知识点

库仑定律
静电力的叠加原理
电场强度
场强叠加原理
电偶极子与电偶极矩
连续带电体的场强
- 求解的关键：建立坐标系，微分，积分
- 导线延长线处的场强
- 有限长、半有限长、无限长、半无限长导线x轴上的场强
  - 有限长：仰角范围是[−θdown,θup][-\theta_{down},\theta_{up}][−θdown,θup]，线密度为λ\lambdaλ，则x轴上距离原点为x处的场强为：
    - Ex=λ4πϵ0x(sinθup−sinθdown)E_x=\frac {\lambda}{4 \pi \epsilon_{0} x}(sin\theta_{up}-sin\theta_{down})Ex=4πϵ0xλ(sinθup−sinθdown)
    - Ey=λ4πϵ0x(cosθup−cosθdown)E_y=\frac {\lambda}{4 \pi \epsilon_{0} x}(cos\theta_{up}-cos\theta_{down})Ey=4πϵ0xλ(cosθup−cosθdown)
    此处已更正
  - 有限长：若x轴恰好是其中轴线，则仰角范围是[−θ0,θ0][-\theta_0,\theta_0][−θ0,θ0]，则在x轴上距离原点为x处的场强为：
    - Ex=λ4πϵ0x(2sinθ0)E_x=\frac {\lambda}{4 \pi \epsilon_{0} x}(2sin\theta_0)Ex=4πϵ0xλ(2sinθ0)
    - Ey=0E_y=0Ey=0
  - 半有限长（即x轴在有限长导线底端/顶端，这里以底端为例）：则仰角范围是[0,θ0][0,\theta_0][0,θ0]则x轴上距离原点为x处的场强为：
    - Ex=λ4πϵ0x(sinθ0)E_x=\frac {\lambda}{4 \pi \epsilon_{0} x}(sin\theta_0)Ex=4πϵ0xλ(sinθ0)
    - Ey=λ4πϵ0x(cosθ0−1)E_y=\frac {\lambda}{4 \pi \epsilon_{0} x}(cos\theta_{0}-1)Ey=4πϵ0xλ(cosθ0−1)
    此处已更正
  - 无限长：x轴必定在中轴线上，仰角范围是[−π2,π2][-\frac {\pi}{2},\frac {\pi}{2}][−2π,2π]
    - Ex=λ2πϵ0xE_x=\frac {\lambda}{2 \pi \epsilon_{0} x}Ex=2πϵ0xλ
    - Ey=0E_y=0Ey=0
  - 半无限长：x轴在底部，导线往上无限延伸。（从原点向上的射线），仰角范围是[0,π2][0,\frac {\pi}{2}][0,2π]
    - Ex=λ4πϵ0xE_x=\frac {\lambda}{4 \pi \epsilon_{0} x}Ex=4πϵ0xλ
    - Ey=−λ4πϵ0xE_y=-\frac {\lambda}{4 \pi \epsilon_{0} x}Ey=−4πϵ0xλ
    - Ex=−EyE_x=-E_yEx=−Ey
    此处已更正
- 均匀带电圆环轴线上的场强
  - 总电荷量为Q，在x轴上距离原点为x的位置，圆环半径为R
  - Ex=xQ4πϵ0(x2+R2)3/2E_x=\frac {xQ}{4 \pi \epsilon_0 (x^2+R^2)^{3/2}}Ex=4πϵ0(x2+R2)3/2xQ
  - Ey=0E_y=0Ey=0
- 均匀带电圆盘轴线上的场强（无厚度）：圆环积分
  - 总电荷量为Q，在x轴上距离原点为x的位置，圆盘半径为R，面密度为σ\sigmaσ
  - 若x>>R，点电荷：E=Ex=14πϵ0⋅Qx2E=E_x=\frac {1}{4 \pi \epsilon_{0}}·\frac {Q}{x^2}E=Ex=4πϵ01⋅x2Q
  - 若x<<R，无限大带电平面：E=Ex=σ2ϵ0E=E_x=\frac {\sigma}{2\epsilon_0}E=Ex=2ϵ0σ
电场线
高斯定理
- 电通量：标量，通过电场中某一给定面的电场线的总条数叫做通过该面的电通量。
- 面积元矢量与其方向：从凸面射出来，dS⃗=dS⋅n⃗d\vec S=dS·\vec ndS=dS⋅n，其中n⃗\vec nn是面积元的单位法向向量（与该面积元的切面垂直）
- 通过面积元的电通量：标量
  - dϕe=E⃗⋅dS⃗=EdScosθd\phi_e=\vec E ·d\vec S=EdScos\thetadϕe=E⋅dS=EdScosθ
- 通过封闭曲面的电通量
  - 包围电荷的任意封闭曲面：ϕe=∮SE⃗⋅dS⃗=q总ϵ0\phi_e=\oint_S \vec E·d\vec S=\frac {q_总}{\epsilon_0}ϕe=∮SE⋅dS=ϵ0q总（重要等式，可以用该等式求解场强E）
  - 不包围电荷的任意封闭曲面：0
  - 对于封闭曲面，只有封闭曲面内的电荷对电通量有贡献
- 高斯定理：静电场中，通过任意封闭曲面（高斯面）的电通量等于该封闭曲面所包围的电量代数和的1ϵ0\frac {1}{\epsilon_0}ϵ01倍
- 高斯定理解题：电场分布具有对称性
  - 带电球体的电场分布：构造半径不同的球体
  - 无限大均匀带电平面的电场分布：构造穿过平面的圆柱
  - 无限长导线的电场分布：构造包围住导线的圆柱，导线穿过圆柱上下底面
环路定理
- 静电力做功：∫abq0⋅E⃗⋅dr⃗=∫abq0⋅14πϵ0⋅qr2⋅e⃗r⋅dr⃗=\int_a^b q_0·\vec E·d\vec r=\int_a^b q_0·\frac {1}{4\pi\epsilon_0}·\frac {q}{r^2}·\vec e_r·d\vec r=∫abq0⋅E⋅dr=∫abq0⋅4πϵ01⋅r2q⋅er⋅dr=∫abq0⋅14πϵ0⋅qr2⋅∣dr⃗∣⋅cosθ=∫abq0⋅14πϵ0⋅qr2⋅dr\int_a^b q_0·\frac {1}{4\pi\epsilon_0}·\frac {q}{r^2}·|d\vec r|·cos\theta=\int_a^b q_0·\frac {1}{4\pi\epsilon_0}·\frac {q}{r^2}·dr∫abq0⋅4πϵ01⋅r2q⋅∣dr∣⋅cosθ=∫abq0⋅4πϵ01⋅r2q⋅dr=q0q4πϵ0⋅(1ra−1rb)=\frac {q_0q}{4\pi\epsilon_0}·(\frac {1}{r_a} - \frac {1}{r_b})=4πϵ0q0q⋅(ra1−rb1)其中，q是场源电荷，q0是检验电荷，θ\thetaθ是电场强度与位矢的夹角，ra是a点与场源电荷的距离，rb是b点与场源电荷的距离。
- 由上述可见，∮LE⃗⋅dr⃗=0\oint_L \vec E·d\vec r=0∮LE⋅dr=0
- 环路定理：由静电力做功只与检验电荷起点、终点的位置有关，
  与所通过的路径无关
- 注意高斯定理+环路定理解题
电势能：Wa=q0∫a零电势能点E⃗⋅dr⃗W_a=q_0\int_a^{零电势能点}\vec E·d\vec rWa=q0∫a零电势能点E⋅dr
电势：Ua=Waq0=∫a零电势能点E⃗⋅dr⃗U_a=\frac {W_a}{q_0}=\int_a^{零电势能点}\vec E·d\vec rUa=q0Wa=∫a零电势能点E⋅dr
- 对于一个电荷微元dqdqdq，满足dU=14πϵ0⋅dqrdU=\frac {1}{4\pi\epsilon_0}·\frac {dq}{r}dU=4πϵ01⋅rdq，标量
电势差：Uab=∫abE⃗⋅dr⃗U_{ab}=\int_a^b \vec E·d\vec rUab=∫abE⋅dr
- 电势就是q0为单位正电荷时的电势能
- 电势和电势能都是相对量，电势差是绝对量
- 电场线指向电势降低的方向，但不一定是电势能降低的方向，电势能取决于电势+检验电荷。
电势的计算
- 点电荷系场中任一点的电势等于各点电荷单独存在时在该点产生的电势的代数和。
  
  注意！要求：具有相同的零势能点。因为电势是相对量。
- 零势点：
  - 若场源电荷有限分布，则无穷远处为零势点
  - 若场源电荷无限分布，则选取一个有限远的合适的地方作为零势点
零势点的选择理论上是任意的，只取决于“这样选择是否便于计算”
故，电势和电势能是随着零势点变化的
- 定义法（对定义积分）：
  - 无限大均匀带电平板中轴线上某一点的电势大小
  - 点电荷场中的电势分布（以无穷远处为电势零点）U=q4πϵ0rU=\frac {q}{4\pi\epsilon_0r}U=4πϵ0rq重点：叠加原理解题的基础
  - 均匀带电球面场中电势分布（以无穷远处为电势零点）r<R时U=q4πϵ0Rr<R时 U=\frac {q}{4 \pi\epsilon_0R}r<R时U=4πϵ0Rqr>R时U=q4πϵ0rr>R时 U=\frac {q}{4 \pi\epsilon_0r}r>R时U=4πϵ0rq
  - 无限长带电直线中轴线的电势分布（以x轴上a点为电势零点）U=λ2πϵ0(lna−lnr)U=\frac {\lambda}{2 \pi\epsilon_0}(lna-lnr)U=2πϵ0λ(lna−lnr)
  - 两块无限大均匀带电平板中轴线上某一点的电势大小（以两板中心为电势零点）x<−a,U=−σaϵ0x<-a, U=-\frac {\sigma a}{\epsilon_0}x<−a,U=−ϵ0σax>a,U=σaϵ0x>a, U=\frac {\sigma a}{\epsilon_0}x>a,U=ϵ0σa−a<x<a,U=σxϵ0-a<x<a, U=\frac {\sigma x}{\epsilon_0}−a<x<a,U=ϵ0σx
- 叠加原理（对前面的结论积分）：空间内每个电荷微元贡献的电势（相同电势零点）的代数和，基础：电荷微元的电势分布（以无穷远处为电势零点）dU=dq4πϵ0rdU=\frac {dq}{4\pi\epsilon_0r}dU=4πϵ0rdq这里的r是电荷微元与目标位置的距离
  - 求均匀带电圆环轴线上的电势分布（以无穷远处为电势零点） q4πϵ0(R2+x2)1/2\frac {q}{4 \pi\epsilon_0(R^2+x^2)^{1/2}}4πϵ0(R2+x2)1/2q
  - 均匀带电圆台相关（以无穷远处为电势零点）：圆环积分
  - 均匀带电球壳腔内（以无穷远处为电势零点）：球面积分
- 画空间电势分布曲线
- 场强与电势
  - 等势面
  - 电势梯度
  - 场强->电势：定义
  - 电势->场强：−∇U=E-\nabla U=E−∇U=E
  场强是向量，电势是标量，这里只能求出场强大小，场强方向还要另外确定
静电场中的导体
- 静电平衡
  1. 导体内部场强为0（若是空腔导体，则腔内电场不一定为0）
  2. 导体是等势体，导体表面是等势面
  3. 导体内部及表面无电荷定向运动（导体内部电荷存在杂乱无章的运动，但不受电场影响）
  静电感应：将金属导体放在外电场中，导体中的自由电子在做无规则热运动的同时，还将在电场力作用下做宏观定向运动，从而使导体内的电荷重新分布。
  静电平衡：在电场中，导体内部的电荷重新分布直到导体内没有电场为止。此时电荷没有定向移动状态，导体处于静电平衡
- 静电平衡时导体的电荷分布
  1. 实心导体：净电荷只分布于外表面，导体内无场强，导体外有场强
  2. 空腔导体，电荷分布在导体外，空腔内无电荷：净电荷只分布于外表面，内表面不仅净电荷为0，且没有电荷。 静电屏蔽，空腔内+导体内都没有场强，导体外有场强
  3. 空腔导体，电荷分布在空腔内，导体外无电荷：净电荷分布在导体内表面+外表面，空腔内+导体外都有场强，导体内无场强，通过接地导走导体外表面电荷，实现外部静电屏蔽
  4. 共同点：满足静电平衡的定义——导体内无场强
  5. 导体原本净电荷不为0的情况
- 静电平衡时导体表面电荷面密度与表面紧邻处场强成正比.
  - E⃗=σϵ0n⃗\vec E=\frac {\sigma}{\epsilon_0} \vec nE=ϵ0σn
- 孤立导体的电荷面密度与曲率有关（一般曲率越大电荷面密度越高）
有导体存在的静电场计算
- 静电平衡
- 电荷守恒
- 高斯定理
- 环路定理
电容
- 电容的定义：C=QUC=\frac {Q}{U}C=UQ
  - 若是一个孤立导体，U为该导体的电势（以无穷远处为电势0点），Q为该导体所带电荷量的绝对值
  - 若是电容器的电容，U为电容器的电势差，Q为其中一个导体所带的电荷量的绝对值
  电容：两个能够带有等值异号电荷的导体所组成的系统，叫做电容器。两个相互靠近的导体，中间夹一层不导电的绝缘介质（如电介质），这就构成了电容器。当电容器的两个极板之间加上电压时，电容器就会储存电荷。
- 平行板电容器的电容：C=ϵ0SdC=\frac {\epsilon_0S}{d}C=dϵ0S，S平行班的面积（两平行板大小相同），d是平行板间距
- 球形电容器的电容：C=4πϵ0RARBRB−RAC=\frac {4\pi\epsilon_0R_AR_B}{R_B-R_A}C=RB−RA4πϵ0RARB，其中RB为外球壳半径，RA为内球壳半径，两个球壳同心
球形电容器是两个同心球壳，不是球体
- 电容器串联的总电容：1C总=Σi=1n1Ci\frac {1}{C_总}=\Sigma_{i=1}^n\frac {1}{C_i}C总1=Σi=1nCi1
- 电容器并联的总电容：C总=Σi=1nCiC_总=\Sigma_{i=1}^nC_iC总=Σi=1nCi
在计算电容器并联的总电容时，上下并联线路的最右（左）端连接的节点处，电荷量等于上下并联线路中电容器（单个导体）上电荷量的总和
静电场的能量（静电能的本质就是电势能）
- 电容器中的静电能
  1. 考察平行板电容器。两个平行板原本不带电（呈现电中性）
  2. 外部电源充电，完成后两个平行板一个带+Q，一个带-Q，（电容器内的电场）储存静电能
  3. 实质是外部做功，将负极板的正电荷搬移到正极板上。根据能量守恒定律，做的功转化成电容器的静电能。
  电荷质量非常小，故不考虑动能
  1. 由两极板之间的电场存储静电能
  2. 静电能=Q22C\frac {Q^2}{2C}2CQ2=QU2\frac {QU}{2}2QU=CU22\frac {CU^2}{2}2CU2
  3. 结论可使用在任何电容器和孤立导体上
- 电场能量和能量密度
  1. 考察平行板电容器。
  2. 能量密度=wew_ewe=ϵ0E22\frac {\epsilon_0E^2}{2}2ϵ0E2
  3. 电场能量=WWW=∫VwedV\int_Vw_edV∫VwedV
  4. 结论可使用在任何电容器和孤立导体上
磁场
- 比奥萨法尔定律：dB⃗=μ04πIdl⃗×er⃗r2d\vec B=\frac {\mu_0}{4\pi} \frac {Id\vec l\times \vec {e_r}}{r^2}dB=4πμ0r2Idl×er
- 右手螺旋定则，∣a×b∣=absinθ|a \times b| = absin\theta∣a×b∣=absinθ
- 磁感应强度叠加原理
- 直线电流在四周距离为a的p点处产生的磁感应强度B=μ0I4πa(cosθ1−cosθ2)B=\frac {\mu_0I}{4\pi a}(cos\theta_1 - cos\theta_2)B=4πaμ0I(cosθ1−cosθ2)其中θ1,θ2\theta_1, \theta_2θ1,θ2分别为底角和顶角
- 半径为R，电流强度为I的圆形载流导线中轴线距离圆心为x处的磁感应强度B=μ0I2R2(R2+r2)3/2B=\frac {\mu_0I}{2} \frac {R^2}{(R^2+r^2)^{3/2}}B=2μ0I(R2+r2)3/2R2其中r2=R2+x2r^2=R^2+x^2r2=R2+x2
- 磁矩：m⃗=NISe⃗n\vec m = NIS\vec e_nm=NISen，其中en的方向与电流方向呈右手螺旋关系，N为线圈匝数
- 磁偶极磁场：圆电流产生的磁场
- 磁力矩（讨论电磁学题目时的力矩）：M⃗=m⃗×B⃗\vec M=\vec m \times \vec BM=m×B
磁场的高斯定理
- 磁通量 dϕm=B⃗⋅dS⃗=BdScosθd\phi_m=\vec B·d\vec S=BdScos\thetadϕm=B⋅dS=BdScosθϕm=∫SB⃗⋅dS⃗\phi_m=\int_S\vec B · d\vec Sϕm=∫SB⋅dS
- 高斯定理：∮SB⃗⋅dS⃗=0\oint_S \vec B · d\vec S=0∮SB⋅dS=0
磁场的环路定理
- 计算闭合回路L上的磁场强度
- 环路定理：∮LB⃗⋅dl⃗=μ0∑L内Ii\oint_L \vec B · d\vec l=\mu_0 \sum_{L内} I_i∮LB⋅dl=μ0L内∑Ii
- 规定：电流方向和积分方向呈右手螺旋关系时，电流为正方向。
- 该环路定理仅适用于稳恒电流产生的磁场
- 环路积分方向常取逆时针方向
洛伦兹力：F⃗=q⋅v⃗×B⃗\vec F=q·\vec v \times \vec BF=q⋅v×B
- 洛伦兹力不做功
安培力：dF⃗=dq⋅v⃗×B⃗d\vec F=dq·\vec v \times \vec BdF=dq⋅v×B=dq⋅dl⃗dt×B⃗=Idl⃗×B=dq·\frac {d\vec l}{dt} \times \vec B=Id\vec l \times B=dq⋅dtdl×B=Idl×B
磁力（矩）做功：W=IΔϕmW=I\Delta \phi_mW=IΔϕm
法拉第电磁感应定律：ϵ=−Ndϕmdt\epsilon = -N\frac {d\phi_m}{dt}ϵ=−Ndtdϕm注意，此处需要先∫dϕm\int d\phi_m∫dϕm得到ϕm\phi_mϕm后再对t求导，不能使用dϕm=B⃗⋅dS⃗,dϕmdt=B⃗⋅dS⃗dtd\phi_m=\vec B ·d\vec S,\frac {d\phi_m}{dt}=\vec B · \frac {d\vec S}{dt}dϕm=B⋅dS,dtdϕm=B⋅dtdS，因为B也可能是t的函数。其中，ϕm=∫SB⃗⋅dS⃗\phi_m = \int_S \vec B · d\vec Sϕm=∫SB⋅dS
- 动生电动势：（无需有电流通过）导线在磁场中运动，运动电荷收到洛伦兹力向导线两端定向移动并聚集。当两端聚集的电荷产生的电场和磁场抵消时（认为是匀强电场和匀强磁场），导线内电荷不再继续定向移动，导线内达到平衡。此时两端积累的正负电荷形成的电势差即为动生电动势。此时导线被视为电源。满足：
1. 由电动势定义得q∗E⃗=−q∗(v⃗×B⃗)q*\vec E = -q*(\vec v \times \vec B) q∗E=−q∗(v×B)即E⃗=−v⃗×B⃗\vec E = -\vec v \times \vec BE=−v×B则由电势差的定义可得｜U｜=∫LE⃗⋅dl⃗=∫Lv⃗×B⃗⋅dl⃗｜U｜ = \int_L \vec E · d\vec l = \int_L \vec v \times \vec B · d\vec l｜U｜=∫LE⋅dl=∫Lv×B⋅dl
2. 由电磁感应定律｜U｜=dϕmdt｜U｜ = \frac {d\phi_m}{dt}｜U｜=dtdϕm
3. 方向可由楞次定律确定
- 感生电动势：（无需有电流通）导线不动，磁场随时间变化引发的电动势。满足
1. 由电动势定义得，｜U｜=∫LE⃗感⋅dl⃗｜U｜ = \int_L \vec E_感 · d\vec l｜U｜=∫LE感⋅dl此时需要E感E_感E感已知
2. 由电磁感应定律｜U｜=dϕmdt｜U｜ = \frac {d\phi_m}{dt}｜U｜=dtdϕm=ddt∫sB⃗⋅dS⃗=\frac {d}{dt}\int_s\vec B · d\vec S=dtd∫sB⋅dS积分相当于间隔dS取无穷小的求和，此时对于每个间隔dS，B只和时间有关。（即时间不变时，对于每个小间隔dS，B都是常量）。S显然和t无关（因为这里假定S不变，磁场随时间变化），故对于t，dS是常量。可以把上述积分视为limΔSi−>0(ddt∑i=1∞B⃗i⋅ΔS⃗i)lim_{\Delta S_i->0}(\frac {d}{dt}\sum_{i=1}^{\infty}\vec B_i · \Delta \vec S_i)limΔSi−>0(dtdi=1∑∞Bi⋅ΔSi)=limΔSi−>0(∑i=1∞dB⃗idt⋅ΔS⃗i)=lim_{\Delta S_i->0}(\sum_{i=1}^{\infty}\frac {d\vec B_i}{dt}·\Delta \vec S_i)=limΔSi−>0(i=1∑∞dtdBi⋅ΔSi)由于B显然和S有关，即B=B(S,t)，故这里换回积分形式的同时，B应当是对t求偏导数=∫sδB⃗δt⋅dS⃗=\int_s \frac {\delta \vec B}{\delta t}·d\vec S=∫sδtδB⋅dS
3. 方向由楞次定律决定
- 感生中的自感电动势：线圈内部的磁感应强度发生变化，引发在线圈自身产生的感应电动势
1. 自感系数：由全磁通ϕ=N∫SB⃗⋅dS⃗\phi = N\int_S \vec B · d\vec Sϕ=N∫SB⋅dS且B=μ04πIdl⃗×e⃗rr2B = \frac {\mu_0}{4\pi} \frac {Id\vec l \times \vec e_r}{r^2}B=4πμ0r2Idl×er得知，全磁通正比于电流大小，即有ϕ=LI\phi = LIϕ=LI称L为自感系数
2. 由法拉第电磁感应定律得ϵ=−dϕmdt\epsilon = -\frac {d\phi_m}{dt}ϵ=−dtdϕm=−LdIdt=-L\frac {dI}{dt}=−LdtdI可知，L描述了线圈在磁通量变化率相同时产生自感电动势的强度
3. 计算方法：L=ϕIL = \frac {\phi}{I}L=Iϕ=N∫SB⃗⋅S⃗I= \frac {N\int_S \vec B · \vec S}{I}=IN∫SB⋅S
- 感生中的互感电动势：线圈电流变化导致附近产生的磁感应强度变化，导致附近线圈的磁通量发生变化，从而产生感应电动势
1. 互感系数：推导和结论同上
- 磁场能量
1. 自感磁能：Wm=A=12LI2W_m = A = \frac {1}{2} LI^2Wm=A=21LI2
2. 磁场能量密度：wm=B22μ0w_m = \frac {B^2}{2\mu_0}wm=2μ0B2
3. 一般情况下的磁场能量：Wm=∫VB22μ0dVW_m = \int_V \frac {B^2}{2\mu_0}dVWm=∫V2μ0B2dV
麦克斯韦方程组：见补充文章

易错点

电场强度

求一根线密度为λ\lambdaλ有限长直导线中轴线上与原点距离为x处的场强：
- 若该导线的长度为L，被x轴分割的上下两半个为L2\frac {L}{2}2L，则每一个线微元为dq=λdL2dq=\lambda d\frac {L}{2}dq=λd2L，注意！这是易错点。
- 可以如此类比：当dq与x轴的垂直距离为y时，它是dq=λdydq=\lambda dydq=λdy。故距离为L2\frac {L}{2}2L时，它应当是dq=λdL2dq=\lambda d\frac {L}{2}dq=λd2L

高斯定理

ϕe>0,则θ<π2,\phi_e>0,则\theta<\frac {\pi}{2},ϕe>0,则θ<2π,电场线穿出面（从凸面射出来）。符号表示方向
规定：封闭曲面的外法向为正（面元的方向向量）
求内部带电球体在球内外的电场分布时，不考虑球面上的电场分布（不考虑r=R的情况）

一般都不考虑落在带电体面上时的电通量

两个无限长的带电导线（不考虑半径），电荷线密度为σ\sigmaσ。若分别考察，由高斯定理可知，距离导线为d的位置，场强为σ2πϵ0r\frac {\sigma}{2\pi\epsilon_0r}2πϵ0rσ。若两导线相距为2d，若采用高斯定理，构造圆柱体包围有限长度的带电导线，在两导线之间距离任一导线为d的位置，显然场强大小根据高斯定理依旧是σ2πϵ0r\frac {\sigma}{2\pi\epsilon_0r}2πϵ0rσ（因为高斯面内的电荷量不变）。哪里错了？
- 答案：此时高斯定理左边的∮SE⃗⋅dS⃗\oint_S \vec E·d\vec S∮SE⋅dS中，E的大小在圆柱体侧面不是处处相等的，随着位置发生变化，故这里不能把E直接拆出来。错误。

环路定理

注意在讨论电场部分时，dr⃗d\vec rdr的方向既不是位矢方向也不是位移方向，而是从场源电荷指向检验电荷的矢量方向（有时候这个方向会等于位矢方向，有时候不会），r⃗\vec rr是从场源电荷到检验电荷的矢量。
- 例如，在一个直角坐标系中（坐标原点 != 场源电荷），求x轴上x点的电势，以无穷远处为电势零点Ux=∫x∞E⃗⋅dr⃗U_x=\int_x^{\infty} \vec E·d\vec rUx=∫x∞E⋅dr是错误的，积分下限应当是r，即初始状态下场源电荷和检验电荷之间的距离。
- 此时的drdrdr中的r也是场源电荷到检验电荷的矢量的大小，而不一定是位矢的大小。

若场源电荷不存在则r是场强方向的矢量

由电势的定义可知，只有在电场强度不同时才需要分段计算电势（进行分段积分）。
注意：在求均匀带电球壳腔内任意点电势时，由于腔内（空白部分）没有电荷，故由高斯定理可知，腔内没有电场（电场线），故腔内电势各点相等（！不是电势为0！）
U12=U1−U2U_{12}=U_1-U_2U12=U1−U2，即从1到2的电势的减小量即为电势差。
注意：使用叠加原理解题时，不是什么情况下都能用点电荷电势来积分。因为点电荷电势的零点在无穷远处，对于一些电场（如距离单个均匀带电无限大平面的某点的电势，由于电场无限大，所以电势零点只能设置在有限远处），不能使用电荷电势的积分。

场强相等，电势显然不一定相等
场强为0，电势不变，但不一定为0
电势为0，场强不一定为0。因为零势点是可以任意选取的。
场强大电势不一定高，会因为电势零点的选取而变化。但场强大电势的变化率一定大。

电容

电容是电容器或孤立导体本身的物理性质，与其带电荷量大小无关。但可以通过假定它带电荷量时的状况推出电容量
电容用来衡量电容器或孤立导体在相同电压下（电势或电势差），所带电荷量大小的能力
- 使用场景：平行板电容器两板接电源，则电压不变（电势差），则电容越大的平行板电容器带电荷量（电量）越大

磁场

只有运动电荷才能产生磁场，磁场也只对运动电荷才有作用。若两者都是定向运动电荷，则形成电流
对于环形电流，若有n匝线圈，则磁感应强度也要相应*n
磁感应线是闭合曲线，没有开始和重点；电场线是非闭合曲线，有开始和终点。
电流方向和磁感线方向满足右手螺旋定则
电流和磁感应强度的右手螺旋定则有两种（不同）
1. 电流微元在某点产生的磁感应强度
2. 一段电流周围产生的磁感线分布
磁场只对运动电荷（电流）有力的作用，对静止电荷没有力的作用。
在电磁场中，运动电荷可能收到电场+磁场，即F⃗=q∗E⃗+q∗v⃗×B\vec F = q*\vec E+q*\vec v \times BF=q∗E+q∗v×B

磁场的环路定理

所有环路内和环路外的电流都对环路上的磁感应强度有贡献，但用环路定理计算磁感应强度时，只考虑环路内部的电流。
使用环路定理求解磁感应强度时，确定了积分方向为正方向（一般选用逆时针方向）和相应电流方向后，无需确定磁感应强度的方向。
可以先假定B为正数，求出来以后B是正的则和先前确定的正方向相同，若为负的就是正方向的反向
与磁感应强度呈右手螺旋定则的电流强度为正，反之为负，若和磁感应强度方向垂直则电流为0
在螺线管中，若螺线管是圆形的（横截面可能是圆形或方形），只有与螺线管同心的圆上才具有匀强磁感应强度，不同半径的同心圆磁感应强度不同，同一半径的同心圆上的磁感应强度相同。

电磁学几个方向辨析

计算磁通量时，一般以与电流绕行方向呈右手螺旋方向的面方向为正方向，同样与面方向呈右手螺旋方向的环路方向为正方向。若面方向是未定的，则设面方向与穿过的磁场方向相同，则与磁场方向呈右手螺旋方向的环路方向为正方向
注意题目中计算电动势和电势差是两个不同的概念，两者大小相同，方向相反。电动势的方向是由负极指向正极，电势由低到高，电势差的方向是由正极指向负极，电势由高到低。两者的方向只表示电势的增高或降低方向，两者本质上是标量
使用法拉第电磁感应定律计算的正负方向是相对于原定正方向的电动势方向，负极指向正极，电势升高，感应电流的方向，感应电场的反方向，电势差的反方向
楞次定律得到的方向就是电流方向，也即电动势方向
注意区分电源电动势和**电源端电压（电势差）**的不同。
在一般情况下，如不考虑方向，则电势差和电动势一般取正数，
可以先计算电动势的绝对值，再通过楞次定律计算感应电流的方向，即可得到电动势的方向。
产生感应电动势的导线都视为电池
动生电动势产生时会在导线内部产生和洛伦兹力相互抵消的电场，感生电动势产生时会环绕螺线管

电磁学一种题目的处理方法

这种处理方法是真的迷，至今不知道为什么可以这么处理。

对于一些无限长直导线的题目，可以把无限长直导线当作在无限远处长直导线的两端相连，从而形成一个闭合回路，就可以通过法拉第电磁感应定律计算感应电动势。
对于有两个有限长的导线的题目，可以把两根导线视为无限长，在无穷远处两个导线的两端分别有导线连接，形成一个矩形。对于这样的题目，计算矩形内部的磁感应强度（磁通量时），只需关心实际存在的两个有限长导线，无穷远处的另外两个导线因为距离太远影响太小可以忽略不计。
这种处理办法一般只用于构造闭合回路从而能够计算磁通量。其它参数还是用原题给出的参数。比如上述第二种问题，虽然假设两个导线在无穷远处闭合，但在计算磁通量时还是按照有限面积来计算，因为两个导线长度是有限的。

自感系数和互感系数

自感系数是发生自感现象的线圈的物理参数，和是否有电流、磁场无关；互感系数是两个线圈相互的物理参数，同上。
自感系数和互感系数与电容类似，都是物理参数，与是否有电流（电荷量）无关。但可以通过假设有电流（电荷量） 时的情景推算自感互感系数和电容
推算互感系数时，只需假定某个线圈具有电流即可。因为对于线圈1，2，有M=ϕ2I1=ϕ1I2M = \frac {\phi_2}{I_1} = \frac {\phi_1}{I_2}M=I1ϕ2=I2ϕ1其中，ϕ2：在线圈2中产生的磁通量\phi_2：在线圈2中产生的磁通量ϕ2：在线圈2中产生的磁通量ϕ1：在线圈1中产生的磁通量\phi_1：在线圈1中产生的磁通量ϕ1：在线圈1中产生的磁通量I1：线圈1的电流I_1：线圈1的电流I1：线圈1的电流I2：线圈2的电流I_2：线圈2的电流I2：线圈2的电流
注意，在求自感系数和互感系数时，分母的电流是单匝电流！

杂项

对于导线等导体，一般认为是等势的（理想导体），除非有特殊说明。
注意在求解电场能量时若用做功的方式来求，积分式子中必然有电荷量q（需要电荷量和场强大小才能得到力的大小）。注意对电荷量积分时，式子的其它部分（如电荷面密度线密度等）都暗藏电荷量，要拿出来积分
磁通链 = 全磁通 = ϕ=N∫SB⃗⋅dS⃗\phi = N\int_S \vec B · d\vec Sϕ=N∫SB⋅dS其中N是磁通量穿过的线圈的匝数
注意，如果B是有n’匝线圈产生的，则B中也可能会含有n’，注意，此时n’与N是不同的概念。例如，在互感中，n’是产生磁感应强度的线圈匝数，N是磁感应线通过的某个线圈匝数

电磁学部分有关于磁通量、求磁感应强度的等等，只要有n匝，计算的都是全磁通。

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电磁学几个方向辨析

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