Uva 12627 Erratic Expansion

这道题大体意思是利用一种递归规则生成不同的气球，问在某两行之间有多少个红气球。

我拿到这个题，一开始想的是递归求解，但在如何递归求解的思路上我的方法是错误的。在研读了例题上给出的提示后豁然开朗（顺便吐槽一下算法竞赛第二版在这这道题目上（P246）提示写的有问题，g(k,i)=2g(k-1,i-2^(k-1))+c(k-1) ，他把c(k-1)写成了c(k)...我纠结这个纠结了好久）

根据题目提示，这道题可以用f(k,i)表示k小时后最上边i行的红气球总数

那么我们的答案就可以表示为f(k,b)-f(k,a-1)

如何求f(k,i)?

这里我们通过观察，在k小时后所分成的四部分气球中，最右下角区域的气球是跟其他区域气球不相同的。因此我们可以分成两种情况（i在上半部分和i在下半部分）。

当i<2^(k-1),f(k,i)=2*f(k-1,i)

当i>=2^(k-1),f(k,i)=c(k-1)+f(k-1,i-2^(k-1))

其中c(k-1)代表完整的那部分的红气球数，也就是k-1小时后的红气球数。

由气球构造方式可得递推式：c(k)=3c(k-1),c(0)=1，可知这是个等比数列，求得c(k)=3^k

至此我们就可以得到我们想要的答案了。

第一次，时间超限：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
long f(long k,long h)
{if(k==0&&h==1) return 1;if(h<=0) return 0;long m=pow(2,k-1);if(h>m) return 2*f(k-1,m)+f(k-1,h-m);else return 2*f(k-1,h);
}
int main()
{int T,i,q=1;cin>>T;while(T--){long k,A,B,sum=0;cin>>k>>A>>B;printf("Case %d: ",q++);cout<<f(k,B)-f(k,A-1)<<"\n";}return 0;
}

第二次，根据书本改了下，加了个c函数，对了

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
long c(long k)
{long sum=1;while(k--){sum*=3;}return sum;
}
long f(long k,long h)
{if(k==0&&h==1) return 1;if(h<=0) return 0;long m=pow(2,k-1);if(h>m) return 2*c(k-1)+f(k-1,h-m);else return 2*f(k-1,h);
}
int main()
{int T,i,q=1;cin>>T;while(T--){long k,A,B,sum=0;cin>>k>>A>>B;printf("Case %d: ",q++);cout<<f(k,B)-f(k,A-1)<<"\n";}return 0;
}

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