二分图的匹配(未完)
二分图是一种特殊类型的图,图中的顶点集被划分成X与Y两个子集,图中每条边的两个端点,一定是一个属于X另一个属于Y。二分图的匹配是求边的一个子集,该子集中的任意两条边都没有公共的端点。含边数最多的匹配即为二分图的最大匹配;如果给二分图的边加权,则边权和最大的匹配即为最佳匹配。
如果可以以某种方式将研究的对象分成两个互补的集合,而需要求得他们之间满足某种条件的“一一对应”关系时,往往可以抽象出对象以及对象之间的关系,构造二分图,然后利用匹配算法来解决。构造二分图模型,设计匹配算法,并对其算法进行适当的优化。
另外二分图的覆盖数=匹配数,所以求最小覆盖,可以转化为求最大匹配。其证明比较繁琐,组合数学的书上有。
1. 采用网络流的方法计算二分图的最大匹配
将二分图该做成一个网络:增加一个源点s、一个汇点t,由s到X集合中每点增加一条边,由Y中每点到t增加一条边。
复杂度分析:找到一条增广路径的时间约为O(n*e),最多n次寻找,时间复杂度为O(e*n^2)
2.计算二分图最大匹配的匈牙利算法
匈牙利算法是通过构造一颗交错树来计算二分图的最大匹配的。不断的加入增广路径。
代码:
int N, M; //X和Y顶点数分别为N、M
bool mt[MAXV][MAXV];//二分图, 邻接矩阵
bool used[MAXV]; //Y集合中的点是否使用
int link[MAXV]; //匹配边集,其中顶点y所匹配的边为(link[y], y)
bool check(int x){//判断是否存在由x出发的增广路径
for(int y=1; y<=M; ++y){
if(!used[y] && mt[x][y]){
used[y] = true;
if(link[y] == -1 || check(link[y])){
link[y] = x;
return true;
}
}
}
return false;
}
int max_match(){
int x, y, max;;
for(y=1; y<=M; ++y)
link[y] = -1;
max = 0;
for(x=1; x<=N; ++x){
for(y = 1; y<=M; ++y)
used[y] = false;
if(check(x))
++max;
}
return max;
}
3.计算二分图最佳匹配的KM算法
(还没看懂,看懂了,再往上写)
转载于:https://www.cnblogs.com/liyongmou/archive/2010/07/27/1786334.html
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