几何分布的期望和方差公式推导_统计学笔记——概率、期望、排列组合和几何分布等...

在生活和工作中，知道某个事件可能发生的概率能帮我们迅速作出决策。

那么，这件事情发生的几率有多大？概率是度量某事发生几率的一种数量指标。大多数事件发生的概率介于0-1之间。

发生事件A的概率=发生事件A的可能数目/所有可能结果的数目

简单的概率用维恩图表示更直观，如下图所示：

互斥事件：如果两件事为互斥事件，则只有其中一个事件会发生。

相交事件：如果两件事是相交事件，则这两件事有可能同时发生。

利用概率树可以比较方便的计算出相交事件两件事同时发生的概率（即条件概率）。如下图所示：

如果几个事件互有影响，则为相关事件。

如果几个事件互不影响，则为独立事件。

概率不是万能的，它无法描述所发生的事情的整体影响，更无法说明事件发生对于个人的影响，我们需要用到期望。

变量X的期望E(X)，等于每个数值x乘以该数值的发生概率，然后将所有乘积求和。即：E(X)=∑xP(X=x)

在概率计算中，清点某些事物的所有可能排序方法费时费力，但却是必不可少的过程。常见的排序方式有线形排位和圆形排位。

线形排位，n个独立对象的排名方式有n!种。

圆形排位，n个独立对象的排名方式有（n-1)!种。

排列是指从一个较大（n个）对象群体中取出一定数目（r个）对象进行排序，并得出排序方式总数目。计算方式为n!/(n-r)!

组合数目即为从n个对象中选取r个对象的的选取方式的数目，不必知道所选对象的确切顺序。计算方法为n!/r!(n-r)!

有一些特殊的概率分布有固定的模式，懂得这些模式可以让我们更方便的计算出想要的结果。

几何分布包含以下条件：

1.进行一系列相互独立的实验；

2.每一次实验都既有成功的可能，也有失败的可能，且单次试验的成功率相同；

3.我们的关注点在于，为了取得第一次成功需要进行多少次试验。

用变量X表示为了取得第一次成功需要进行试验的次数，p表示成功概率，那么几何分布的期望E(X)=1/p。假设单次成功的概率为0.2，那么可以算出期望=1/0.2=5，因此我们可以期望尝试5次就可以成功。

二项分布包括下列条件：

1.进行一系列相互独立的实验；

2.每一次实验都存在成功和失败的可能，且单次试验的成功率相同；

3.试验次数有限，我们的关注点在于获得成功的次数。

用X表示n次试验中的成功次数，为了求出取得r次成功的概率，可用以下算式：P(X=r)=n!p^r(1-p)^(n-r)/r!(n-r)!。二项分布的期望公式为：E(X)=np;方差公式为Var(X)=np(1-p)。

泊松分布包括以下条件：

1.单独事件在给定区间内随机、独立的发生，给定区间可以是时间或空间；

2.已知该区间内的事件平均发生次数（或者叫发生率），且为有限数值。该事件平均发生次数通常用希腊字母λ（lambda）表示。

用X表示给定区间内的事件发生次数，如果X符合泊松分布且每个区间内发生率为λ，则写作X~Po(λ)。

在求给定区间内发生r次事件的概率时，使用以下公式计算：P(X=r)=e^(-λ)λ^r/r!

泊松分布的期望和方差都是λ。

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