【每日算法Day 109】五大解法,带你深入了解完全背包方案数
今天这题是完全背包问题 + 背包问题方案数,我一共列举了 5 种解法,层层递进优化。并且从两个角度殊途同归,最终优化到同一个式子。强烈建议掌握,对理解背包问题有很大帮助。
题目链接
LeetCode 面试题 08.11. 硬币[1]
题目描述
给定数量不限的硬币,币值为 25
分、10
分、5
分和 1
分,编写代码计算 n
分有几种表示法。(结果可能会很大,你需要将结果模上 1000000007
)
说明:
0 <= n (总金额) <= 1000000
示例1
输入:
n = 5
输出:
2
解释:
有两种方式可以凑成总金额:
5=5
5=1+1+1+1+1
示例2
输入:
n = 10
输出:
4
解释:
有四种方式可以凑成总金额:
10=10
10=5+5
10=5+1+1+1+1+1
10=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
题解
首先我们规定一些记号,用 来表示第 种硬币的面值,用 表示用前 种硬币组成面值 的方案数。令 表示需要表示的面值, 表示硬币数。
朴素想法(错误)
首先我们可以想到,最朴素的方法不就是组成面值 的方案数等于所有组成面值 的方案数之和:
但是这样有个很严重的问题,就是会产生重复计算,也就是将 6 = 1 + 5
和 6 = 5 + 1
视为两种情况。
动态规划 1
朴素想法的纠正方法就是,规定拆解后的数字是有序的,这样就不会出现重复计算了。
那么具体怎么实现呢?其实只需要加上一个约束,也就是强制令 为组成面值 的最大面值硬币。那么用掉它之后,组成面值 的最大面值硬币仍然只能是 ,这样转移下去就一定是有序的,不会出现面值突然增大的情况。转移方程只需要修改一下转移后的可用硬币 :
时间复杂度 ,空间复杂度 。
动态规划 2(超时)
另一条思考路线是,我们假设第 个硬币用 枚,然后枚举所有的 就行了。转移方程很好写:
但是这样时间复杂度太高了,直接超时。
时间复杂度 ,空间复杂度 。
转移方程优化
神奇的地方来了,上面两种方法,全部可以优化为同一个式子,仔细看好了。
动态规划 1:
首先看第一个方法,转移方程为:
我们令 ,又可以得到:
两式左右两边相减可以得到:
动态规划 2:
再看第二个方法,转移方程为:
令 ,又可以得到:
两式左右两边相减可以得到:
最终形式:
所以,最终**两个方法消去求和之后,形式是一样的!**都是:
时间复杂度 ,空间复杂度 。
空间优化
注意到,上面转移方程每个时刻 其实只和 还有 时刻有关,所以可以把第一个维度消除掉。这样转移方程就变为了:
但是需要特别注意的是,这里一共有三项,分别表示的是第 时刻、第 时刻、第 时刻。所以在两层循环遍历的时候,第一层循环必须是遍历硬币 ,第二层才是遍历组成的面值 ,这样才不会导致第 时刻的值被覆盖掉无法访问。
时间复杂度 ,空间复杂度 。
数学法
这个方法就只针对本题硬币种类比较少的情况了。
假设组成面值 需要 枚 25
分, 枚 10
分, 枚 5
分, 枚 1
分,那么有:
这里 我们是需要枚举的,范围是 ,所以我们令 ,那么就得到了:
那么 的范围是 。而 确定了之后, 的范围就是 。而 都确定了之后, 是唯一确定了的。所以最终的方案数就是:
所以最终我们遍历 ,然后令 。接着令 ,,最后对 进行累加就行了:
时间复杂度 ,空间复杂度 。
代码
动态规划 1(c++)
class Solution {public:typedef long long ll;static const ll mod = 1e9 + 7;static const int N = 1000010;static const int M = 4;ll dp[M][N];int p[M] = {1, 5, 10, 25};int waysToChange(int n) {memset(dp, 0, sizeof dp);for (int i = 0; i < M; ++i) dp[i][0] = 1;for (int i = 0; i < M; ++i) {for (int j = 1; j <= n; ++j) {for (int k = 0; k <= i; ++k) {if (j >= p[k]) {(dp[i][j] += dp[k][j-p[k]]) %= mod;}}}}return dp[M-1][n];}
};
动态规划 2(超时)(c++)
class Solution {public:typedef long long ll;static const ll mod = 1e9 + 7;static const int N = 1000010;static const int M = 4;ll dp[M][N];int p[M] = {1, 5, 10, 25};int waysToChange(int n) {memset(dp, 0, sizeof dp);for (int i = 0; i < M; ++i) dp[i][0] = 1;for (int i = 0; i <= n/p[0]; ++i) dp[0][i*p[0]] = 1;for (int i = 1; i < M; ++i) {for (int j = 1; j <= n; ++j) {for (int k = 0; k <= j/p[i]; ++k) {(dp[i][j] += dp[i-1][j-k*p[i]]) %= mod;}}}return dp[M-1][n];}
};
转移方程优化(c++)
class Solution {public:typedef long long ll;static const ll mod = 1e9 + 7;static const int N = 1000010;static const int M = 4;ll dp[M][N];int p[M] = {1, 5, 10, 25};int waysToChange(int n) {memset(dp, 0, sizeof dp);for (int i = 0; i < M; ++i) dp[i][0] = 1;for (int i = 0; i <= n/p[0]; ++i) dp[0][i*p[0]] = 1;for (int i = 1; i < M; ++i) {for (int j = 1; j <= n; ++j) {dp[i][j] = dp[i-1][j];if (j >= p[i]) (dp[i][j] += dp[i][j-p[i]]) %= mod;}}return dp[M-1][n];}
};
空间优化(c++)
class Solution {public:typedef long long ll;static const ll mod = 1e9 + 7;static const int N = 1000010;static const int M = 4;ll dp[N];int p[M] = {1, 5, 10, 25};int waysToChange(int n) {memset(dp, 0, sizeof dp);dp[0] = 1;for (int j = 0; j < M; ++j) {for (int i = 1; i <= n; ++i) {if (i >= p[j]) {(dp[i] += dp[i-p[j]]) %= mod;}}}return dp[n];}
};
数学法(c++)
class Solution {public:typedef long long ll;static const ll mod = 1e9 + 7;int waysToChange(int n) {ll res = 0;for (int i = 0; i <= n/25; ++i) {ll r = n - 25 * i;ll x = r / 10, y = r / 5;(res += (x + 1) * (y - x + 1)) %= mod;}return res;}
};
参考资料
[1]
LeetCode 面试题 08.11. 硬币: https://leetcode-cn.com/problems/coin-lcci/
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