数据结构与算法学习笔记15：最大流问题 / 二分图 / 有权无权二分图的匹配 / 匈牙利算法 / 银行家算法 / 稳定婚配

引入小题：最短路径
最大流问题（maximum flow problem）
- 简单算法（可能会失败）
- 福特-富尔克森算法（Ford-Fulkerson）
- - 时间复杂度
- Edmonds–Karp算法
- - 时间复杂度
- Dinic Algorithm/又称Dinitz算法
- - 层次图概念
  - 过程分析
  - 时间复杂度
二分图 / 二部图（Bipartite Graph）
- 二分图的判定
- 匹配概念
- 无权二部图中的最大匹配问题
- 有权二部图中的最大匹配问题
- - 核心方法
  - 匈牙利算法（找最小匹配）
稳定婚配
- Gale-Shapley 算法
银行家算法
Bitmap算法

引入小题：最短路径

无权图中，如何找到图中点与点之间的最短路径？

BFS 广度优先遍历

最大流问题（maximum flow problem）

（前提：有边有权重）

最大流问题是一种组合最优化问题，指的是如何充分利用装置的能力，使得运输的流量最大以取得最好的效果。

简单算法（可能会失败）

1、构建残量图

2、找一条简单路径，找到路径上的瓶颈值（当前路径所允许流过的最大流量），更新残量图路径权值，并将瓶颈值所在边擦除，重复该操作，直到无简单路径。

但实际上，该算法并不一定能够求出最大流，上述图解我们可以看出最大流是2+3=5，但从其他简单路径s→v1→v4→t入手，求解得到的最大流为1+3=4，s→v1→v4→t（不能有更多的水从s流向t，称为阻塞流）。

最大流是阻塞流，但阻塞流不一定是最大流，上述的4就是该题的一种阻塞流。

福特-富尔克森算法（Ford-Fulkerson）

1、构建残量图

2、找一条简单路径，找到路径上的瓶颈值（当前路径所允许流过的最大流量），更新残量图路径权值，并将瓶颈值所在边擦除。

3、添加反向路径

时间复杂度

上例左图为原图，根据原图可容易看出最大流为走s→V1→t和s→V2→t的100+100=200，但在福特-富尔克森算法中，简单路径选择是随意的，如果选择了s→V1→V2→t，则会出现右边的残量图分析过程，后续步骤雷同，共需要200轮才能完成得到最终流量图。若fff表示轮，mmm表示边，则其最坏时间复杂度O(f∗m)O(f * m)O(f∗m)，依赖于流量的时间复杂度，在流量大的时候很致命，这就是福特-富尔克森算法的弊端。

Edmonds–Karp算法

该算法与福特-富尔克森算法（Ford-Fulkerson）相同，只是定义了找到增广路径时的搜索顺序。找到的路径必须是具有可用容量的最短路径（这可以通过BFS广度优先搜索找到）。

时间复杂度

轮数为m*n，其中m为边数，n为顶点个数，其算法时间复杂度为O(m2∗n)O(m^2 * n)O(m2∗n)，相较于前面福特-富尔克森算法最坏时间复杂度O(f∗m)O(f * m)O(f∗m)已有很大提升，但实际上，m边数比n顶点个数肯定要大，因此Dinic算法比Edmonds–Karp算法又好一些。

Dinic Algorithm/又称Dinitz算法

层次图概念

层次图，只有上一层到下一层的边，没有同层的边（同层会增加路径的长度），实际上是帮助求最短路径。

过程分析

1、残量图初始化

2、根据残量图绘制层次图，并根据简单算法寻找阻塞流

3、将阻塞流汇入残量图

4、根据新的残量图更新新的层次图，重复2-4步骤。

时间复杂度

共需要n-1轮，每轮消耗为m * n，即(n-1)(m * n)

因此其时间复杂度为O(m∗n2)O(m * n^2)O(m∗n2)，远小于上个Edmonds–Karp算法的O(m2∗n)O(m^2 * n)O(m2∗n)

二分图 / 二部图（Bipartite Graph）

顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个互不相交的子集，两个子集内的顶点不相邻。即G=(u,v,e)G=(u,v,e)G=(u,v,e)，其中u和v内部不可以有边。

二分图的判定

图上随便找一个点开始遍历，相邻的点为两个部分，全部遍历完看看是否有冲突。

步骤：1、任选一个点，颜色标记，入队；2、队首元素拿出，找到相关顶点，如未处理过则标记其他颜色，入队，如处理过则看颜色是否冲突，冲突则over。
如果是非连通图，那就结束后再选一个点进行标记，重复上述步骤，直到再也找不到未被标记的点为止。
实际就是BFS的操作~

匹配概念

匹配指的就是边的集合，但注意其限制，集合内的边顶点是不可以相同的。

如下图中男1女1，男2女3，男3女1（此时女1就相同重复），因此这一组就不是匹配。

最大匹配的概念就是所有匹配中边的数量最大。

无权二部图中的最大匹配问题

MCBM： 无权二部图中的最大匹配问题 Maximum-Cardinality Bipartite Matching (MCBM)

实际上该类题用最大流就可解决，前后分别加S和T，所有权值均赋值为1，使用前文算法最终即可得到匹配方案。但注意，最大流的方法只适用于无权图的最大匹配求解，有权图是不可用这个来求最大匹配的。

有权二部图中的最大匹配问题

核心方法

1、将权重符号取反

2、找最小匹配（实际上就是所求的最大匹配）

匈牙利算法（找最小匹配）

要求uv中顶点个数相同，如果不相同可以补全（把边的权值设置为无穷大），时间复杂度为O(n3)O(n^3)O(n3)

步骤分析：

1、根据关系图绘制邻接矩阵；

2、找到每行内的min，然后该行所有元素减去min值；

3、找到每列内的min，然后该列所有元素减去min值；

4、画线；

以最少线覆盖0；（只能画横线or竖线，不能斜！）
判断操作是否结束（若线的条数 = 顶点个数则结束，否则继续）；
没结束则找到未被线覆盖区域的min，然后未覆盖区域的所有元素减去min值；
线覆盖的交叉点位置加上min值，重复第4步操作……直到线的条数 = 顶点个数结束。

5、最小匹配；

将所有0对应的边重新构建关系图画出
找到一行中只有一个0的点，以其为基础，将冲突的点进行删除，直到匹配关系成立（无重复顶点）。

6、权值累加计算。

稳定婚配

没有人可以找到比当前更好的配偶

Gale-Shapley 算法

时间复杂度为O(n2)O(n^2)O(n2)

流程分析：

所有人向第一顺位喜欢的人求婚
- 此时被求婚的人如果未婚，且仅有一人向其求婚，则牵手成功
- 此时被求婚的人如果未婚，且有多人向其求婚，则根据自己的排名进行顺位，选追求者中最喜欢的结婚
- 此时被求婚的人如果已婚，看追求者和现配偶间更喜欢谁，相应完成拒绝追求者或与配偶离婚的操作

银行家算法

一种最有代表性的避免死锁的算法

应用前提条件

1、固定数量的进程共享固定数量的资源；

2、每个进程要预先指定完成工作所需的最大资源数量；

3、每个进程不能申请比系统可用资源总数还多的资源；

4、每个进程等待资源的时间是有限的；

5、如果系统满足了进程对资源的最大需求，那么进程应该在有限时间内使用资源然后归还给系统。

算法分析

1、需要存储可分配的资源数量AAA

2、需要知道当前进程已得到的资源BBB

3、需要知道当前进程所需的最大资源数量CCC

4、需要知道进程还需要的资源DDD

5、需要知道每一次的需求EEE

当某一个进程提出资源申请时（E）：

1、E≤DE≤DE≤D，否则直接报错

2、E≤AE≤AE≤A，否则需要等待

3、满足2的条件（系统给了），更新系统各个部分的资源：A=A−E；B=B+E；D=D−EA=A-E；B=B+E；D=D-EA=A−E；B=B+E；D=D−E

检测系统安全性：① 看标记（是否被检查过）；② 如果没被检查，则检查，看是否满足D＜FD＜FD＜F，满足的话则进行分配，更新FFF，然后进行标记（已检查），如果不满足，那么需要把状态恢复（把前面步骤中：A=A−EA=A-EA=A−E；B=B+EB=B+EB=B+E；D=D−ED=D-ED=D−E全部恢复成更新前的样子，然后进行下一次重新分配）。（FFF为目前可用资源数量，其实和上述的AAA差不多，但AAA和FFF也有一些区别，FFF是检查的时候用的，各个进程都需要进行安全性检查，给一号进程检查完检查二号的时候，FFF就不是一号的FFF了，是被更新过减去一号分配后的…以此类推。）

Bitmap算法

Bitmap算法是用bit数组来记录0-1两种状态，然后再将具体数据映射到这个比特数组的具体位置，这个比特位设置成0表示数据不存在，设置成1表示数据存在。Bitmap算法和布隆过滤器主要解决大数据去重的问题。用于对大量整型数据做去重和查询。

学习链接：数据结构与算法必知— Bitmap位图与布隆过滤器 - 简书 (jianshu.com)