无限循环小数的加减乘除

及无限循环小数转换为分数形式

首先讨论后者，如果我们可以把任意无限循环小数都轻易的转换为分数那么它们之间的运算不就简单了么？首先观察0. 3333……我们都知道它是等于是1/3的那么0.1111……呢，很明显它等于1/9，再观察1/99它等于0.010101……再看1/999它等于0.001001001……耶，那么可以得知0.121212……等于12/99(0.121212……是0.010101……的12倍)而0.456456……就等于456/999。

对于任意的如同0.123123……的从小数部分的首位就开始循环的循环位数为n的纯小数有由于1=0.999……那么有1除以n个9就等于0.00…100…1……这个数的循环位数就为n如果循环数是a【循环数举例：比如0.123123……的循环数就是123而0.01230123……的循环数是0123(看是0123的话可以避免数错循环数的位数)】那么它的a倍一定就是原来的那个循环小数它就可以表示为a除以n个9。这个理解了的话就可以得出这样的结论｛对于任意的从小数部分的首位就开始循环的循环位数为n且循环数为a的纯小数可表示为a除以n个9这样的分数｝

那么继续扩展，对于如0.154123123123……这样的循环小数我们如何用分数表示呢？既然0.123123……等于123/999 而0.154123123……等于0.154+0.123……/1000那么这个问题就解决了呀，那么对于如5.154123123……这样的循环小数不也就知道怎样用分数表示了么。但是有必要对后面提到的两种情况做总结。使我们少浪费一点草稿纸，多在头脑中思考一点，总时间还可以减少呢。

对于任意的(如同0.0456123123……)循环位数为n的循环数为a 且 小数部分的非循环位数为m的非循环数为b(刚才举的例子的b就是0456或者说是456它的m就是4)的纯小数，它的分数形式是a加上b乘上n个9再除以n个9与10^m的乘积(10^m表示十的m次方)[对于这里的例子0.0456123123……就等于(123+456*999)/(999*10^4)

对于任意的(如同7.0456123123……)循环位数为n的循环数为a 且 小数部分的非循环位数为m的非循环数为b

且 整数部分为c(对于前面一个例子c为7)的小数，它的分数形式就是a加上b乘上n个9加上c*9*10^m再除以9*10^m。(即是说7.0456123123……=(123+456*999+7*999*10^4)/(999*10^4)

那么对于0.111……*0.111……就可以轻易的计算了吧它等于(1/9)*(1/9)=1/81=0.012345679012345679……(其实不一定非要化为小数形式，但是这里的意思就是要化为小数形式)对于很复杂的循环小数的乘除加减通通可以表示为分数然后运算。要是再有计算器就容易多了吧，不过我们用的手机用的科学计算器计算是有小数位数限制的，可能看不出循环位数和循环数，这点要注意。

小结：其实对于上面的n个9与一个数相乘，由于n个9=10^n-1那么通常就好计算了456*999=456*(1000-1)=456000-456=455544只是在写的时候用这种方式会看起来比较复杂，我就没有选用这种表达式。

对于如0.123123……+0.111……的计算其实用不着化为分数就可以直接计算它的结果是0.234……我现在通过举例来说明这类不用化为分数的循环小数加法运算的各种类型，自己总结该如何选择和体会计算方法吧

0.456456456……+0.7272……=0.456456……+0.727272……=1.183729 183729……(456456+727272=1183728)

那么0.456456……+0.999……=1.456456……

(其实0.999……=1呀)

0.123 456456……0.7272……=0.123456 456456……+0.727272 727272……=0.850729 183729183729(123456+727272=850728)

0.1 456456……0.7272……=0.1 456456456 456456……+0.7272727272 7272……=0.8729183729 183729183729(1456456456+7272727272=8729183728)

对于0.1 232323……+0.123412341234……它们没法从循环部分的首位对齐，可以更换循环的主部使循环对齐0.1 232323……+0.456745674567……=0.12 3232323232……+0.45 6745674567……=

0.57 99779977……

这是由于0.1 232323……=0.12 323232……而0.456745674567……=0.45 6745674567……

上面是讨论主要是针对对齐循环小数的循环部分的。

后面是对循环小数的减法分析

1-0.4……=多少？等于0.6……么？其实等于0.5……因为1不是等于0.999……

3.515151……-0.222……=3.5151……-0.2222……=3.2929……

那么3.515151……-0.777……=？

它等于2+0.999……+0.5151……-0.777……=2+(0.999……-0.777……)+0.51……=2+0.22……+0.51……=2.7373……

对于3.5151……-5.222……=-(5.2222……-3.5151……)=-(4-3+0.99……-0.5151……+0.22……)=-1.7070……

3.705151……-5.3222……=-(5.32 2222……-3.70 5151)=-(5.31-3.70)←[9999……-5151……+2222……]=-1.61

7070…… 其中“←”表示直接在数字末尾加上我这里好用来说明这样写的

总的来说，减法的总规则是先判定运算结果的正负，①若为正，则将两个小数的循环部分对齐(如5.32 2222……-3.70

5151中将循环部分对齐)，然后从对齐的循环部分开始进行减法运算，如果这部分被减数小的(对于前面的例子2222……<5151……的)，要向前借一变成99……(对于前面的例子5.32变为了5.31，在后面补上了99……)，然后将其先与减数做差再与被减数相加(9999……-5151……再+2222……)，再进行前面的减法，最后组合一下(将7070……放在5.31-3.70所得的结果1.61后即是1.617070……)即可，②如果刚开始判定运算结果为负，那么只需像运算3.705151……-5.3222……那样，添括号并在括号外加负号就转变为①这种情况了，只是最后加负号罢了。

其实用这种算法来计算循环小数的加减运算可能会比把他们全都化为分数然后运算要简单得多,对于循环小数的乘除运算则刚好相反了，循环小数通常化为分数后乘除比较简单。

到这里就结束了，除此之外还可以得到一些结论如任何有理数都可以表示为两个整数相除(有理数的定义亦可以从此出发)，另外从我的说明方法里也展示了一种探索循序渐进的方法。

第18期顶岗实习支教藁晋分队 藁城张家庄中学 物理

何长峻