二维随机变量期望公式_概率论笔记-Ch4期望与方差
本节包括：
- 期望：定义与性质
- 方差与协方差：方差、标准差、协方差、相关系数、协方差矩阵、矩的定义与性质
- 条件期望：条件期望与条件方差
- 典型随机变量的期望方差
期望
离散
设一离散随机变量
有概率分布
，
若
，则称
为随机变量
的
期望
连续
设一连续随机变量
的概率密度函数为
，若
，
则称
为随机变量
的
期望
期望的性质
(1) 期望与概率的关系：
设
(2) 随机向量函数的期望：
设
(3) 期望的线性：
假定
则
(4) 期望的独立性：
对于独立随机变量
(5)
方差与协方差
方差与标准差
若随机变量
的期望
有限，称
为
的
方差，
为
的
标准差
计算：![]()
方差的性质
(1)
(2)
重要不等式
(1) 马尔科夫不等式
对任意随机变量
(2) 切比雪夫不等式
对任意方差有限的随机变量
有时也写成：
(3) 柯西—施瓦茨不等式
若
当且仅当存在实数
(4) 琴生不等式
对于凸函数
协方差
若
，随机变量
的
协方差定义为
![]()
计算：
；若
，称
![]()
不相关
相关系数
若
，随机变量
的
相关系数定义为
![]()
计算：
；
若
，称
存在
线性关系
性质
(1)
(2)
(3) 不相关的三种等价定义：
协方差矩阵
对于n维随机向量
，其
协方差矩阵定义为：
注记 协方差矩阵是对称和非负定的
矩
的
阶原点矩：
，
阶中心矩：
![]()
注记 期望和方差就是其1阶原点矩和2阶中心矩
条件期望
条件期望
设
为随机向量，若
，则称
![]()
为
在
上的
条件期望，
为
关于
的
条件期望
注记
(1) 条件期望就是条件分布的期望，
函数，
随机变量
(2) 条件期望的本质是期望，因而具有期望的一切性质：
- 当
独立时，
条件方差
称
![]()
为
关于
的
条件方差
注记 方差分解公式：
典型随机变量的期望方差
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