一、理论基础

1、鲸鱼优化算法

请参考这里。

2、改进的鲸鱼优化算法

基本的鲸鱼优化算法仍然存在着求解精度低、收敛速度慢和易陷入局部最优的缺点。为了克服这些缺点，本文将从种群初始化、位置更新策略以及预防陷入局部最优这三个方面对WOA进行改进。

（1）准反向学习初始化种群

请参考这里。

（2）非线性收敛因子

由于收敛因子aaa进行线性变化并不能很好地调节全局搜索能力和局部开发能力，因此本文提出来一种非线性收敛因子为a=2−2sin⁡(μtmax_iterπ+φ)(1)a=2-2\sin(\mu\frac{t}{\rm{max\_iter}}\pi+\varphi)\tag{1}a=2−2sin(μmax_itertπ+φ)(1)其中，max_iter\rm{max\_iter}max_iter为最大迭代次数；ttt为当前迭代次数；μ\muμ和φ\varphiφ是其表达式相关参数，选取μ=12,φ=0\mu=\frac12,\varphi=0μ=21,φ=0。

（3）自适应权重策略与随机差分法变异策略

鲸鱼优化算法在后期局部开发时易陷入局部最优，出现早熟收敛的现象，为了使算法能够保持种群的多样性并且能够及时跳出局部最优，提出来一种自适应权重策略和随机差分变异策略。
自适应权重策略数学表达式如下：ω=1−etmax_iter−1e−1,X(t+1)=ω⋅Xp(t)−A⋅D(2)\omega=1-\frac{e^{\frac{t}{\rm{max\_iter}}}-1}{e-1},\,\,\boldsymbol X(t+1)=\omega\cdot\boldsymbol X_p(t)-\boldsymbol A\cdot \boldsymbol D\tag{2}ω=1−e−1emax_itert−1,X(t+1)=ω⋅Xp(t)−A⋅D(2)X(t+1)=ω⋅Xp(t)+D⋅ebl⋅cos⁡(2πl)(3)\boldsymbol X(t+1)=\omega\cdot\boldsymbol X_p(t)+\boldsymbol D\cdot e^{bl}\cdot\cos(2\pi l)\tag{3}X(t+1)=ω⋅Xp(t)+D⋅ebl⋅cos(2πl)(3)随机差分变异策略如下：X(t+1)=r1×(Xp(t)−X(t))+r2×(X′(t)−X(t))(4)\boldsymbol X(t+1)=r_1\times(\boldsymbol X_p(t)-\boldsymbol X(t))+r_2\times(\boldsymbol X'(t)-\boldsymbol X(t))\tag{4}X(t+1)=r1×(Xp(t)−X(t))+r2×(X′(t)−X(t))(4)其中，r1r_1r1和r2r_2r2均为[0,1][0,1][0,1]的随机数；X′(t)\boldsymbol X'(t)X′(t)为种群中随机选取的个体。
每个个体都要经过包围捕食、螺旋更新、搜索猎物阶段，当个体进行包围捕食或螺旋更新时采用自适应权重策略去更新位置，之后个体需要通过随机差分变异策略对其再次更新，取其变化前后的最优位置，加快了种群的收敛，有效地防止了种群陷入局部最优。种群通过这两种策略协同工作，使得算法具有更好的寻优效果。

二、仿真实验及分析

将IWOA与WOA、PSO和GSA算法进行对比，实验设置迭代次数均为500次，所有算法种群规模均为30，以文献[1]中表1列出的9个测试函数为例，每个算法独立运行30次，结果显示如下：

函数：F1
WOA：最差值: 6.0434e-74, 最优值: 1.244e-83, 平均值: 4.8524e-75, 标准差: 1.5191e-74, 秩和检验: 1.2118e-12
PSO：最差值: 1844.6136, 最优值: 319.9645, 平均值: 897.9079, 标准差: 362.3394, 秩和检验: 1.2118e-12
GSA：最差值: 0.0048082, 最优值: 1.0156e-16, 平均值: 0.00016027, 标准差: 0.00087785, 秩和检验: 1.2118e-12
IWOA：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
函数：F2
WOA：最差值: 6.5023e-49, 最优值: 4.0384e-59, 平均值: 3.1087e-50, 标准差: 1.2591e-49, 秩和检验: 3.0199e-11
PSO：最差值: 49.9354, 最优值: 17.0827, 平均值: 25.3533, 标准差: 6.1061, 秩和检验: 3.0199e-11
GSA：最差值: 6.4411, 最优值: 6.1151e-08, 平均值: 0.7822, 标准差: 1.3817, 秩和检验: 3.0199e-11
IWOA：最差值: 5.0507e-300, 最优值: 5.6662e-313, 平均值: 1.7001e-301, 标准差: 0, 秩和检验: 1
函数：F3
WOA：最差值: 86803.9677, 最优值: 10152.6554, 平均值: 41769.2155, 标准差: 15822.3354, 秩和检验: 1.2118e-12
PSO：最差值: 12063.1708, 最优值: 2237.6953, 平均值: 6498.1617, 标准差: 2843.8074, 秩和检验: 1.2118e-12
GSA：最差值: 1797.8533, 最优值: 258.558, 平均值: 947.1683, 标准差: 360.8248, 秩和检验: 1.2118e-12
IWOA：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
函数：F4
WOA：最差值: 89.3781, 最优值: 0.10516, 平均值: 56.2233, 标准差: 27.7756, 秩和检验: 3.0199e-11
PSO：最差值: 14.9822, 最优值: 6.586, 平均值: 10.8541, 标准差: 1.9351, 秩和检验: 3.0199e-11
GSA：最差值: 12.3007, 最优值: 4.3621, 平均值: 7.4295, 标准差: 2.0443, 秩和检验: 3.0199e-11
IWOA：最差值: 2.8436e-299, 最优值: 9.7449e-310, 平均值: 1.2816e-300, 标准差: 0, 秩和检验: 1
函数：F5
WOA：最差值: 0.017149, 最优值: 2.1308e-05, 平均值: 0.0034382, 标准差: 0.0041751, 秩和检验: 3.4742e-10
PSO：最差值: 3.997, 最优值: 0.55255, 平均值: 1.6619, 标准差: 0.88162, 秩和检验: 3.0199e-11
GSA：最差值: 3.3787, 最优值: 0.044496, 平均值: 0.28219, 标准差: 0.59797, 秩和检验: 3.0199e-11
IWOA：最差值: 0.00019378, 最优值: 2.8772e-06, 平均值: 4.8017e-05, 标准差: 4.4012e-05, 秩和检验: 1
函数：F6
WOA：最差值: -7519.4512, 最优值: -12568.8221, 平均值: -10424.1727, 标准差: 1867.7742, 秩和检验: 7.0881e-08
PSO：最差值: -2168.2069, 最优值: -3829.459, 平均值: -2904.2623, 标准差: 396.5414, 秩和检验: 3.0199e-11
GSA：最差值: -2184.4459, 最优值: -4408.3773, 平均值: -2727.2632, 标准差: 494.7846, 秩和检验: 3.0199e-11
IWOA：最差值: -11287.5412, 最优值: -12569.486, 平均值: -12465.7503, 标准差: 279.0951, 秩和检验: 1
函数：F7
WOA：最差值: 5.6843e-14, 最优值: 0, 平均值: 1.8948e-15, 标准差: 1.0378e-14, 秩和检验: 0.33371
PSO：最差值: 180.5696, 最优值: 113.3323, 平均值: 144.9122, 标准差: 18.0355, 秩和检验: 1.2118e-12
GSA：最差值: 55.7174, 最优值: 21.8891, 平均值: 33.2979, 标准差: 8.4858, 秩和检验: 1.2098e-12
IWOA：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
函数：F8
WOA：最差值: 7.9936e-15, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 3.7303e-15, 标准差: 2.7041e-15, 秩和检验: 7.4605e-07
PSO：最差值: 10.2481, 最优值: 6.2133, 平均值: 8.0176, 标准差: 1.0408, 秩和检验: 1.2118e-12
GSA：最差值: 0.9313, 最优值: 8.0807e-09, 平均值: 0.031043, 标准差: 0.17003, 秩和检验: 1.2118e-12
IWOA：最差值: 8.8818e-16, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 8.8818e-16, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
函数：F9
WOA：最差值: 0.15452, 最优值: 0, 平均值: 0.0051507, 标准差: 0.028212, 秩和检验: 0.33371
PSO：最差值: 24.8604, 最优值: 7.3018, 平均值: 13.0565, 标准差: 4.9294, 秩和检验: 1.2118e-12
GSA：最差值: 38.4571, 最优值: 16.8362, 平均值: 26.7235, 标准差: 6.1123, 秩和检验: 1.2118e-12
IWOA：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN

实验结果表明：相比其他优化算法和基本鲸鱼优化算法，改进的鲸鱼优化算法其收敛精度最高，算法稳定性最好。

三、参考文献

[1] 武泽权, 牟永敏. 一种改进的鲸鱼优化算法[J]. 计算机应用研究, 2020, 37(12): 3618-3621.

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