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5.7 正定二次型

二次型的标准型不是惟一的，只是标准形中所含的项数是确定的（即二次型的秩）

定理9：惯性定理

设有二次型f=xTAxf=x^TAxf=xTAx，它的秩为rrr，有两个可逆变换

x=Cy、x=Pzx=Cy、x=Pzx=Cy、x=Pz

使

f=k1y12+k2y22+....+kryr2(ki≠0)f=k_1y_1^2+k_2y_2^2+....+k_ry_r^2(k_i\neq0)f=k1y12+k2y22+....+kryr2(ki=0)

和

f=λ1z12+λ2z22+...+λrzr2(λi≠0)f=\lambda_1z_1^2+\lambda_2z_2^2+...+\lambda_rz_r^2(\lambda_i\neq0)f=λ1z12+λ2z22+...+λrzr2(λi=0)

则k1,...,krk_1,...,k_rk1,...,kr中正数的个数与λ1,....,λr\lambda_1,....,\lambda_rλ1,....,λr中正数的个数相等

二次型的标准型中正系数的个数称为二次型的正惯性系数，负系数的个数称为负惯性系数

若二次型fff的正惯性系数指数为ppp，秩为rrr，则fff的规范形可确定为

f=y12+...+yp2−yp+12−...−yr2f=y_1^2+...+y_p^2-y_{p+1}^2-...-y_r^2f=y12+...+yp2−yp+12−...−yr2

定义10

设有二次型f(x)=xTAxf(x)=x^TAxf(x)=xTAx

如果对任何x≠0x\neq0x=0，都有f(x)>0f(x)>0f(x)>0，则称fff为正定二次型，并称对称阵A是正定的
如果对任何x≠0x\neq0x=0，都有f(x)<0f(x)<0f(x)<0，则称fff为负定二次型，并称对称阵AAA是负定的

定理10

nnn元二次型f=xTAxf=x^TAxf=xTAx为正定的充分必要条件是：它的标准型的nnn个系数全为正，即它的规范形的nnn个系数全为1，亦即它的正惯性指数等于nnn

推论

对称阵AAA为正定的充分必要条件是：AAA的特征值全为正

定理11：赫尔维茨定理

对称阵AAA为正定的充分必要条件是：A的各阶主子式都为正，即

对称正AAA为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即

举例

例17

判定二次型f=−5x2−6y2−4z2+4xy+4xzf=-5x^2-6y^2-4z^2+4xy+4xzf=−5x2−6y2−4z2+4xy+4xz的正定性

解答：

二次型fff的矩阵AAA为

A=[−5222−6020−4]A=\begin{bmatrix} -5 & 2 & 2\\ 2 & -6 & 0\\ 2 & 0 & -4 \end{bmatrix}A=⎣⎡−5222−6020−4⎦⎤

一阶主子式

∣a11∣=−5<0|a_{11}|=-5<0∣a11∣=−5<0

二阶主子式

∣a11a12a21a22∣=∣−522−6∣=26>0\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -5 & 2\\ 2 & -6 \end{vmatrix}=26>0∣∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣∣=∣∣∣∣−522−6∣∣∣∣=26>0

三阶主子式

∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=∣−5222−6020−4∣=−80<0\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -5 & 2 & 2\\ 2 & -6 & 0\\ 2 & 0 & -4 \end{vmatrix}=-80<0∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣−5222−6020−4∣∣∣∣∣∣=−80<0

发现一阶、三阶都为负，二阶为正

根据定理11：赫尔维茨定理，得到

fff是负定二次型

结语

说明：

参考于课本《线性代数》第五版同济大学数学系编
配合书中概念讲解结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～

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