博弈论入门（论和威佐夫、巴什、尼姆打牌被吊打是什么感受(╥﹏╥)

威佐夫博弈—黄金分割比

经典例题:

有两堆石子，有两个绝顶聪明的人在玩一个游戏，每次每个人可以从一堆石子中取任意数量但不少于1个的石子，或从两堆中同时取走相同数量的石子，最后一个取完石子的人获胜。

面对博弈题，最重要的找出必败点

(0,0)(1,2)(3,5)(4,7)(6,10)……

通过观察可以发现奇异局势的特点：

An是前面n-1对必败点中没有出现过的最小正整数，Bn = An + n
任何一个自然数都包含在一个且仅有的一个局势中。
任何的操作都可以将奇异局势变成非奇异局势。
通过适当的方法可以将非奇异局势变成奇异局势

对于特点1：

打表找规律即可.jpg

对于特点2：

**反证法：**假设这个自然数v出现了两次，那么v一定不是奇异局势的a（由特点1得：a只能出现一次），所以v是奇异局势的b，而两个局势的b相同，但两个局势中a与b的差值必不同，则这两个局势必然有一个不是奇异局势，说明v肯定不能出现两次啊

对于特点3：

对于一个奇异局势，若取走一堆中的石子，那么两对石子的差值必然改变，必然成为非奇异局势

对于一个奇异局势，若同时取走两堆石子，因为一个差值只能对应一种奇异局势，现在改变了a，b而差值不变，则必不是奇异局势

对于特点4：

所谓适当的方法，可以分为如下几种：

当a = b时，可以将两堆同时取光，剩下（0,0），为奇异局势
当a = a[k],b > b[k]时，只需取走第二堆的b - b[k]个石子即可
**当a = a[k],b < b[k]时，两堆需要同时取走a - k（b - a）个石子，k属于正整数。**当两堆同时取完后，就剩下（k(b - a), k(b - a) + (b - a)）的奇异局势！！！
当a > a[k]，b = b[k]，只需第一堆取走a - a[k]个石子即可
当a < a[k], b = b[k]，须分两种情况：1.a[k] == aj，即a[k]等于在他之前的任意一个奇异局势的a的值，此时，只需从第二堆取走b - bj个石子即可构成(aj,bj)的奇异局势；2.a[k] == bj,即a[k]等于在他之前的任意一个奇异局势的b的值，此时只需从第二堆取出b - aj个石子即可构成（bj, aj）的奇异局势。

而对于奇异局势(a，b)的判断条件：

ak = k * (sqrt(5) + 1) / 2; bk = ak + k;

具体证明利用的是Betty定理，经过一系列证明啊带入啊得到的，在这里我不太会说明白就不证明了，有兴趣的同学可以去传送门看看。

现在举个vj的例题：K - 取石子游戏

我们只需要判断a b的差值乘以1.618然后取整后是否等于a即可！若等于则先手必输，否则先手必胜！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a,b;
int main()
{while(cin>>a>>b){if(a > b)swap(a, b);//将小的数放在前面if((int)((b - a) * (sqrt(5.0) + 1.0) / 2.0) == a)cout<<0<<endl;elsecout<<1<<endl;}return 0;
}

巴什博弈 — Bash Game

经典例题：

两个顶尖聪明的人在玩游戏，有n个石子，每人可以随便拿1-m个石子，不能拿的人为败者，问谁会胜利

我们分情况讨论一下下：

当n <= m时，先手必胜
当n == m + 1时，后手必胜
当n == k *(m + 1)时，先手取i个，后手都可以将剩下的m + 1 - i个取走，维持下去，所以后手必胜
当n == k *(m + 1) + x时，先手可以先取走那x个，局势就变成上面的那样，所以先手必胜

结论：

if(n % (m + 1) == 0)先手必败
else先手必胜

变式：

1、总共n张牌;
2、双方轮流抓牌；
3、每人每次抓牌的个数只能是2的幂次（即：1，2，4，8，16…）
4、抓完牌，胜负结果也出来了：最后抓完牌的人为胜者；
假设Kiki和Cici都是足够聪明（其实不用假设，哪有不聪明的学生~），并且每次都是Kiki先抓牌，请问谁能赢呢？

思路：

打表找规律能发现：如果是3的倍数，则先手必胜，否则必败

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{int n;cin>>n;if(n % 3)cout<<"Kiki\n";elsecout<<"Cici\n";return 0;
}

尼姆博弈

先从最简单的模型说起：有三堆若干个物品，每次至少拿一个，多者不限，最后取光者胜。

要想制造必胜局，我们得让对面陷入一种必败态，然后维护这种必败态即可，所以我们可以想一下必败态是什么样的，最特殊的必败态是（0,0,0），这样的情况下是对方已经取完最后的物品，获胜了。再仔细分析一下（0,n,n）也是一种必败态，为什么呢？因为无论我选择取哪一堆的多少物品，对方只需要在另一堆上取相同数目的物品，保持（0,n,n）的局势，取到最后一定会变成（0,1,1）的局势，这样我只能取一个物品，剩下的那个物品对方就可以取了获胜。再仔细想想，（1,2,3）其实也是一种必败态，因为无论我如何取，取多少，对方都可以将局势变成（0,n,n）的必败态。

我们将这种局势统称为奇异局势，那这种奇异局势有什么特点呢？

也不知道是谁这么牛逼，竟然能把这种局势和二进制连续在一起

对于奇异局势来说，a ^ b ^ c其实是等于0的。第一种必败态就不用说了全是0，异或完了也是0，对于第二种，n^n其实也是0，因为任何数异或她本身得到的绝对是0，对于第三种（a,b,c）类的异或和也是0

如果我们面对的是一个非必败态（a,b,c），要如何变成必败态呢？

我们假设a < b <c,我们只需要将c变成a ^ b即可，因为这样的话c ^ (a ^ b)就是0了，符合必败态的规律，所以对于三堆物品，我们第一步只需要取c - (a ^ b)个物品即可

不知道，你看懂没……如果还是没懂，就给个面子装懂好嘛……

现在将尼姆博弈模型推广一下，有n个物品堆，两人人轮流在任意的物品堆取任意多的物品，最后取光者获胜

同样的（a,b,c,……n）堆物品，我们需要先求出abc……n的异或值，然后对每一堆进行判断，看需要取几个能构成必败态，也就是判断一下是否满足如下条件即可

if(tr[i] > (sum ^ tr[i]))

sum^tr[i]得到的是除了第i堆以外其他堆的数的异或和，如果我们能让第i堆的值等于剩下的所有值的异或和，那么他们异或起来的值肯定是0，即符合奇异局势

例题：E - Being a Good Boy in Spring Festival

思路：

先计算出所有数的异或值ans，然后循环跑一遍看看数里面有没有x能大于等于ans ^ x的

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n, tr[10005], sum, ans;
int main()
{while(cin>>n && n){ans = 0;sum = 0;for(int i = 1; i <= n; i++){cin>>tr[i];ans ^= tr[i];}for(int i = 1; i <= n; i++){if(tr[i] > (ans ^ tr[i]))sum++;}cout<<sum<<endl;}return 0;
}

尼姆博弈变形一

问题：

现在有n堆石子，每人每次可以从中选任意一堆，取1<= x <= k颗石子，最后取光者胜

思路：

相比于普通的尼姆博弈，主要的区别是取的数量发生了改变，无法取任意数量的石子了，所以我们可以让他取“任意”数量的石子，就先对每一堆石子进行巴什博弈，也就是对每堆石子变成x % (k + 1)个，此时相对来说就可以取任意石子，就再来一次尼姆博弈即可

尼姆博弈变形二

问题：

现有n堆石子，每人每次可以从中选至多k堆，每堆中可以取任意颗石子，取光者胜

思路：

将每堆石子的个数以二进制的形式表示，用数组tr[i]统计每一位上1的个数，如果每一位1的个数都可以被(K + 1)整除，则先手必败，否则先手必胜。

反尼姆博弈

题目：

现有n堆石子，每人每次可以从中选任意一堆取任意数量石子，至少一颗，取光者输掉

思路：

先手必胜条件：

每堆石子的数目均为1，且石子数异或和为0
至死一堆石子的数量不为1，且石子数异或和不为0

阶梯尼姆游戏

问题：

在一个阶梯上，每层有若干个石子，每次可以将其中某层中若干个石子移动到他下一层阶梯中去，不能操作者失败

思路：

对奇数堆进行尼姆博弈，如果异或和为0，则先手必胜

为什么可以这样呢？

假设我们先手，且奇数阶梯的石子数异或和为0，也就是我们必胜，我们只需要按能赢的步骤将奇数堆堆石子移动到偶数堆……如果对手也是移动奇数堆，我们也继续移动奇数堆……如果对手将偶数堆堆石子移动到奇数堆，我们就可以将对手移动到奇数堆的那些石子移动到下一个偶数堆，相当于奇数堆石子不变，总的来看就相当于没有偶数堆，只是奇数堆的数在一直消失，也就可以抽象成尼姆博弈！

那么为什么只对奇数堆进行尼姆博弈呢？偶数堆为什么不行？

因为奇数的时候我们可以将对手移动到奇数堆的石子移动到偶数堆，极端情况下是从1 -> 0，而如果堆偶数堆的时候，极端情况是将0 -> -1，很显然没有-1层阶梯，就无法成功，只能破坏原先的nim，导致胜负关系不确定。

参考博客：https://www.cnblogs.com/solvit/p/11393639.html

祝大家新年快乐鸭！（好像貌似可能差不多有那一内内的晚，就一内内⁄(⁄ ⁄ ⁄ω⁄ ⁄ ⁄)⁄，主要是年后这几天又开始看小说了，这小说不看完心里就总有个疙瘩，就一不小心看了炒鸡炒鸡长的时间，也就鸽了好处时间没写博客，今天就重拾这个博弈，将他补全了，先应付一波(=￣ ρ￣=) …zzZZ）