无尽小数的公理及其四则运算

全能近似分析下的无尽小数理论1

曹俊云1，曹凯2

(1. 河南理工大学数信学院，河南焦作，454000; 2. 河南理工大学电气学院，河南焦作，454000;)

摘要：无穷是“无有穷尽”、“无有终了”的；无穷大是无有穷尽的大，是无限变化着的变数，而不是定数。无尽小数是递增的、有界收敛数列的简写；它是随着数列项数变化而变化着的变数，而不是一个定数。无尽小数之间的四则算术运算是收敛数列之间的运算，其运算结果是收敛于实数的收敛数列，这个结果等价于一个无尽小数。

关键词：无尽小数；无穷；无穷大；康托尔基本数列

中图分类号：O143

Theory of Infinite decimal in Omnipotent approximation analysis

Abstract: The meaning of infinite is have not limit and have not end. The meaning of infinity is changed to great have not limit and the infinity is variable of which changing is have not end and it is not constant. The infinite decimal is an abbreviation of infinite sequence which is increasing and bounded and the infinite decimal is a variable which changing followed by number of term in sequence and the infinite decimal is not constant. The four fundamental operations of arithmetic between two infinite decimal is the calculation between two convergent sequences. The result of four fundamental operations of arithmetic between two infinite decimal is a convergent sequence which possessed equivalence relation to an infinite decimal.

Keywords: infinite decimal; infinite; infinity; Cantor’s fundamental sequence

0无尽小数的定义及其问题

定义1(无尽小数的定义)：若表达式

(1)

中是小于10的非负整数；并简写为

(2)

则称(2)式为十进小数；又若对任何一个，总有大于的正整数存在，使，则称(2)式为十进无尽小数，简称无尽小数；否则，若有正整数存在，使对所有的成立，称(2)为有尽小数。在无尽小数中，若存在非负整数和正整数使

成立，则称(2)式为无尽循环小数；否则，称(2)式为无尽不循环小数。

这个定义，可以说是从文献[1]中摘抄下来的。这个定义中的有尽小数可以写作，显然，这是一个分数。但这个定义中无尽小数，需要无穷次加法运算；由于无穷次加法运算无法进行，所以这样的无尽小数定义缺乏实践意义。由于(1)式的前n项和有实践性，本文将从这一点出发研究无尽小数的问题。

1无尽小数的公理与性质

公理1(无尽小数实用意义的公理)：无尽小数实用意义都应当是无穷数列的简写。它——无尽小数是一个随着数列项数变化而变化的变数，而不是一个定数。无尽小数是一个随着数列项数变化而变化的变数，而不是一个定数。

定理1(无尽循环小数的极限) 　所有无尽循环小数的极限都是一个分数或整数反之，每一个分数或整数都一个被看作是无穷数列时的无尽循环小数的极限作为这个定理的特例，可以证明，无尽循环小数的极限是分数. 无尽循环小数，那么这个无尽循环小数表示的数列的通项表达式为

当时，有，上式括号内极限为；的极限为0，于是的极限为，定理的前段成立。

定理后段也可例证如下，由于分数是两个整数相除的商，这个商表示的除法运算的余数的种数不超过分母表示的个数，所以这个除法不是除尽就是循环。例如分数，对它所表示的除法进行运算时，每一步的余数不外0,1,2,3,4,5,6等七个数字之内，如果余数出现0，那么表示除尽了，这时分数可表为有尽小数(可看作循环节是0的无尽循环小数)；如果余数始