【数据结构笔记27】树习题：完全二叉搜索树（Complete Binary Search Tree）

2024-05-16 16:38:10

本次笔记内容：
树习题-CBST. 1 数据结构的选择
树习题-CBST. 2 核心算法
树习题-CBST. 3 计算左子树的规模

文章目录

题意理解
分析：用链表还是数组表示树
核心算法
- 核心递归算法
- 排序算法
- 计算左子树的规模

题意理解

如上图右侧，输入一组数，存储到一棵完全二叉树中，并满足二叉搜素树的性质。最后输出完全二叉树层序遍历的结果。

分析：用链表还是数组表示树

本题目中需要的操作：

填写数字（某种遍历）；
层序遍历。

分析：

完全二叉树，不浪费空间；
层序遍历 == 直接顺序输出；
因此选择数组。

核心算法

给定了一个n以后，完全二叉树的结构是固定的。

因此，左右子树的结点数便很好确定下来。

如上图右边。先对数字从小到大排序，根据完全二叉树结果，找到根结点位置。找到根结点后，进入了一个递归的解决方案。

核心递归算法

void solve(int ALeft, int ARight, int TRoot)
{// 初始调用为solve(0, N-1, 0)n = ARight - ALeft + 1; // 传入数组段长度if (n == 0)return;L = GetLeftLength(n); // 计算n个结点的树其左子树有多少个结点T[TRoot] = A[ALeft + L];LeftTRoot = TRoot * 2 + 1;RightTRoot = LeftTRoot + 1;solve(ALeft, ALeft + L - 1, LeftTRoot);solve(ALeft + L + 1, ARight, RightTRoot);
}

其思想如上图。T是完全二叉树，第一个结点索引为0。

核心算法前需要实现排序算法，核心算法中需要计算左子树规模，分别在下面介绍。

排序算法

排序算法后面的课程会涉及，这里可以用c的库函数qsort()。

#include<stdlib.h>
int main()
{qsort(A, N, sizeof(int), compare);// A：待排序序列首元素的位置（数组名称）// N：长度// 有时传入结构体，因此要用到sizeof(int)// compare是一个比较两个元素大小的函数
}

本题中，compare如下：

int compare(const void*a, const void*b)
{return *(int*)a - *(int*)b
}

计算左子树的规模

如上图，先计算完美二叉树被填满的层数，H可以简化为H=⌊log⁡2(N+1)⌋H=\lfloor \log_2(N+1) \rfloorH=⌊log2(N+1)⌋

左子树的个数为H-1层的完美二叉树加X，即

L=2H−1−1+XL=2^{H-1}-1+XL=2H−1−1+X

但是应注意，X有可能是包含了右子树结点的，因此要设置X最大值和最小值，为

Xmin=0X_{min} = 0Xmin=0

Xmax=2H−1X_{max}=2^{H-1}Xmax=2H−1

因此，X的取值为

X=min⁡{X,2H−1}X=\min{\{ X,2^{H-1} \}}X=min{X,2H−1}

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