轮廓矩

原理部分：

矩

一、概率论上的定义

看到矩这个字，很容易联想到概率论，在概率论中，定义如下：

或者说：

设 X 和 Y 是随机变量，c 为常数，k 为正整数，
如果E(|X−c|^k)E(|X−c|^k)存在，则称E(|X−c|^k)E(|X−c|^k)为 X 关于点 c 的 k 阶矩。

c = 0 时，称为 k 阶原点矩；
c = E(x) 时，称为 k 阶中心矩。

如果E(|X−c1|^p⋅|Y−c2|^q)存在，则称其为 X,Y 关于 c 点 p+q 阶矩。

其余基本概率论知识可参考：https://www.cnblogs.com/wyuzl/p/7845948.html

二、在图像学上的定义

一幅M×N的数字图像f(i,j)，其p+q阶几何矩 $m_{pq}$ 和中心矩 $\mu _{pq}$ 为：

$m_{pq}= \sum_{i=1}^{M}\sum_{j=1}^{N}i^{p}j^{q}f(i,j)$

$\mu _{pq}= \sum_{i=1}^{M}\sum_{j=1}^{N}(i-\bar{i})^{p}(j-\bar{j})^{q}f(i,j)$

其中:

f(i,j)为图像在坐标点(i,j)处的灰度值。
重心： $\bar{i}=\frac{m_{10}}{m_{00}},\bar{j}=\frac{m_{01}}{m_{00}}$ ，也是图像的一阶矩

三、几何矩 $m_{pq}$ 的基本意义

（1）零阶矩

$m_{00}= \sum_{i=1}^{M}\sum_{j=1}^{N}f(i,j)$

可以发现，当图像为二值图时， $m_{00}$ 就是这个图像上白色区域的总和，因此， $m_{00}$ 可以用来求二值图像（轮廓，连通域）的面积。

（2）一阶矩

$m_{10}= \sum_{i=1}^{M}\sum_{j=1}^{N}i\cdot f(i,j)$

$m_{01}= \sum_{i=1}^{M}\sum_{j=1}^{N}j\cdot f(i,j)$

当图像为二值图时, $m_{10}$ 就是白色像素关于x坐标的累加和，而 $m_{01}$ 则是y坐标的累加和

由此，可获得图像的重心： $\bar{i}=\frac{m_{10}}{m_{00}},\bar{j}=\frac{m_{01}}{m_{00}}$ ，也就是前文提到的。

（3）二阶矩

$m_{20}= \sum_{i=1}^{M}\sum_{j=1}^{N}i^{2}\cdot f(i,j)$

$m_{02}= \sum_{i=1}^{M}\sum_{j=1}^{N}j^{2}\cdot f(i,j)$

$m_{11}= \sum_{i=1}^{M}\sum_{j=1}^{N}i\cdot j \cdot f(i,j)$

二阶矩可以用来求物体形状的方向。

后续会有介绍，具体可参考：https://blog.csdn.net/qq826309057/article/details/70039397

四、由几何矩可表示出中心距如下：

摘自：https://blog.csdn.net/keith_bb/article/details/70197104

为了消除图像比例变化带来的影响，定义规格化中心矩如下：

利用二阶和三阶规格中心矩可以导出下面7个不变矩组(Φ1 Φ7),它们在图像平移、旋转和比例变化时保持不变

Opencv应用部分

核心函数：

（1）求矩

Moments moments(inputArray array, bool binaryImage=false)

输入参数，可以是光栅图像（单通道，8位或浮点的二维数组）或二维数组(1N或N1)
默认值false，若此参数取true，则所有非零像素为1.此参数仅对图像使用

（2）计算轮廓面积

double contourArea(inputArray contour, bool oriented=false)

输入的向量，二维点（轮廓顶点）
面向区域标识符，若为true，该函数返回一个带符号的面积值，其正负取决于轮廓的方向（顺时针还是逆时针）。根据这个特性我们可以根据面积的符号来确定轮廓的位置。需要注意的是，这个参数有默认值false，表示以绝对值返回，不带符号。

（3）计算轮廓长度

double arcLength(inputArray curve,bool closed)

输入的二维点集
一个用于指示曲线是否封闭的标识符，默认值closed，表示曲线封闭

一、求图像的重心和方向

前面提到二阶矩可以用来求物体形状的方向。

其中：

$a=\frac{m_{20}}{m_{00}}-\bar{i}^{2}$ ,

$b=\frac{m_{10}}{m_{00}}-\bar{i}\cdot \bar{j}$ ，

$c=\frac{m_{02}}{m_{00}}- \bar{j}^2$
fastAtan2()为opencv的函数，输入向量，返回一个0-360的角度。

个人认为：关于fastAtan2()的推算如下：

$fastAtan2(y,x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}arctan(\frac{y}{x}) &&if((y>0)and(x>0)) \\90+\frac{1}{2}arctan(\frac{y}{x}) &&if(x<0) \\180++\frac{1}{2}arctan(\frac{y}{x}) &&if((y<0)and(x>0)) \end{matrix}\right.$

当然这只是个人推导，有兴趣的同学可以验证一下。

另外，fastAtan2()返回的角度指自然坐标系下x轴正半轴按顺时针到图像轴的角，如下图的α角：

【注意：实际处理时，需把目标部分变成白色，背景为黑色。这里只是为了方便看才把目标变成黑色而已】

测试代码：

#include<opencv2/imgproc/imgproc.hpp>
#include<opencv2/highgui/highgui.hpp>
#include<opencv2/features2d/features2d.hpp>
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
using namespace cv;
void main()
{
Mat srcImg;
srcImg = imread("F:\\opencv_re_learn\\flash.jpg");
if (!srcImg.data){
cout<< "failed to read" << endl;
system("pause");
return;
}
Mat srcGray;
cvtColor(srcImg, srcGray, CV_BGR2GRAY);
Mat thresh;
threshold(srcGray, thresh, 100, 255, CV_THRESH_BINARY_INV |
CV_THRESH_OTSU);//二值化时主要要让目标部分是白色像素
Moments m = moments(thresh, true);//moments()函数计算出三阶及一下的矩
Point2d center(m.m10 / m.m00, m.m01 / m.m00);//此为重心
//计算方向
double a = m.m20 / m.m00 - center.x*center.x;
double b = m.m11 / m.m00 - center.x*center.y;
double c = m.m02 / m.m00 - center.y*center.y;
double theta = fastAtan2(2 * b, (a - c)) / 2;//此为形状的方向
cout << 2 * b << endl;
cout << a - c << endl;
cout <<"角度是："<< theta << endl;
//绘制重心
circle(srcImg, center, 2, Scalar(0, 0, 255),2);
imshow("src", srcImg);
imshow("Gray", srcGray);
imshow("Thresh", thresh);
waitKey(0);
}

二、轮廓匹配

轮廓匹配并没有直接用到Moments ，但是是基于轮廓矩的7个不变形矩进行比较的。

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