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一、七大性质

f(x)f(x)f(x) 为奇函数 ⇒f′(x)\Rightarrow f'(x)⇒f′(x) 为偶函数；
f(x)f(x)f(x) 为偶函数 ⇒f′(x)\Rightarrow f'(x)⇒f′(x) 为奇函数；
f(x)f(x)f(x) 是以 TTT 为周期的周期函数 ⇒f′(x)\Rightarrow f'(x)⇒f′(x) 是以 TTT 为周期的周期函数；
f(x)f(x)f(x) 为奇函数 ⇒{∫0xf(t)dt为偶函数,∫axf(t)dt为偶函数(a≠0).\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\int_{0}^{x}f(t)dt 为偶函数, \\ \int_{a}^{x}f(t)dt 为偶函数(a\ne0).\end{matrix}\right.⇒{∫0xf(t)dt为偶函数,∫axf(t)dt为偶函数(a=0).
f(x)f(x)f(x) 为偶函数 ⇒{∫0xf(t)dt为奇函数,∫axf(t)dt不确定(a≠0).\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\int_{0}^{x}f(t)dt 为奇函数, \\ \int_{a}^{x}f(t)dt 不确定(a\ne0).\end{matrix}\right.⇒{∫0xf(t)dt为奇函数,∫axf(t)dt不确定(a=0).
{f(x)是以T为周期的周期函数,∫0Tf(x)dx=0⇒{∫0xf(t)dt是以T为周期的周期函数,∫axf(t)dt是以T为周期的周期函数(a≠0).\left\{\begin{matrix} f(x)是以T为周期的周期函数, \\ \int_{0}^{T}f(x)dx=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\int_{0}^{x}f(t)dt是以T为周期的周期函数, \\ \int_{a}^{x}f(t)dt是以T为周期的周期函数(a\ne0).\end{matrix}\right.{f(x)是以T为周期的周期函数,∫0Tf(x)dx=0⇒{∫0xf(t)dt是以T为周期的周期函数,∫axf(t)dt是以T为周期的周期函数(a=0).
f(x)f(x)f(x) 是以T为周期的周期函数 ⇒∫0Tf(x)dx=∫aa+Tf(x)dx\Rightarrow\int_{0}^{T}f(x)dx=\int_{a}^{a+T}f(x)dx⇒∫0Tf(x)dx=∫aa+Tf(x)dx ，∀\forall∀ 常数 aaa 。

二、积分比大小

1. 用几何意义

①：∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)∫abf(x)dx=F(b)−F(a)
②：∫x0xf′(t)dt=f(x)−f(x0)\int_{x_0}^{x}f'(t)dt=f(x)-f(x_0)∫x0xf′(t)dt=f(x)−f(x0)
③：∫−aaf(x)dx={2∫0af(x)dx,f(x)=f(−x),0,f(x)=−f(−x).\int_{-a}^{a}f(x)dx=\left\{\begin{matrix}2\int_{0}^{a}f(x)dx, f(x)=f(-x), \\ 0, f(x)=-f(-x).\end{matrix}\right.∫−aaf(x)dx={2∫0af(x)dx,f(x)=f(−x),0,f(x)=−f(−x).

2. 用保号性

①：看出正负，如 ∣x∣≥0|x|\ge0∣x∣≥0 ；当 x∈[π,2π]x\in[\pi,2\pi]x∈[π,2π] 时，sin⁡x≤0\sin x\le0sinx≤0 等；
②：作差，I1−I2I_1-I_2I1−I2 ，再换元，常用 x=π±tx=\pi\pm tx=π±t ，x=π2±tx=\frac{\pi}{2}\pm tx=2π±t 。

三、定积分定义

1. 基本形

将 n+i(an+bi,ab≠0)n+i(an+bi,ab\ne0)n+i(an+bi,ab=0) ，n2+i2n^2+i^2n2+i2 ，n2+nin^2+nin2+ni 等式子凑为 in\frac{i}{n}ni 即可。

2. 放缩形

通常使用夹逼准则处理，或者放缩后再凑为基本形。

3. 变量形

在通项中含 xni\frac{x}{n}inxi ，考虑使用以下式子：lim⁡n→∞∑i=1nf(0+x−0ni)x−0n=∫0xf(t)dt.\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f\left(0+\frac{x-0}{n}i\right)\frac{x-0}{n}=\int_{0}^{x}f(t)dt. n→∞limi=1∑nf(0+nx−0i)nx−0=∫0xf(t)dt.

四、反常积分判敛

1. 概念

①：∫a+∞f(x)dx\int_{a}^{+\infty}f(x)dx∫a+∞f(x)dx 叫无穷区间上的反常积分；
②：∫abf(x)dx\int_{a}^{b}f(x)dx∫abf(x)dx ，其中 lim⁡x→a+f(x)=∞\lim_{x\to a^+}f(x)=\inftylimx→a+f(x)=∞ ，aaa 叫瑕点，此积分叫无界函数的反常积分。

2. 判别

①：要求每个积分有且仅有一个奇点；
②：尺度：{∫011xpdx{0<p<1时收敛p≥1时发散∫1+∞1xpdx{p>1时收敛p≤1时发散\left\{\begin{matrix} \int_{0}^{1}\frac{1}{x^p}dx\left\{\begin{matrix} 0<p<1时收敛 \\ p\ge1时发散 \end{matrix}\right. \\ \int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx\left\{\begin{matrix} p>1时收敛 \\ p\le1时发散 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧∫01xp1dx{0<p<1时收敛p≥1时发散∫1+∞xp1dx{p>1时收敛p≤1时发散

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