巴什博弈、威佐夫博弈、妮姆博奕、斐波那契博弈

巴什博弈

一堆 n个物品两人轮流从中取物品每人至少拿一个最多拿m个将这堆物品最后取完的是winner

先手胜利条件------------- n%（m+1）！=0

谁面对（m+1）*k 的情况谁就输了（k为正整数）

威佐夫博弈

有两堆物品每堆有若干个两个人轮流取物品规定有两种取法

1、从一堆物品中取至少取一个没有上限

2、从两堆物品中取相同个数的物品

将这两堆物品最后都取完的是winner

假设两堆物品分别有 [x,y]

当某人面对（0，0）（1，2）（3，5）（4，7）（6，10）（8，13）（9，15）（11，18）（12，20）。。。。

这个是一定会输（不会证明）

可以发现规律 ai = i*(1+sqrt(5))/2;（向下取整） yi = ai + i ; （向下取整） (用到黄金分割数)

所以判断 x y 是否为奇异点（必败点）如果是奇异点先手必输

尼姆博弈

三堆（可以推广到n堆）每堆若干物品两人轮流从某一堆中取物品至少取一个没有上限最后将所有物品取完的是winner

假设三堆物品分别有 [x,y,z]

当某人面对 [0,0,0] 这种局面时这个人一定是输的

当某人面对 [0,n,n] 这种局面时这个人也是输的

也很好理解当你面对 [0,n,n] 这种局面时你从两堆中的某一堆中拿走 k 个然后你的对手从另一堆中拿走 k 个一直拿下去最后面对 [0,0,0] 这种局面的一定是你

当某人面对 [1,2,3] 这种局面时这个人也是输的

当你面对这种局势时无论你怎么取你的对手都能把局势变成 [0,n,n] 这种例如：你取走第一堆的 1 然后你的对手就会取走第三堆中的一个局势变为 [0,2,2] 等等

奇异局势特点 将每堆中物品的个数全部异或之后结果为 0 （尴尬同样不会证明）

会用到异或的一个小性质 0^x = x 1^x = x'(非x)

斐波那契博弈

一堆若干物品两人轮流取物品规定取法：先手第一次不能把物品取完每次最少取一个最多取对手最近一次所取物品的二倍最后将物品取完的是winner

奇异局势特点 当物品个数是斐波那契数的时候 先手必败（依然没有证明）

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