根据扩展欧几里得算法
方程有整数解的条件当且仅当 (j−i)|gcd(k,n) (j-i)|gcd(k,n)

所以当 j j与ii不同时， j−i j-i必然不是 gcd(k,n) gcd(k,n)的因子
那么所有的i最多只有 gcd(k,n) gcd(k,n)个

也就是说 gcd(k,n) gcd(k,n)个连续的珠子就决定了这个环
方案数即为 P(gcd(k,n),M) P(gcd(k,n),M)

接下来我们考虑

∑F(Ci)=∑P(gcd(n,i),M) \sum F(C_i) = \sum P(gcd(n,i),M)
∑F(Ci)=∑d|nCnt(d)∗P(d,M) \sum F(C_i) =\sum_{d|n} Cnt(d) * P(d,M)
其中
Cnd(d)=∑ni=1gcd(n,i)=d Cnd(d) = \sum_{i=1}^n gcd(n,i) = d
Cnd(d)=∑n/di=1gcd(n/d,i)=1 Cnd(d) = \sum_{i=1}^{n/d} gcd(n/d,i) = 1
Cnd(d)=Phi(n/d) Cnd(d) = Phi(n/d)

即 ∑F(Ci)=∑d|nPhi(n/d)∗P(d,M) \sum F(C_i) = \sum_{d|n} Phi(n/d) * P(d,M)

P(n,m) P(n,m)怎么求？

P(n,m)=P(n−1,m)∗(m−2)+P(n−2,m)∗(m−1) P(n,m) = P(n - 1, m) * (m - 2) + P(n-2, m) * (m-1)
插入 1 1颗珠子，只有m−2m-2种可能
插入 2 2颗珠子，先放一颗与原开头相同的，再放另一颗的时候就有m−1m-1种可能
且两种插入方式必然没重复（一个首尾不同，一个首尾相同）

特征根求解通项公式

P(n,m)=(m−1)n+(−1)n∗(m−1); P(n,m) = (m-1)^n + (-1)^n * (m-1);

完美得解