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前言
二阶与三阶行列式
- 二阶行列式
- 三阶行列式
全排列及其逆序数
- 全排列
- 逆序数
结语

前言

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非常感谢您阅读海轰的文章，倘若文中有错误的地方，欢迎您指出～

自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭
昵称：海轰
标签：程序猿｜C++选手｜学生
简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖…已保研。目前正在学习C++/Linux/Python
学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！

机器学习小白阶段
文章仅作为自己的学习笔记用于知识体系建立以及复习
知其然知其所以然！

二阶与三阶行列式

二阶行列式

记作

∣a11a12a21a22∣=a11∗a22−a12∗a21\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}*a_{22}-a_{12}*a_{21}∣∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣∣=a11∗a22−a12∗a21

定义

主对角线上的两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差，即：a11∗a22−a12∗a21a_{11}*a_{22}-a_{12}*a_{21}a11∗a22−a12∗a21

注：行列式本质是一个数值，比如∣1234∣\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 3 &4 \end{vmatrix}∣∣∣∣1324∣∣∣∣代表的就是数值(-2=1×4-2×3)

举例

∣3−221∣=？\begin{vmatrix} 3 & -2\\ 2 & 1 \end{vmatrix} = ？∣∣∣∣32−21∣∣∣∣=？

答：

∣3−221∣=3∗1−(−2)∗2=3−(−4)=7\begin{vmatrix} 3 & -2\\ 2 & 1 \end{vmatrix}=3*1-(-2)*2=3-(-4)=7∣∣∣∣32−21∣∣∣∣=3∗1−(−2)∗2=3−(−4)=7

三阶行列式

记作

∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=a11∗a22∗a33+a12∗a23∗a31+a13∗a21∗a32−a11∗a23∗a32−a12∗a21∗a33−a13∗a22∗a31\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}=a_{11}*a_{22}*a_{33}+a_{12}*a_{23}*a_{31}+a_{13}*a_{21}*a_{32}-a_{11}*a_{23}*a_{32}-a_{12}*a_{21}*a_{33}-a_{13}*a_{22}*a_{31}∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣=a11∗a22∗a33+a12∗a23∗a31+a13∗a21∗a32−a11∗a23∗a32−a12∗a21∗a33−a13∗a22∗a31

举例

∣12−4−221−34−2∣=？\begin{vmatrix} 1 & 2 & -4\\ -2 & 2 & 1\\ -3 & 4 & -2\\ \end{vmatrix} = ？∣∣∣∣∣∣1−2−3224−41−2∣∣∣∣∣∣=？

答：

∣12−4−221−34−2∣=1∗2∗(−2)+2∗1∗(−3)+(−4)∗(−2)∗4−1∗1∗4−2∗(−2)∗(−2)−(−4)∗2∗(−3)=−14\begin{vmatrix} 1 & 2 & -4\\ -2 & 2 & 1\\ -3 & 4 & -2 \end{vmatrix}=1*2*(-2)+2*1*(-3)+(-4)*(-2)*4-1*1*4-2*(-2)*(-2)-(-4)*2*(-3)=-14∣∣∣∣∣∣1−2−3224−41−2∣∣∣∣∣∣=1∗2∗(−2)+2∗1∗(−3)+(−4)∗(−2)∗4−1∗1∗4−2∗(−2)∗(−2)−(−4)∗2∗(−3)=−14

全排列及其逆序数

全排列

定义

从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

当m=n时所有的排列情况叫全排列。

公式

全排列数f(n)=n!(定义0!=1)

举例

用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数 ?

答：3×2×1=6种。

假设先放百位，有三种可能，再放十位，有两种可能，最后放个位，只有一种可能了。

故为3×2×1=6种

从上面例子可以发现：

当有n个不同数字进行排列时

第一个位置有(n)选择，第二个位置有(n-1)种选择…第n个位置有1种选择，一共有n*(n-1)(n-2)…21种可能，也就是n!种排列方式。

我们用PnP_{n}Pn表示n种不同元素的所有排列的种数，则

Pn=n∗(n−1)∗(n−2)∗...∗3∗2∗1=n!P_n=n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1=n!Pn=n∗(n−1)∗(n−2)∗...∗3∗2∗1=n!

逆序数

概念

标准次序：n个不同的数字，我们可以规定从小到大为标准次序
逆序：与标准排列次序相反（比如两个元素排序是从大到小，与标准次序相反，则视为逆序）
排列的逆序数：一个排列中所有逆序的总数

计算排列的逆序数的方法

n个元素（依次为1,2,3…n-1,n），规定从小到大为标准次序

设p1p2...pnp_1p_2...p_np1p2...pn为这n个元素的一个排列，对于元素pip_ipi(i=1,2…,n)，如果比pip_ipi大的且排在pip_ipi前面的元素有tit_iti个，那么就说pip_ipi这个元素的逆序数是tit_iti。

全体元素的逆序数总和为t，那么

t=t2+t2+...+tn=∑t=1ntit=t_2+t_2+...+t_n=\sum_{t=1}^nt_it=t2+t2+...+tn=∑t=1nti

即是这个排列的逆序数。

举例

求排列32514的逆序数

答：3在第一位，前面没有数，逆序数为0

2在第二位，前面的数中，有一个数3比2大，所以逆序数为1

5的前面没有比5的数，逆序数为0

1的前面比1大的数有：3、2、5，所以逆序数为3

4的前面比4大的只有5，所以逆序数为1

综上，该排列的逆序数t=0+1+0+3+1=5

补充概念

齐排列：逆序数为奇数的排列
偶排列：逆序数为偶数的排列

结语

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～

我是 海轰ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

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