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BC范式（BCNF）

关系模式R<U，F>∈1NF，若X→Y且Y  X时X必包含码，则R<U，F> ∈BCNF。
这个定义表明，如果非平凡的FD X→Y中X不包含码，那么Y必定传递依赖于候选键，因此R不是BCNF模式。
等价于：每一个决定属性因素都包含码

如果关系模式R是1NF，且每个属性（包括主属性和非主属性）都不传递依赖于R的候选码，那么称R是BCNF的模式。

若R∈BCNF
所有非主属性对每一个码都是完全函数依赖
所有的主属性对每一个不包含它的码，也是完全函数依赖
没有任何属性完全函数依赖于非码的任何一组属性R ∈BCNF                R ∈3NF

定理：如果R是BCNF模式，那么R也是3NF模式。
证明：设R是BCNF，但不是3NF，那么R上必存在传递依赖X→Y，Y→A，这里X是R的码，A∈Y， Y→X。显然Y不包含R的码，否则Y→X也成立。因此Y→A违反了BCNF的定义，与假设R是BCNF矛盾。从而定理得证。

[例5] 关系模式C（Cno，Cname，Pcno）
C∈3NF
C∈BCNF[例6]  关系模式S（Sno，Sname，Sdept，Sage）
假定S有两个码Sno，Sname
S∈3NF。
S ∈ BCNF

［例7］关系模式SJP（S，J，P）函数依赖：（S，J）→P；(J，P）→S
（S，J）与（J，P）都可以作为候选码,属性相交
SJP∈3NF，
SJP∈BCNF

[例8]在关系模式STJ（S，T，J）中，S表示学生，T表示教师，J表示课程。
函数依赖：(S，J)→T，(S，T)→J，T→J
(S，J)和(S，T)都是候选码

多值依赖

[例9] 学校中某一门课程由多个教师讲授，他们使用相同的一套参考书。每个教员可以讲授多门课程，每种参考书可以供多门课程使用。
Teaching∈BCNF

Teaching具有唯一候选码(C，T，B)，即全码
Teaching模式中存在的问题
(1)数据冗余度大
(2)插入操作复杂
(3) 删除操作复杂
(4) 修改操作复杂

 设R(U)是一个属性集U上的一个关系模式， X、 Y和Z是U的子集，并且Z＝U－X－Y。关系模式R(U)中多值依赖 X→→Y成立，当且仅当对R(U)的任一关系r，给定的一对（x，z）值，有一组Y的值，这组值仅仅决定于x值而与z值无关例  Teaching（C, T, B）

多值依赖的另一个等价的形式化的定义：

  在R（U）的任一关系r中，如果存在元组t，s 使得t[X]=s[X]，那么就必然存在元组 w，v r，（w，v可以与s，t相同），使得w[X]=v[X]=t[X]，而w[Y]=t[Y]，w[Z]=s[Z]，v[Y]=s[Y]，v[Z]=t[Z]（即交换s，t元组的Y值所得的两个新元组必在r中），则Y多值依赖于X，记为X→→Y。 这里，X，Y是U的子集，Z=U-X-Y。

平凡多值依赖和非平凡的多值依赖
若X→→Y，而Z＝φ，则称
X→→Y为平凡的多值依赖
否则称X→→Y为非平凡的多值依赖
［例10］关系模式WSC（W，S，C）
W表示仓库，S表示保管员，C表示商品
假设每个仓库有若干个保管员，有若干种商品
每个保管员保管所在的仓库的所有商品
每种商品被所有保管员保管

多值依赖性质

（1）多值依赖具有对称性
若X→→Y，则X→→Z，其中Z＝U－X－Y
（2）多值依赖具有传递性
若X→→Y，Y→→Z，则X→→Z –Y
（3）函数依赖是多值依赖的特殊情况。
若X→Y，则X→→Y。
（4）若X→→Y，X→→Z，则X→→Y Z。
（5）若X→→Y，X→→Z，则X→→Y∩Z。
（6）若X→→Y，X→→Z，则X→→Y-Z，X→→Z -Y。

多值依赖与函数依赖的区别

(1) 多值依赖的有效性与属性集的范围有关
(2)
若函数依赖X→Y在R（U）上成立，则对于任何Y’  Y均有X→Y’ 成立
多值依赖X→→Y若在R(U)上成立，不能断言对于任何Y’  Y有X→→Y’ 成立

4NF

关系模式R<U，F>∈1NF，如果对于R的每个非平凡多值依赖X→→Y（Y  X），X都含有码，则R∈4NF。
如果R ∈ 4NF， 则R ∈ BCNF
不允许有非平凡且非函数依赖的多值依赖
允许的非平凡多值依赖是函数依赖

例： Teaching(C,T,B) ∈ 4NF存在非平凡的多值依赖C→→T，且C不是码
用投影分解法把Teaching分解为如下两个关系模式：CT(C, T) ∈ 4NFCB(C, B) ∈ 4NFC→→T， C→→B是平凡多值依赖

关系数据库的规范化理论是数据库逻辑设计的工具

目的：尽量消除插入、删除一场，修改复杂，数据冗余

基本思想：逐步消除数据依赖中不合适的部分
实质：概念的单一化

不能说规范化程度越高的关系模式就越好
在设计数据库模式结构时，必须对现实世界的实际情况和用户应用需求作进一步分析，确定一个合适的、能够反映现实世界的模式
上面的规范化步骤可以在其中任何一步终止