高等数学:第十二章 微分方程(1)微分方程的概念,可分离变量的微分方程,齐次方程
§12.1 微分方程的基本概念
凡表示未知函数、未知函数导数与自变量之间关系的方程,称之为微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫做微分方程的阶。
一般地,阶微分方程的形式是
Œ
其中是个变量的函数,在方程Œ式中,是必须出现的,而等变量可以出现,也可以不出现。
在以后的讨论中,我们主要讨论Œ式的特殊形式
设函数在区间上有阶导数,如果在区间上
那未函数就叫做微分方程Œ在区间上的解。
如果微分方程的解含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同(这里的任意常数应相互独立,即:它们不能合并而使得任意常数的个数减少),这样的解称之为微分方程的通解。
设微分方程为,其通解为,其中:为任意常数。为了确定任意常数的具体取值,通常给出条件
当 时,
或 Ž
这里都是给定的值。
设二阶微分方程为,其通解为,其中:为独立的任意常数。为了确定的值,通常给出条件
当 时, , , 即
这里 都是给定的值。
上面所给出的这种条件Ž、叫做初始条件;
确定了通解中的任意常数之后所得到的解称作微分方程的特解。
求微分方程满足初始条件的特解,又称之为一阶微分方程的初值问题,记作
一般地讲,微分方程特解的图形是一条曲线,这一曲线称之为积分曲线。
初值问题的几何意义为:求微分方程通过点的那条积分曲线。
【例1】一曲线过点,且在该曲线上任一点处的切线斜率为,求该曲线的方程。
解:设所求曲线的方程为,则它满足
把方程两端积分,得 (是任意常数 )
由初始条件,有
由此定出
故所求曲线的方程为
【例2】验证:函数
(是任意常数)
是微分方程 的通解。
解:
,
显然
故 是微分方程的解。因是相互独立的两个任意常数,而微分方程的阶数是二阶的,故它微分方程的通解。
§12.2 可分离变量的微分方程
【定义】如果一阶微分方程能化成
Œ
的形式,那么原方程称之为可分离变量的微分方程。
为讨论这类微分方程的求解,我们先看两个引例
对于一阶微分方程
只需将上式两端积分就得到了这个方程的通解
但是,并非所有的一阶微分方程都能这样求解。
例如,对于一阶微分方程
就不能直接两端取积分求出它的通解。原因是方程右端含有未知函数,积分求不出来。为了解决这个困难,在方程的两端同乘以,使方程变为
这样,变量与被分离在等式的两端,然后两端积分得
如此得到的函数是原来的微分方程的解吗?
直接验证:对方程两边关于求导,有
可见,它确实是原方程的通解。
下面讨论可分离变量微分方程
Œ
的求解。
假定函数和是连续的。
设是方程Œ的解,将它代入方程得到恒等式
将上式两端积分有
引入变量替换,得
设及依次为及的原函数,于是有
因此,方程Œ的解满足关系式。
反之,如果是式所确定的隐函数,那未在的条件下,据隐函数的直接求导法有
因此,函数满足方程Œ。
综合上述讨论有
如果可分离变量方程Œ中的和连续,且,那么Œ式两端积分后得到的关系式,它用隐式的形式给出了方程Œ的解。
由于式含有任意常数,故式叫做微分方程的隐式通解( 当时,式所确定的隐函数也可认为是方程Œ的解)。
【例1】设降落伞从跳伞塔下落后,所受空气阻力与速度成正比,并设降落伞离开跳伞塔时()速度为零,求降落伞下落速度与时间的函数关系。
解:设伞下落速度为,在下落时,同时受到重力与阻力的作用,重力大小为,方向与一致;阻力大小为(为比例系数 ),方向与相反,从而伞所受外力为
据牛顿第二运动定律 ,得到函数应满足微分方程
方程是可分离变量的,分离变量得
两端积分,有
其中
由初始条件 ,有
于是所求的函数为
【例2】有高为100厘米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面面积为1平方厘米,开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里的水面的高度(水面与孔口中心间的距离 )随时间变化的规律。
解:由水力学知道,水从孔口流出的流量( 即通过孔口横截面的水的体积对时间的变化率 )可用下列公式计算
这里,为流量系数,为孔口横截面面积,为重力加速度。
现在,孔口横截面面积为
另一方面,设在微小时间间隔内,水面高度由降至,可得到
其中是时刻时的水面半径,右端置负号是由于,而。
如图,
得到微分方程
及初始条件
方程是可分离变量的方程
将初始条件代入,定出常数。
把值代入并化简,得
【注记】
本例通过对微小量的分析,得到了微分方程。这种微小量分析法,是建立微分方程的一种常用方法。
§12.3 齐次方程
如果一阶微分方程
中的可写成的函数,即,称此方程为齐次方程。
例如 是齐次方程,因为
在齐次方程
中,引入变量替换
有 ,
将它们代入齐次方程,得
分离变量,得
两边积分,得
求出积分后,再用代替,便得所给齐次方程的隐式通解。
【例1】解方程
解: 原方程可写成
因此是齐次方程,令 ,则
于是原方程变为
分离变量, 得
两边积分,得
以代替, 得到原方程的通解
注记:
齐次方程的求解实际上是通过变量替换,将方程化为可分离变量的方程。
变量替换法在解微分方程中,有着特殊的作用。但困难之处是如何选择适宜的变量替换。一般来说,变量替换的选择并无一定之规,往往要根据所考虑的微分方程的特点而构造。对于初学者,不妨多试一试,尝试几个直接了当的变量替换。
【例2】求下列微分方程的通解
1、
2、
解1、令,则
原方程化为
即
解2、
令 ,原方程可化为
(其中 )
【例3】设河边点的正对岸为点,河宽,两岸为平行直线,水流速度为。有鸭子从点游向点,设鸭子(在静水中)的游速为,且鸭子游动方向始终朝着点,求鸭子游过的迹线。
解:设水流速度为,鸭子游速为,则鸭子实际运动速度为。
取为坐标原点,河岸朝顺水方向为轴,轴指向对岸,设在时刻鸭子位于点。
设鸭子运动速度为
,
故有
而 ,
从而
由此得到微分方程
即
令 ,则 ,,代入上面的方程有
分离变量得
积分得
,
,
以条件时代入上式,得 ,故鸭子游过的迹线为
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